数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆)

ABC P BC AB AC D E F D E F ∆西姆松定理：若从外接圆上一点作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、三点共线；9090180DE DF BDE FDC BDP BEP B E P D BDE BPE FDC PFCBEP PFC PCF PBA PBEBPE FPC BDE FDC D E F ∠=∠∠=∠=︒∴∴∠=∠∠=∠∠=∠=︒∠=︒-∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴证明：连接、，显然，只需证明即可；、、、四点共圆，同理可得：又且、、三点共线 ()P ABC L M N P ABC ∆∆西姆松的逆定理：从一点向的三边或它们的延长线作垂线，若其垂足、、在同一直线上，则在的外接圆上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆1.ABC AD BE CF D E F D AB BE CF AC P Q R S P Q R S ∆例设的三条垂线、、的垂足分别为、、；从点作、、、的垂线，其垂足分别为、、、，求证、、、在同一直线上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆2.ABCD D B AC AD E F EF BD ∠例四边形是圆内接四边形，且是直角，若从作直线、的垂线，垂足分别为、，则直线平分线段。

,90BG DC F E G BFD FDG DGB BFDG FG BD ⊥∠=∠=∠=︒∴∴证明：作由西姆松定理有：、、共线，又四边形为矩形对角线平分另一条对角线3.例求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；180AB BC CD AD AB CD E BC AD F BCE CDF GBGF BGC CGF BEC CDABGF A ABF G AED GBCE CDF ABF AED G ∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠=︒∴证明：如图，设四条直线、、、中，交于点，交于点，圆与圆的另一个交点为，即圆过点同理圆也过点圆、圆、圆、圆交于同一点G AB BC CD DA E L M N P L M N M N P L M N P 若点向、、、所作垂线的垂足分别为、、、、，由西姆松定理可知、、在一条直线上，、、在一条直线上，故、、、在同一条直线上4.ABC PQ P Q ∆例设的外接圆的任意直径为，则关于、的西姆松线是互相垂直的。

欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。

欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。

海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相交于点D 、E 、F ，则三角形DDE 是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD 内接于圆，则有；分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使∠ADE=∠BDC，由∠DAE=∠DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．定理：在四边形ABCD 中，有，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。

【解析】在四边形ABCD内取点E，使，则：相似，所以，又因为且，所以相似，所以，所以，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。

1.1 直接应用托勒密定理1．如图所示，P是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：．CA BCDE【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．1. 2 完善图形借助托勒密定理2．如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．3．证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得．1.3 构造图形借助托勒密定理4．若a、b、x、y是实数，且．求证：．【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵．1.4 巧变原式妙构图形，借助托勒密定理5．已知a、b、c是△ABC的三边，且，求证：∠A=2∠B．分析：将变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．【解析】：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是，则依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①，而已知，即．②，比较○1○2得，，，∴∠BAC=2∠ABC ．1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理6． 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：1A 1A 2=1A 1A 3+1A 1A 4．(1987年第二十一届全苏)分析 注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理． 证明 连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ．本题即证1a =1b +1c．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1c说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛． 7． 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，求证：。

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

高中数学常用平面几何名定理定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

定理2 Ceva定理定理3 Menelaus定理定理4 蝴蝶定理定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。

定理5 张角定理在△ABC中，D是BC上的一点。

连结AD。

张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

定理7 Eular line：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。

1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

数学竞赛初级讲座西姆松定理及应用
西姆松定理是数论中的一项重要定理，它是由19世纪德国数学家西姆松提出并证明的。

该定理主要研究了自然数的整数解以及它们之间的关系。

西姆松定理通过对自然数的研究，揭示了数的分割方式以及质数的分布规律。

具体地说，西姆松定理指出：对于任意一个自然数n，都可以表示为若干个质数的和。

举例来说，对于自然数4，它可以表示为2+2，也可以表示为3+1。

同样地，自然数6可以表示为3+3，也可以表示为5+1。

这种用质数表示自然数的分解方式称为西姆松表示，而西姆松定理证明了所有的自然数都可以进行西姆松表示。

西姆松定理不仅为数论的研究提供了重要的依据，而且在实际应用中也起到了重要的作用。

例如，在密码学中，西姆松定理被应用于公钥密码体制的安全性分析中。

总的来说，西姆松定理是数学竞赛初级阶段非常重要的内容之一。

了解并掌握这个定理可以帮助我们更好地理解数字之间的关系，拓宽数学思维的广度和深度。

全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）及部分定理内容全国高中数学联赛竞赛大纲命题要求：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用和灵活运用的能力。

试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分为150分。

“全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷满分为150分。

一先行:全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，全然按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即为中考所规定的科学知识范围和方法，在方法的建议上有所提升，其中概率和微积分初步不托福。

二先行:1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理梅涅劳斯（menelaus）定理（缩写梅氏定理）就是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它表示：如果一条直线与△abc的三边ab、bc、ca或其延长线处设f、d、e点，那么(af/fb)×(bd/dc)×(ce/ea)=1。

或：设x、y、z分别在△abc的bc、ca、ab所在直线上，则x、y、z共线的充要条件就是(az/zb)*(bx/xc)*(cy/ya)=1。

、塞瓦定理、在△abc内任取一点o，直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，则(bd/dc)×(ce/ea)×(af/fb)=1。

托勒密定理、指圆内直奔圆锥四边形两对对边乘积的和等同于两条对角线的乘积。

西姆松定理。

西姆松定理是一个几何定理。

表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）。

1已知：AD为BC边上的中线结论：（2）垂线定理已知：AD为BC边上的高结论：（3）梅涅劳斯定理已知：一条直线与△ABC三边或其延长线交于R、Q、P（4）塞瓦定理已知：三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z（5）角平分线定理已知：AD为∠BAC平分线（6）斯特瓦尔特定理已知：D为BC边上一点结论：7结论：（8）外森皮克不等式已知：三角形的面积为S结论：（9）西姆松定理已知：过△ABC外接圆上一点P作三边或其延长线的垂线结论：三个垂足M、N、Q共线（10）海伦公式已知：△ABC三边分别为a、b、c其中（11）燕尾定理已知：△ABC中，AD、BE、CF相交于OAA12已知：△ABC外接圆半径为R，三顶点A、B、C所对的边为a、b、c结论：（13）余弦定理已知：△ABC三顶点A、B、C所对的边为a、b、c结论：（14）张角定理已知：D是△ABC中BC上一点（15）托勒密定理已知：四边形ABCD为圆内接四边形结论：（任意凸四边形ABCD，必有，当且仅当ABCD四点共圆时取等）（16）九点圆定义：三角形三边的中点MHG，三条高的垂足DEF和各顶点与垂心连线的中点PNQ，九点共圆。

结论：①九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；②九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；③九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）DFB CCAAB17已知：M是弦AB中点，任意两条弦CD、EF过点M，DE、CF交AB于P、Q（18）欧拉线定义：三角形的外心O、重心G、九点圆圆心V和重心H，依次位于同一直线上，这条直线即欧拉线（19）弦切角定理已知：PA切圆于点A（20）圆幂定理已知：弦AB与弦CD交于点P结论：已知：PQ切圆于Q，割线PB、PD交圆于A、CDAB CPDPB21结论：已知：P是矩形内任意一点结论：（22）维维亚尼定理已知：P是等边△ABC内任意一点，P到三边的距离分别是，h1、h2、h3，等边△ABC的高为H（23）莫利定理已知：△ABC各内角的三等分线交点为D、E、F结论：△DEF为等边三角形（24）笛沙格定理已知：△ABC和△A1B1C1中，AA1、BB1、CC1交于一点P结论：AB与A1B1交点D，BC与B1C1交点E，AC与A1C1交点F，三点共线B DABBCB CB25定义：三角形内到三个顶点距离之和最短的点结论：①若三角形有一个内角≥120°，则此内角的顶点为费马点；②若三角形三各内角均小于120°，以三角形三边向外作等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，AF、BG、CE交于一点P，点P为费马点，此时（26）婆罗摩笈多定理已知：圆内接四边形的对角线互相垂直相交结论：从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点(G为AD中点)E。

数学竞赛中几个重要定理1、梅涅劳斯定理：如果在厶ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F 且D 、E 、F:如果在厶ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F ,且满足BC?C A?A F =1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ ABC 的重心为G , M 是BC 边的中点，过 G 作BC 边的平行线 AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△ MPQ ABC三点共线，则BC?CA?AF=12、梅涅劳斯定理的逆定理AC【例2】以厶ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB AC交于点D和E,分别过点D, E作BC的垂线，垂足依次为F，G,线段DG和EF交于点M.求证：AML BCH G【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB , DC 的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证: P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M ,过M作AD的平行线分别交AB , CD于点E, F,交BC的延长线于点O, P是以0为圆心，以0M为半径的圆上一点.求证：/ 0PF= / 0EP【练习2】在厶ABC中, / A=90°,点D在AC上，点E在BD 上, AE的延长线交BC于F.若BE : ED=2AC : DC，则/ ADB= / FDCN、P、M,则j AM?_BN?Cp i MB NC塞瓦定理：设o是厶ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于PA Array塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ ABC的边AB、BC、CA上，且满足空？聖？竺1，MB NC PA则AN、BP、CM相交于一点.【例1】BE是厶ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D, F,过D作DN // CG交BG于N, △ DGL及厶FGM是正三角形求证：△ LMN为正三角形.BD 1【例2】在厶ABC中，D是BC上的点=— , E是AC中点.AD与BE交于O, CO交AB于FDC 3求四边形BDOF的面积与厶ABC的面积的比【练习1】设P ABC内一点，使/ BPA= / CPA, G是线段AP上的一点，直线BG , CG分别交边AC , AB于E, F.求证：/ BPF= / CPEC【练习2】在厶ABC中，/ ABC和/ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分/ BAC ,过点D作垂线DP丄AB于P, DQ丄AC于Q, CP于BQ相交于K.求证：AK丄BC【例1】 已知在△ ABC 中，AB>AC ,/ A 的一个外角的平分线交厶 ABC的外接圆于点 E ,过E 作EF 丄AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过/ XOY 的平分线上的一点 A ，任作一直线与 0X 及0Y 分别相交于P , Q.求证：+ ^^为定值OP 0Q托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有 AB • CD+AD • BC=AC •BDEAFBV【例3】解方程.x24+ ... x21八7X【练习1】设AF为O O1与O O2的公共弦，点B, C分别在O O1 , O O2上，且AB=AC，/ BAF , / CAF的平分线交O 01,0 02于点D , E.求证：DE丄AF【练习2】O 0为正△ ABC的外接圆，AD是O 0的直径，在弧BC上任取一点P （与B , C 不重合）.设E, F分别为△ PAB, △ PAC的内心证明：PD=I PE-PFI西姆松定理：点P 是厶ABC 外接圆周上任意一点, 垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线 .【例1】过正△ ABC 外接圆的弧 AC 上点P 作P D 丄直线AB 于D,作PE 丄AC 于E,作PF 丄BC 于F.求证：丄+丄二丄PF PD PE【练习1】设P ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC , AC 所在的直线的对称点分别为 P i , P 2.求证：直线P 1P 2经过△ ABC 的垂心.PD 丄 BC ,D APEB三角形的五心内心【例1】设点M是厶ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径rC【例2】在厶ABC中，AB=4 , AC=6 , BC=5 , / A的平分线AD交厶ABC的外接圆于K.O , I分别为△ ABC的外心，内心•求证：01丄AKC【练习】在厶ABC中，/ BAC=30°,/ ABC=7O0, M为形内一点，/ MAB= / MCA=20 0求/ MBA的度数.外心【例1】锐角△ ABC的外心为0,线段0A , BC的中点为M , N，/ ABC=4 / OMN ,/ ACB=6 / 0MN.求/ 0MNC【例2】在等腰△ ABC中，AB=BC , CD是它的角平分线，0是它的外心,过0作CD的垂线交BC于E,再过E作CD的平行线交AB于F，证明:BE=FD.【练习】1、O O i与o 02相交于P, Q,O O1的弦PA与O 02相切，O 02的弦PB与O O i相切.设厶PAB的外心为0,求证：0Q丄PQ重心【例1】在厶ABC中，G为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC, CA, AB 于F, E, D.FP EP DP求证：+ + =3FG EG DG【例2】已知△ ABC的重心G和内心I的连线GI // BC,求证：AB+AC=2BCP02 010.BA【练习】1、设M为厶ABC的重心，且AM=3 , BM=4 , CM=5，求△ ABC的面积.2、设0是厶ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是厶ACD的重心，求证：0G丄CDA 垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.【例1】△ ABC的外接圆为O0, / C=6O0, M是弧AB的中点，H是厶ABC的垂心.求证：0M丄0HC【例2】已知AD , BE , CF是锐角△ ABC的三条高，过D作EF的平行线RQ, RQ分别交AB和AC于R, Q, P为EF与CB的延长线的交点证明：△ PQR的外接圆通过BC的中点M.旁心【例1】在锐角/ XAY内部取一点，使得/ ABC= / XBD，/ ACB= / YCD.证明：△ ABC的外心在线段AD上.【例2】AD是直角△ ABC斜边BC上的高（AB<AC ）, I i, I2分别是△ ABD , △ ACD的内心,△ A I i 12的外接圆O O分别交AB , AC于E, F,直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I i, 12分别是△ ODM的内心与旁心相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，/ ABC= / ADE，/ AEC= / ADB.证明：/ BAC= / DAE【例2】已知O O i与O 02相交于A , B,直线MN垂直于AB且分别与O O i与O 02交于M , N , P是线段MN的中点，Q i, Q2分别是O O i与O 02上的点，/ AO i Q i = / AO2Q2求证：PQ i=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB // CD , AB>CD, K, M分别是腰AD , CB上的点，/ DAM= / CBK,求证：/ DMA= /CKB其他的一些数学竞赛定理1、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和推论2:设厶ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m e贝U ： m a = — \2b 2 2c 2 a 2 ； 册=丄¥‘~2c 2~b 2 ； 咖=丄它 ~2b 2~e 2 2 '2 '2外角平分线定理：如图，AD 是厶ABC 中/ A 的外角平分线交 BC 的延长线与D ,3、三角形位似心定理：如图，若△ ABC 与厶DEF 位似，则通过对应点的三直线 AD 、BE 、CF 共点 2、三角形内、外角平分线定理 ：BD 内角平分线定理：如图：如果/ 1= / 2,则有 丿ABDC AC 则有电 DC AB ACP5、欧拉定理：△ ABC 的外接圆圆心为 O,半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记Ol=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、 BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.4、 正弦定理、在△ ABC 中有 a sin A bsin B 2R （ R ABC 外接圆半径）sin C 余弦定理：a 、b 、cABC 的边，则有:a=b 2+c 2-2bc • cosA; b 2=a 2+c 2-2ac • cosB; c 2=a 2+b 2-2ab • cosC;。

初中数学奥林匹克几何问题：第7章九点圆定理及应用_答题技巧初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用：
注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点(可以重合)，若每两对点同在一个圆上，则三对点(六点)均在同一圆上.
事实上，若所说三个圆不重合.则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形.
由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：
推论1 九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的1/2.。