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例题：已知A i ∈F (X )，B i ∈F (Y )，C i 、C ′∈F (Z )，i = 1, 2。
对于如下的二维二重模糊推理问题： 规则1 if A 1 and B 1 then C 1规则2 if A 2 and B 2 then C 2前提 x 0 and y 0结论 C ′如果模糊蕴涵算子取R c ：a → b = a ∧b ，模糊关系合成算子取◎：“max ⎯min ”合成，模糊推理前提为确定的数值（x 0, y 0）。
多重模糊推理先合成再取并的方法。
(1) 给出推理结果模糊集C ′ 的表达式，并写出完整的推导过程；(2) 利用下面的示意图，画出推理结果模糊集C ′ 的图形。
1A 1B 1C 1h 11 h2 A 2 B 2 C 20 x 0 0 y 0 0解：第一步，先将二维转化成一维，变成如下的二重模糊推理：规则1 if A 1∩B 1 then C 1规则2 if A 2∩B 2 then C 2前提 x 0 and y 0结论 C ′第二步，对上述二重模糊推理采用先合成再取并的方法运算：由于模糊规则是“或”的关系，根据多重模糊推理先合成再取并的方法有：U I o 2100])[(} and {=→=′i i i i C B A y x C令])[(} and {00i i i i C B A y x C →=′I o则)(max )(121z C z C i i ′=′≤≤，∀ z ∈Z 如果模糊蕴涵算子取R c ：a → b = a ∧b ，模糊关系合成算子取◎：“max ⎯min ”合成，模糊推理前提为确定的数值（x 0, y 0），则有C i ′ (z ) = [A i (x 0)∧B i (y 0)]∧C i (z )Δh i ∧C i (z )，∀ z ∈Z21max )(≤≤=′i z C { h i ∧C i (z )} = 21max ≤≤i {[A i (x 0)∧B i (y 0)]∧C i (z )}，∀ z ∈Z 上述计算C ′ (z ) 的方法称为马丹尼（Mamdani ）极小运算法，其示意图如下：0 x00 y00。
§3.3 模糊推理系统系统是指两个以上彼此相互作用的对象所构成的具有某种功能的集体。
模糊推理系统又称为模糊系统，是以模糊集合理论和模糊推理等技术为基础，具有处理模糊信息能力的系统。
模糊推理系统以模糊理论为主要计算工具，可以实现复杂的非线性映射，而且其输入输出都是精确的数值，因此具有广阔的应用前景。
3.3.1 模糊推理系统的结构一、模糊推理系统的组成模糊推理是一种仿生行为的近似推理方法，主要用来解决带有模糊现象的复杂推理问题。
由于模糊现象普遍存在，因此，模糊推理系统被广泛使用。
目前，已经在自动控制，数据处理、决策分析及模式识别等领域得到成功应用。
从功能上来看，模糊推理系统主要由模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊化几部分组成，其基本结构如图3.3.1所示。
图3.3.1模糊推理系统的功能结构二、模糊推理系统的工作过程为了满足实际信息处理需要，模糊系统的输入输出必须是精确的数值。
由图3.3.1看出，模糊推理系统的工作机理为：首先通过模糊化模块将输入的精确量进行模糊化处理，转换成给定论域上的模糊集合；然后激活规则库中对应的模糊规则，并且选用适当的模糊推理方法，根据已知模糊事实获得推理结果，最后将该模糊结果进行去模糊化处理，得到最终的精确输出量。
关于模糊推理方法，前面已经做了比较详细的介绍。
但是模糊推理系统对模糊规则库有何要求？如何将精确值转换成模糊集合，以及如何将模糊集合去模糊化，使之成为精确的数值？这些内容是设计模糊推理系统的基础，现在将详细阐述这方面的内容。
3.3.2 模糊化(Fuzzification)精确值进入模糊推理系统时，一般要将其模糊化成给定论域上的模糊集合。
可见，模糊化的实质是将给定输入*x转换成模糊集合*~A。
模糊化的原则是：①在精确值*x处模糊集合*~A的隶属度最大；②输入数据若噪声干扰时，模糊化结果就具有一定的抗干扰能力；③模糊化运算应尽可能简单。
下面介绍三种常用的模糊化方法。
例题：已知A i ∈F (X )，B i ∈F (Y )，C i 、C ′∈F (Z )，i = 1, 2。
对于如下的二维二重模糊推理问题： 规则1 if A 1 and B 1 then C 1
规则2 if A 2 and B 2 then C 2
前提 x 0 and y 0
结论 C ′
如果模糊蕴涵算子取R c ：a → b = a ∧b ，模糊关系合成算子取◎：“max ⎯min ”合成，模糊
推理前提为确定的数值（x 0, y 0）。
多重模糊推理先合成再取并的方法。
(1) 给出推理结果模糊集C ′ 的表达式，并写出完整的推导过程；
(2) 利用下面的示意图，画出推理结果模糊集C ′ 的图形。
1
A 1
B 1
C 1
h 1
1 h
2 A 2 B 2 C 2
0 x 0 0 y 0 0
解：第一步，先将二维转化成一维，变成如下的二重模糊推理：
规则1 if A 1∩B 1 then C 1
规则2 if A 2∩B 2 then C 2
前提 x 0 and y 0
结论 C ′
第二步，对上述二重模糊推理采用先合成再取并的方法运算：
由于模糊规则是“或”的关系，根据多重模糊推理先合成再取并的方法有：
U I o 2
100])[(} and {=→=′i i i i C B A y x C
令
])[(} and {00i i i i C B A y x C →=′I o
则
)(max )(12
1z C z C i i ′=′≤≤，∀ z ∈Z 如果模糊蕴涵算子取R c ：a → b = a ∧b ，模糊关系合成算子取◎：“max ⎯min ”合成，
模糊推理前提为确定的数值（x 0, y 0），则有
C i ′ (z ) = [A i (x 0)∧B i (y 0)]∧C i (z )Δh i ∧C i (z )，∀ z ∈Z
21max )(≤≤=′i z C { h i ∧C i (z )} = 2
1max ≤≤i {[A i (x 0)∧B i (y 0)]∧C i (z )}，∀ z ∈Z 上述计算C ′ (z ) 的方法称为马丹尼（Mamdani ）极小运算法，其示意图如下：
0 x00 y00。
