基础知识检测2(9.1向量概念-9.3向量基本定理及坐标表示)

初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算法则初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算法则向量是数学中非常重要的概念之一，在初中数学中也是必须学习和掌握的内容。

本文将对向量的概念以及向量的运算法则进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和应用向量的知识。

1. 向量的概念向量是由大小和方向共同决定的量，通常用箭头表示。

在平面直角坐标系中，向量常以有向线段的形式表示，有一个始点和一个终点。

向量的大小称为向量的模，用两个竖线表示，例如∥AB∥表示向量AB的模。

2. 向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。

用字母表示时，通常用小写字母加上一个箭头表示，如a⃗，b⃗。

向量的起点可以是坐标原点，也可以是其他点。

3. 向量的运算法则3.1 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点放在同一个点，然后将它们的终点相连，得到一个新的向量，其起点与原向量的起点相同，终点与原向量的终点相同。

3.2 向量的减法向量的减法可以视为加上一个相反向量，即将减去的向量取反后进行加法运算。

3.3 向量的数乘向量的数乘即将一个向量乘以一个实数（通常是正数），得到的向量与原向量的方向相同（同向）或者相反（反向），而大小是原向量大小的几倍。

4. 向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗。

4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)。

4.3 数乘结合律数乘和向量的加法满足结合律，即k(a⃗ + b⃗) = k a⃗ + k b⃗。

4.4 数乘分配律数乘和向量的加法满足分配律，即(k + m)a⃗ = k a⃗ + m a⃗。

5. 向量的数量积和向量积为了更深入地研究向量的性质和应用，还引入了向量的数量积和向量积的概念。

这两个概念超出了初中范围，在高中数学中详细讲解。

综上所述，向量是数学中重要而有用的概念，通过学习和掌握向量的概念和运算法则，我们可以更好地解决和应用相关的数学问题。

向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。

(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。

设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。

高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。

理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。

本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。

二、向量的定义向量是有大小和方向的量。

向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。

在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。

在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。

三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。

2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。

四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。

2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。

即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。

向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。

3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。

五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。

以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。

2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（ ） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（ ） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（ ）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（ ）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确； 在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（ ）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系， 根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=， 故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-， 所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域． 【答案】（1（2） 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。

向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。

向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。

向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。

2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。

(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。

其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。

(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。

3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。

向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。

(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。

(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。

(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。

4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。

向量坐标知识点总结一、向量的概念1.1 向量的定义向量是空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

在数学中，向量通常用坐标表示，称为向量坐标。

1.2 向量的表示在二维空间中，向量可以用(x, y)表示，在三维空间中，向量可以用(x, y, z)表示。

通常向量用有向线段或箭头表示。

向量的方向由箭头的方向表示，长度由箭头的长度表示。

1.3 向量的性质向量有大小和方向，但没有固定的位置。

向量的大小是由模长表示，向量的方向是由箭头的指向表示。

向量的大小和方向唯一确定一个向量。

1.4 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模长相等，且方向相同。

即如果向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)相等，则必须满足x1=x2且y1=y2。

二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

具体表示为A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。

2.1.1 几何法几何法求两个向量的和，可以将它们首尾相接，用三角形法则或平行四边形法则求得。

2.1.2 分量法分量法是将两个向量的x分量和y分量分别相加得到最终的向量。

2.2 向量的数乘向量的数乘是指一个数与向量的每个分量相乘得到新的向量。

具体表示为kA=(kx, ky)。

2.3 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到新的向量。

具体表示为k1A+k2B=k3C，其中k1,k2为实数，A,B为向量，C为新的向量。

2.4 向量的点积向量的点积也称为内积，是指两个向量相应分量的乘积再相加得到一个数。

具体表示为A·B=x1x2+y1y2。

2.5 向量的叉积向量的叉积也称为外积，是指两个向量相乘再得到一个新的向量。

它是有向量的性质，叉积的结果是一个垂直于原来两个向量组成的平面的向量。

三、向量的坐标表示3.1 向量的坐标向量在坐标系中可以表示为(x, y)或(x, y, z)。

具体表示为A(x1, y1)或B(x1, y1, z1)。

向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。

3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。

4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。

通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。

5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。

6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。

7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。

8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。

表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。

2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。

表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。

表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。

4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。

5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。

三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。

2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。

平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。

基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。

设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。

a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。

这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。

二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。

它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。

以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。

则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。

则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。

向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。

三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。

平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。

向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。

了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。

向量的坐标知识点总结向量是线性代数中的一个重要概念，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量。

在实际应用中，向量通常使用坐标来进行表示和计算，因此对向量的坐标知识掌握至关重要。

本文将对向量的坐标知识进行总结，包括向量的定义、坐标表示、向量的运算等内容。

1. 向量的定义在数学中，向量通常可以用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，而箭头的方向代表向量的方向。

向量的大小可以用一个实数来表示，而向量的方向可以用一个角度或者另一个向量来表示。

在二维空间中，向量可以用一个有序对表示；在三维空间中，向量可以用一个有序三元组来表示。

2. 向量的坐标表示向量通常可以用其起点和终点的坐标来表示。

在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别代表向量的横坐标和纵坐标；在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b和c分别代表向量在x、y、z轴上的坐标。

3. 向量的基本运算（1）向量的加法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的和可以表示为a+b=(a1+b1, a2+b2, …, an+bn)。

向量的加法满足交换律和结合律。

（2）向量的数乘设有一个向量a=(a1, a2, …, an)，和一个实数k，那么这个向量的数乘可以表示为ka=(ka1, ka2, …, kan)。

向量的数乘满足分配律和结合律。

（3）向量的减法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的差可以表示为a-b=(a1-b1, a2-b2, …, an-bn)。

向量的减法可以转化为向量的加法，即a-b=a+(-b)。

（4）向量的数量积和向量积向量的数量积也称为点积或内积，它表示为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

向量的向量积也称为叉积或外积，它表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。