高中数学竞赛定理

重 心

定义：重心是三角形三边中线的交点，

可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，

S △AOB=S △AOC ，

又S △AOB=S △BOC ，

∴S △AOC=S △BOC ，

再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、三角形到三边距离之积最大的点。

5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3

外 心

定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。

外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。

设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积

1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c

重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )

垂 心

定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

性质：

锐角三角形垂心在三角形部

直角三角形垂心在三角形直角顶点

钝角三角形垂心在三角形外部

设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。

1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c

垂心坐标：( 1c /c ，2c /c ，3c /c )

九点圆

三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）

九点圆性质：

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即九点圆r ：外接圆r =2：1

2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3.三角形的九点圆与三角形的切圆,三个旁切圆均相切

设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积

1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c

垂心坐标：：( (3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c )

欧拉线

定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线的性质：

1、在任意三角形中，以上四点共线。

2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

欧拉线的证法1

如图 作△ABC 的外接圆，连结并延长BO ，交外接圆于点D 。连结AD 、CD 、AH 、CH 、OH 。作中线AM ，设AM 交OH 于点G’

∵ BD 是直径

∴ ∠BAD 、∠BCD 是直角

∴ AD ⊥AB ，DC ⊥BC

∵ CH ⊥AB ，AH ⊥BC

∴ DA//CH ，DC//AH

∴ 四边形ADCH 是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M 是BC 的中点，O 是BD 的中点

∴ OM=

2

1DC ∴ OM= 21AH ∵ OM//AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴

GM AG =1

2 ∴ G’是△ABC 的重心

∴ G 与G’重合

∴ O 、G 、H 三点在同一条直线上

欧拉线的证法2

如图 设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。

连接OD

O 为外心

∴OD ⊥BC

连接AH 并延长交BC 于E

H 为垂心

∴ AE ⊥BC

∴OD//AE ，有∠ODA=∠EAD 。由于G 为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG 并延长交BA 于F 则可知F 为AB 中点

同理，OF//CM

∴∠OFC=∠MCF

连接FD FD//AC,DF:AC=1:2

∴∠DFC=∠FCA ，∠FDA=∠CAD

又∠OFC=∠MCF ，∠ODA=∠EAD

相减可得

∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC

∴△OFD∽△HCA

∴OD:HA=DF:AC=1:2

又GA:GD=2:1

∴OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD

∴△OGD∽△HGA

∴∠OGD=∠AGH

又连接AG并延长

∴∠AGH+∠DGH=180°

∴∠OGD+∠DGH=180°

即O、G、H三点共线

欧拉线的证法3

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.

则OH=OA+OB+OC

OG=（OA+OB+OC）/3，

3 ×OG=OH

∴O、G、H三点共线(注：OH, OA, OB , OC ,OG 均为向量）

费马点

定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

费马点的判定

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）如果三角形有一个角大于或等于120°，这个角的顶点就是费马点；如果3个角均小于120°，则在三角形部对3边角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点性质：

（1）平面一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

（2）.特殊三角形中，三角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(3).特殊三角形中，若三角形有一角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点

(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合