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2.2.3 对数与对数运算（3）【学习目标】1.能熟练运用对数运算性质解决对数运算问题；2.会运用对数运算性质解决实际应用问题．【学习重点】运用对数运算和对数运算性质解决实际应用问题．【难点提示】对数运算性质的正确理解与运用；【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6469P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1. 上节课我们学习了对数运算及对数运算性质，请完成下列填空：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，b>0那么：（1）log a MN = ；（2）log a M N= ；（3）log n a M = ． （4）对数的换底公式：log a b = ；（5）拓展公式知道吗？（链接1）2.预备练习 （1）计算：827log 9log 32∙．（2）已知12log 27＝a ，求6log 16的值（用a 表示）.3.对数运算及运算性质在实际生活中有哪些运用呢？在16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之际，苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．可见它对解决实际问题的作用非常巨大（请同学们认真阅读教材第68-69页），今天就来探究对数的实际应用．二、典例解析例1 （教材P66例5，请同学们先做，在看书上的解答）20世纪30年代，查尔斯．里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大． 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．(1) 假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0．001， 计算这次地震的震级（精确到0．1）；(2) 5级地震给人的振感已比较明显，计算7．6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）思路启迪：读懂题中的有用信息是解决数学应用问题的关键，本题中的有用信息有哪些，你能通过读题后能读出来吗？然后根据你的理解试一试．解:●解后反思 这是一道什么题型、求解它的一般步骤是什么？应注意哪些问题？例2（教材P66例6，请同学们先做，在看书上的解答）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76．7%，试推算古墓的年代？ 解:例3.log 1log log a a ab x b x=+(1)证明：. 24892(2)(log 3log 9log 27log 3)log .n n ++++ 化简：解后反思 证明恒等式有哪些方法？该题的证明用的什么方法？在（2）中化简的方向是什么？两个小题的入手点各在在哪里？变式练习 12121212).n na a a n a a a nb b λλ= 已知log b =log b ==log b =,求证:log (b三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：解决实际应用问题的基本步骤有哪几步? 利用换底公式解决有关对数问题应注意什么?(学习链接2)2.通过本节课的学习对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）．A ．－a ；B ．a 2；C ．｜a ｜；D ．a ．2.若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）．A ． 3 ；B ． ；C ． ；D ． ．3.已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）．A ．15；B ；C ．；D ．225．4.若32a=，则log 38－2log 36用a 表示为 ．5.化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5．6.若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．7.已知14log 2a =，用a 表示7．8.教材P74习题2.2A 组第6、9题、P75第12题.【学习链接】链接1：1log (0,1,0,1)log a b b a a b b a =>≠>≠；log log (0,1,0)n m a a m b b a a b n=>≠> 链接2. 解答应用问题的步骤是：审题、建模、化简、计算、下结论；其中审题、建模是关键；在解答有关对数应用题的过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用．。
[课时作业][A 组 基础巩固]1．2log 510＋log 50.25＝ ( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C2．(lg 5)2＋lg 2 lg 5＋lg 20的值是( )A ．0B.1 C ．2 D ．3解析：(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 20＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2. 答案：C3．2321+2log 2的值是( )A ．12 2 B.9＋ 2C ．9 2D ．84 2 解析：∵12＋2log 23＝log 22＋log 29＝log 292，又∵a log a x ＝x ，∴原式＝9 2.答案：C4．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ． 9B.19 C ．25D ．125 解析：原式＝lg 13lg 5×lg 6lg 3×lg x lg 6＝－lg x lg 5＝2∴－lg x ＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x ＝125.答案：D5．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a b ＋log a c 解析：由对数的运算公式log a (bc )＝log a b ＋log a c 可判断选项C ，D 错误．选项A ，由对数的换底公式知log a b ·log c b ＝log c a ⇒lg b lg a ·lg b lg c ＝lg a lg c ⇒(lg b )2＝(lg a )2，此式不恒成立．选项B ，由对数的换底公式知log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c ＝log c b ，故恒成立．答案：B6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，(x －1)2＝x ＋5，解之得x ＝4.答案：47.lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________. 解析：原式＝lg 3＋lg 22－lg 10lg 1.2＝lg 3＋lg 4－lg 10lg 1.2＝lg 3×410lg 1.2＝1.答案：18．计算log 225·log 322·log 59的结果为________．解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.答案：69．计算：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＋log 222； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋)2＋lg 16＋lg 0.06.解析：(1)原式＝lg (2×5)－lg 8lg 54＋log 2(2)－1 ＝lg 54lg 54－1＝0.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，则x ＝log 2k ＝lg k lg 2，y ＝log 3k ＝lg k lg 3，z ＝log 6k ＝lg k lg 6∴1x ＋1y ＝lg 2＋lg 3lg k ＝lg 6lg k ＝1z .[B 组 能力提升]1．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a 2(b ＋1)D.3(a －1)2b 解析：∵log 89＝a ，∴a ＝lg 9lg 8＝2lg 33lg 2，b ＝lg 5lg 2＝1－lg 2lg 2，∴lg 2＝1b ＋1， ∴lg 3＝32a lg 2＝3a 2×1b ＋1＝3a 2(b ＋1). 答案：C2．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D ．14解析：由韦达定理知⎩⎨⎧ lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.答案：A3．设lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，则log 4a b 的值是________．解析：依题意，得a >0，b >0，a －2b >0，原式可化为ab ＝(a －2b )2，即a 2－5ab＋4b 2＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋4＝0，∴a b ＝4或a b ＝1.∵a －2b >0，a b >2，∴a b ＝4，∴log 4a b ＝1.答案：14．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，求log z m 的值．解析：log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，即log z m ＝60.5．已知ab ＝8，a 2log b ＝4，求a 、b 的值．解析：由a 2log b ＝4两边取对数得log 2(a 2log b )＝log 24⇒(log 2a )(log 2b )＝2，①由ab ＝8得log 2(ab )＝log 28⇒log 2a ＋log 2b ＝3.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＝1，log 2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＝2，log 2b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2.。
授课主题对数与对数运算教学目标1．掌握对数的运算性质．2．理解推导这些法则的依据和过程．3．能熟练地运用法则变形对数式．4．掌握对数的换底公式．5．熟练地运用对数的运算性质解决有关化简、求值、证明的问题．教学内容1．对数如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：Nalog2．指对数互化：log a N＝x ⇔a x＝N对数式⇔指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂数3．对数恒等式：log a Na N=．4．对数的性质：（1）0和负数没有对数，即0N>;（2）1的对数为0，即log10a=；（3）底的对数等于1，即log1aa=．5．常用对数：以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把"log"写成"lg"，即把10log N 记做lg.N6．自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数 2.71828e=为底的对数．以e为底的对数叫做自然对数．logeN通常记作ln N．7．积、商、幂的对数公式：()log log loga a aMN M N=+log log loga a aMM NN=-log logna aM n M=（0M>，0N>，0a>，1a≠）8．换底公式：logloglogmamNNa=(01;01)a a m m>≠>≠，，1loglogabba=log logmnaanb bm=题型一对数的概念例1求log84的值巩固求值：题型二指数式与对数式的互化例2将下列对数式写成指数式：巩固将下列指数式与对数式互化：题型三求对数式中的未知数例3求下列对数式中x的值：巩固求下列各式中的x：(1)log x81＝2；(2)x＝log84.题型四对数的运算性质例4点评：1.对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：(1)“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)在计算对数值时经常用到．巩固求值：题型五对数的综合运用例5巩 固 (1)已知14log 2a =，试用a 表示2log7；(2)已知x ，y ，z 为正数，且346x y z==，求证：1112y z x=-．题型六 换底公式的应用例6计算下列各式的值：巩固82log9log3=__________. 答案：2315、 若)(x f =1+log x 3, )(x g =2log x 2, 试比较)(x f 与)(x g 的大小.答案：一、选择题1、C ；2、C ；3、B ；4、A ；5、B ；6、C ；7、D二、填空题8、21 9、a b a －＋12 10、a －2 11、12 12、2 二、解答题13、解：原式2)12(lg )5lg 2lg 2(2lg -++= =++-=+-=lg (lg lg )|lg |lg lg 22521212114、解: ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+21lg lg 2lg lg b a b a , 2)(lg )lg(b a ab ⋅=(lga+lgb)(lga －lgb)2=2[(lga+lgb)－4lgalgb]2=2(4－4×21)=4 15、解: f(x)－g(x)=log x (43x). (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≠>0)143)(1(10x x x x , 即0<x<1或x>34时, f(x)>g(x) (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≠>0)143)(1(10x x x x , 即1<x<34时, f(x)<g(x) (3) x=34时, f(x)=g(x).一、选择题1、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ）。
