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三角形内切圆二级结论一、引言三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，它是三角形最大的内接圆。
在研究三角形内切圆时，我们可以得到许多有趣的结论和性质。
本文将介绍三角形内切圆的一个重要结论——欧拉线定理。
二、欧拉线定理欧拉线定理是指：三角形内切圆的圆心、垂心和重心共线，且这条直线称为欧拉线。
1. 证明（1）设ABC为任意三角形，I为其内切圆的圆心，H为其垂心，G为其重心。
（2）由于I是内切圆的圆心，因此AI、BI、CI均与内切圆相切，并且它们都垂直于各自所在边上的中点。
（3）设D、E、F分别为BC、AC、AB上对应于I的垂足，则DI=EI=FI=r（r为内切圆半径）。
（4）由于AH⊥BC, BH⊥AC, CH⊥AB，并且G是重心，因此GH=2/3HG。
（5）又因为HI=2rcosA/2, HG=2/3GM, GM=1/3(MA+MB+MC)，其中M为中心，因此有HI:GM=3:2cosA/2。
（6）根据余弦定理可得，cosA/2=sqrt[(s-b)(s-c)/bc]，其中s为半周长。
（7）将(6)式代入(5)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]。
（8）根据垂心定理可得，AH^2=BH^2+CH^2-4Rr，其中R为外接圆半径。
（9）将(8)式代入(7)式中可得HI:GM=3sqrt[(s-b)(s-c)/bc]=AH/2R。
（10）因此I、H、G三点共线，且IH:HG=2R:AH。
三、欧拉线的性质欧拉线不仅是三角形内切圆的圆心、垂心和重心的连线，还具有以下性质：1. 欧拉线与外接圆相切于外接圆上的费马点；2. 欧拉线上有一个点P满足PH=2OG，其中O为外接圆的圆心；3. 欧拉线上的点P是三角形内切圆与九点圆的交点。
四、应用欧拉线定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三角形内切圆半径已知的情况下，我们可以利用欧拉线定理求出外接圆半径。
此外，欧拉线还可以用于证明其他几何学定理，如费马点定理、垂心定理等。
欧拉线定理解析几何证明欧拉线定理是几何学中最基本的定理，它以18世纪意大利数学家拉尔森欧拉（Leonhard Euler）命名。
欧拉线定理指出，任意一个多边形内角和为360度，即：在一个n边形中，它的内角和（S）为n-2个相邻夹角的和，即S=180°（n-2）。
欧拉线定理的解析几何证明：首先，证明1边形的内角和等于180°：考虑一个1边形，它只有一个单独的一条边。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一条边，因此n-2=0。
所以，它的内角和（S）为0，即S=180°（0）=180°。
接下来，证明2边形的内角和等于180°：考虑一个2边形，它只有两条边相交而形成的一个夹角。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一个夹角，因此n-2=1。
所以，它的内角和（S）为一个夹角，即S=180°（1）=180°。
再次，证明3边形的内角和等于180°：考虑一个3边形，它有三条边相交而形成的两个夹角。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它有两个夹角，因此n-2=2。
所以，它的内角和（S）为两个夹角，即S=180°（2）=180°。
以上，我们已经证明了1，2，3边形的内角和为180°。
接下来，我们将演示任意n边形的内角和也等于180°。
假设，我们有一个有n条边组成的多边形ABC...n，它有n个夹角。
要证明它的内角和等于180°，我们可以采取以下步骤：（1）把多边形ABC...n拆分为n-2个小三角形，如多边形ABC...n，它可以被拆分为三角形ABC、三角形BCD...等。
（2）把每个小三角形的三个夹角加起来，由于每个三角形的三个夹角和为180°，因此，n-2个三角形的总夹角和为180°×（n-2）=180°（n-2）。
欧拉线定理解析几何证明
欧拉线定理是几何中最重要的定理之一，即任意一条封闭曲线都有相应的欧拉数。
它可以为许多几何问题提供非常有用的性质，例如，把一个多边形折痕切成很少的折痕或者把一个多边形的部分拓展到某一部分，以及求某些多边形内部点的邻域等。
欧拉线定理表明，所有封闭曲线都有正确支撑的意义，即边数减去点数等于2，其中边数指的是封闭曲线的总边数，而点数指的是封闭曲线中包含的所有点的
数量。
下面我们就以具体的实例来证明欧拉线定理，要证明的集合A是一个多边形，它有n条边和n个顶点。
按照欧拉线定理，我们需要证明：n边多边形的总边数减
去总点数等于2 。
这里的“总边数”是指该多边形中所有边的数量，包括重合的边；“总点数”是指该多边形中总共包含的各种不同点的数量。
因此，我们可以先计算多边形集合A的总边数，即总共n条边，又因为每条边都在两个顶点上，所以总点
数恰好为2n 。
根据计算所得的结果可知，2n 减去 n 等于 n，因此该多边形的总边
数减去总点数等于2 。
从上文可见，通过计算的实验证明了欧拉定理。
通过它，我们可以很容易地分析多边形的边数和点数的关系，从而解决许多几何的问题。
欧拉定理有着深远的影响，不仅可以用来解决几何问题，还可以实现许多复杂的几何任务。
欧拉线的向量证法欧拉线的向量证法是一种证明欧拉线存在的方法。
欧拉线是指连接一个三角形的垂心、重心和外心所形成的直线。
这条直线通常被认为是三角形的重要性质之一，因为它连接了三角形的三个关键点，并且具有一些重要的几何性质。
这篇文章将讨论欧拉线的向量证法。
欧拉线的向量证法的关键在于证明欧拉线存在于一个三维向量空间中。
我们可以将一个三角形三个关键点的坐标表示为向量，并将欧拉线表示为这些向量的线性组合。
然后，我们可以使用向量运算证明这个线性组合的结果是一个常向量，这个常向量就是欧拉线。
具体地，我们可以定义向量OA、OB和OC分别表示三角形的三个关键点。
然后，我们可以构造向量OH，表示垂心O到三角形所在平面的垂线。
向量OG表示重心G到三角形所在平面的垂线。
最后，向量OA、OB和OC的平均向量OM表示外接圆心O到三角形所在平面的垂线。
现在我们需要找到一个向量倍数，将OH、OG和OM相加后可以得到一个常向量。
我们可以首先证明OH、OG和OM在同一平面内，并且通过欧拉线的定义，这个平面必须与三角形所在平面垂直。
因此，我们可以用叉乘来证明一个向量与这个平面垂直。
这可以通过叉乘OH和OG，OG和OM，以及OH和OM来完成。
然后，我们可以相互叠加OH、OG和OM，找出它们之间的线性关系。
最后，我们将这个线性关系表示为向量倍数，并证明这个线性组合的结果是一个常向量，表示欧拉线。
简而言之，欧拉线的向量证法是一种通过向量运算来证明欧拉线存在的方法。
这种方法非常优雅，因为它基于三角形的几何关系和向量空间的基本性质。
这个方法可以帮助我们更好地理解欧拉线的几何性质，并将其应用到更广泛的研究领域。
原创：平行四边形法妙证欧拉线定理
昨天我发表《原创：重外垂心欧拉线》之后，他（她）见多识广，提出证明欧拉线定理，构造平行四边形的方法比较好.
读者群里有高人.
我把他提供的解法整理了出来，分享给感兴趣的读者朋友们.
1
欧拉线定理
我们首先来回顾欧拉线定理：
三角形的外心、垂心和重心在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半.
翻译成这样一个证明题:
△ABC的外心、重心、垂心分别为O,G,H，证明：向量GH=2倍向量OG.
2
构造平行四边形
我们首先画出△ABC的外接圆O.
延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则DA⊥AB，DC⊥BC.
又因为H为垂心，所以CH⊥AB，AH⊥BC.
故DA//CH，DC//AH，四边形AHCD为平行四边形.
结合重心的向量公式：向量OA+向量OB+向量OC=3向量OG （需要证明才能用），容易证得原命题成立.
老左用15年教学经验做成的专栏《圆锥曲线要你命》，依旧精彩，依旧超值.它包含123个图文和123个视频，庖丁解牛式地讲透圆锥曲线的方方面面.
参考阅读：一顿火锅钱，搞定高考圆锥曲线大题。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法一、欧拉线证明法：欧拉线证明方法是最常见的证明三角形三条高线交于一点的方法之一。
欧拉线又称欧拉三线，由数学家欧拉提出，并以他的名字命名。
该方法通过对三角形的边、高线和重心进行关联，最终证明三条高线交于一点。
欧拉线证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三条边的中点，分别记为D、E、F。
连接B和C的垂直平分线，交于点O。
则利用垂心定理可得，AO垂直于BC。
同理，连接A和C的垂直平分线与AB的中垂线交于点O'，连接A和B的垂直平分线与AC的中垂线交于点O"，可得BO'垂直于AC，CO"垂直于AB。
因此，三条高线通过点O、O'、O"，即证明了三条高线交于一点。
二、重心证明法：重心证明法是另一种常用的证明方法。
重心是指三角形三条中线交于一点的点，也是三角形内切圆的圆心。
通过证明三角形的三条高线交于重心，可间接证明三条高线交于一点。
重心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三个顶点与相对边的中点，分别记为D、E、F。
以点D为圆心，AC的中点D为半径画圆，与AB和BC相交于点G；以点E为圆心，AB的中点E为半径画圆，与AC和BC相交于点H；以点F为圆心，BC的中点F为半径画圆，与AB和AC相交于点I。
根据圆的性质可知，AG、BH和CI与三条高线垂直且交于一点，即证明了三条高线交于一点。
三、垂心证明法：垂心证明法是通过垂心的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
垂心是指三角形三条高线交于一点的点，也是三角形外接圆的圆心。
垂心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接任意两个顶点的垂线。
设垂足分别为D、E、F。
连接BD、CE和AF，得到三条高线。
根据垂心定义可知，BD、CE和AF都经过垂心点H。
因此，三条高线交于一点H，即证明了三条高线交于一点。
四、费马点证明法：费马点证明法是通过费马点的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
高一（1）班离弦组制作人：艾莉希儿2021.3.9数学实践课简介欧拉线是指三角形的外心、重心、垂心，三点共线，在欧拉之前，三角形的外心、重心、垂心等的性质已经被人深入研究，但他们之间的联系却很少有人探讨，而欧拉对这些“心”之间的联系产生了较大兴趣，于1765年证明了此定理，因而人们把这条直线叫欧拉线。
今天我们组就为大家带来它的证明。
证明：设O是△ABC的外心，G是重心，AL是中线，由重心性质可得AG∶GL＝2∶1，延长OG至H，使GH＝2GO，则有GH∶GO＝AG∶GL∴OL∥AH，∵OL⊥BC，∴AH⊥BC，延长AH交BC于D，则AD⊥BC，同理，CH⊥AB。
故H为△ABC的垂心，∴O、G、H三点共线，即△ABC的外心、重心、垂心三点共线。
当然我们是要使用向量来证明这个定理的，所以下面是向量的证明方法在此之前，我们先给出平面直角坐标系里重心的表达式设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则△ABC的重心（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）.设三角形的外接圆半径为1设3个顶点为A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc)由重心坐标公式G((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3)设H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)用向量垂直的条件得AH'⊥BC,BH'⊥AC.所以,H'与垂心H重合.易见向量OH=3向量OG.故O,G,H三点共线.当然，还可以看出OG:OH=1:3完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿感谢聆听ps：还有什么到不到的地方就这样吧。
我都快口区了。
