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江苏省常州一中高三上学期期中考试数学(理)

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2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．（第11题图）16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n nf x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲） （图乙）（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．附加题部分 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，MPABOC D （第21—A 题）求证：O C P D 、、 、 四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．2012届高三年级期中考试PAB CD 1A 1B1C 1D（第22题图）数学Ⅰ（选修物理） 2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅（第11题图）可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r ，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，,()BC x y =u u u r ,, ………………………2分 因为//AD BC u u u r u u u r，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r，，(2 3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r，， ………………6分因为AC BD ⊥u u u r u u u r ，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =u u u r ，，(0 4)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =u u u r ，，(8 0)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+4， ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x xωωωω=+-()212sin cos x x ωω=-211sin 22xω=- ()11cos 4122xω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分 因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a Bcc =， 由正弦定理得sin sin a B Ac =，所以，sin b B c =； ………………………………………………………………………………7分 （2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=， 所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-o ，………………………………………2分解得tan α，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=oo； ………………1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈o o，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+o，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+o ，……………………………………8分 解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x =是[)0 +∞，上的正函数，且()f x =在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b ==，， …………………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，， (7)分 两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分 记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理） 附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦， 求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………MPABOC D （第21—A 题）8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩, , ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,. …………………………10分C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分 D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， (3)分又正实数a ，b满足1a b -+≥PABCD 1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） (6)分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围． 【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD ,, 分别为x y z , , 轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ， 所以10A P BP ⋅=u u u r u u u r，即()()11100x x λ--⋅-=,, , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=14243个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j jk k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

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《精编》江苏省常州高级中学高三数学上学期试卷 理(含解析)新人教A版.doc

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2021-2021学年江苏省常州高级中学高三〔上〕期中数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．〔5分〕复数，〔m∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么m的值是﹣1 ．考点：复数的根本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi〔a、b为实数〕的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：此题考查复数的根本概念，复数代数形式的乘除运算，是根底题．2．〔5分〕〔2021•南京模拟〕设集合，那么A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：此题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基此题．3．〔5分〕函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f〔x〕的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f〔x〕的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：此题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．〔5分〕过点〔1，0〕且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点〔1，0〕的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点〔1，0〕的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=〔x﹣1〕，即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：此题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．〔5分〕右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y 的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图〔或伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图〔或伪代码〕，从流程图〔或伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．〔5分〕设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：此题考查由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，此题重点是判断出是周期的整数倍，那么问题得解7．〔5分〕设a∈R，那么“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞〕考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞必有a〔a+1〕=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：此题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．〔5分〕设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°〕．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°〕故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°〕点评：此题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．〔5分〕假设，那么a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点此题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类评：讨论的数学思想，属于根底题．10．〔5分〕如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，那么△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于根底题．11．〔5分〕△ABC中，AB边上的中线CM=2，假设动点P满足，那么的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合根本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由根本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：此题考查向量的数量积的运算和根本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．〔5分〕〔2021•扬州模拟〕等差数列{a n}的前n项和为S n，假设〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1，那么以下四个命题中真命题的序号为②③．①S2021=2021；②S2021=2021；③a2021＜a2；④S2021＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据条件可判断a2＞1，0＜a2021＜1，0＜a2021＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2021=2，利用等差数列的性质可知a1+a2021=a2+a2021=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2021﹣1＜0即a2＞1，0＜a2021＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2021＜a2正确把的两式相加可得〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕+〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=0整理可得〔a2+a2021﹣2〕•[〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021]=0 结合上面的判断可知〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021＞0所以a2+a2021=2，而②正确由于d＜0，a2021＜a2021＜1，那么S2021=S2021﹣a2021=2021﹣a2021＞2021①错误由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2021﹣s2=a3+a4+…+a2021=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：此题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，那么a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．〔5分〕关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么的最小值是8 ．考点：根本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合根本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，那么〔当且仅当t=3，即b=3a时等号成立〕；故答案为8．此题考查根本不等式的应用，关键是对M变形，转化为根本不等式的问题．点评：14．〔5分〕二次函数f〔x〕=x2﹣x+k，k∈Z，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣2在上有两个不同的零点，那么的最小值为．二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．考点：计算题；压轴题．专题：分根据函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 析：值从而得出二次函数f〔x〕=x2﹣x，值域，再将=结合根本不等式即可求出的最小值．解解：假设函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，那么答：k=2．∴二次函数f〔x〕=x2﹣x+2，其值域f〔x〕∈[，+∞〕，=≥2=2，当且仅当f〔x〕=即f〔x〕=时取等号，而∉[，+∞〕，∴当f〔x〕=时，的最小值为．故答案为：点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、根本不等式等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于根底题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔10分〕函数．〔1〕求f 〔x 〕的最小正周期和值域； 〔2〕假设x=x 0为f 〔x 〕的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换． 专题： 计算题． 分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f 〔x 〕的解析式为 ，由此求得最小正周期和〔2〕由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：〔1〕易得==所以f 〔x 〕周期π，值域为；〔2〕由，得，又由得，所以，故，此时，==点评： 此题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的题． 16．〔10分〕〔2021•盐城三模〕设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：〔1〕根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．〔2〕此题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和根本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴〔2a+c〕accosB+cabcosC=0，即〔2a+c〕cosB+bcosC=0，那么〔2sinA+sinC〕cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin〔C+B〕=0，即，B是三角形的一个内角，∴〔Ⅱ〕∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：此题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，此题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．〔15分〕〔2021 •上海〕函数f〔x〕=x+的定义域为〔0，+∞〕，且f〔2〕=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．〔1〕求a的值．〔2〕问：|PM|•|PN|是否为定值？假设是，那么求出该定值；假设不是，请说明理由．〔3〕设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考函数与方程的综合运用．点：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．专题：分〔1〕由f〔2〕=2+=2+求解a．析：〔2〕先设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．〔3〕由〔2〕可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解解：〔1〕∵f〔2〕=2+=2+，∴a=．答：〔2〕设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．〔3〕由题意可设M〔t，t〕，可知N〔0，y0〕．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=〔x0+y0〕．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△O PN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=〔x02+〕+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：此题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．〔15分〕设函数上两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，假设，且P点的横坐标为〔1〕求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；〔2〕假设，n∈N*，求S n；〔3〕记T n为数列的前n项和，假设对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕可设，由，可得，代入解析式验证即可．〔2〕由〔1〕知，而由，可变形为两式相加可得到解决．〔3〕由〔2〕知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：〔1〕设，又∵，∴，又，∴〔2〕由x1+x2=1，得∴，又∴，即〔3〕∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g〔n〕在上是增函数，在上是减函数，我且g〔3〕=7，g〔4〕=7，∴g〔n〕的最大值为7，即，∴点评：此题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．〔15分〕〔2021•南汇区二模〕某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y〔毫克/升〕满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4〔毫克/升〕时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4〔毫克/升〕且不高于10〔毫克/升〕时称为最正确净化．〔1〕如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水到达有效净化一共可持续几天？〔2〕如果投放的药剂质量为m，为了使在7天〔从投放药剂算起包括7天〕之内的自来水到达最正确净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕由m=4，且y=m•f〔x〕，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4〔即y≥4〕时，要分区间去求解．〔2〕由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最正确净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：〔1〕因为m=4，所以y=m•f〔x〕=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水到达有效净化一共可持续8天．〔2〕由y=m•f〔x〕=知，在区间〔0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间〔4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水到达最正确净化，该投放的药剂量应为．点评：此题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．〔15分〕〔2021•徐州二模〕函数f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x〔a，b不同时为零的常数〕，导函数为f′〔x〕．〔1〕当时，假设存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′〔x〕＞0成立，求b的取值范围；〔2〕求证：函数y=f′〔x〕在〔﹣1，0〕内至少有一个零点；〔3〕假设函数f〔x〕为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．考点：专计算题；证明题；压轴题；转化思想．题：分〔1〕当时，f′〔x〕==，由二次函数的析：性质，分类讨论可得答案；〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，所以f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；〔3〕将“关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根〞转化为“函数f〔x〕与的交点〞问题解决，先求函数f〔x〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，可解得b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，再由“f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f〔x〕，再求导，由，知f〔x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解解：〔1〕当时，f′〔x〕==，答：其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；〔4分〕〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，∴f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．〔3〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，所以b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，又f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f〔x〕=x3﹣x．因为所以f〔x〕在上是増函数，在上是减函数，由f〔x〕=0解得x=±1，x=0，如以下列图，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：此题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

常州市2023-2024学年高三上学期期中学业水平监测数学试题(含答案)

常州市2023-2024学年高三上学期期中学业水平监测数学试题(含答案)

常州市2023-2024学年上学期期中学业水平监测高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}310,1A x x B xx ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭，则()RA B =ð（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,32．i 是虚数单位，复数i1i+在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数()()22ln 1f x x x =-的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos2sin 1αα+=，则（ ） A ．()2sin 3πα-=B ．()2cos 3πα-=-C ．sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ D ．cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭6．已知四棱台1111ABCD A B C D -的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直若119,6,3AB AD A B ===，棱台的体积为 ）A ．60B ．C ．60D ．60+7．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，点,A B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB △为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭ В．⎫⎪⎝⎭ C ．()D ．⎫+∞⎪⎝⎭8.．居民的某疾病发病率为1%，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（ ）A ．0.99B ．0.9C ．0.5D ．0.1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()31120f f f -<-==≤，则（ ） A ．2a =- B ．1b = C ．03c <≤ D ．12c -<≤10．某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（ ）参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：A ．该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6B ．随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法C ．有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系D ．没有99%的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系11．设ABC △内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，则下列说法正确的有（ ） A ．若2sin sin sin A B C ⋅>，则3C π<B ．若sin sin 2sin A BC +>，则3C π<C ．若2C π>，则可能有444a b c += D ．若2C π<，则可能有112a b c +<12．已知AB 为圆柱的母线，BD 为圆柱底面圆的直径，且4AB BD O ==,为AD 的中点，点C 在底面圆周上运动（不与点,B D 重合），则（ ） A ．平面ABC ⊥平面OCDB ．当BC CD =时，点A 沿圆柱表面到点C C ．三棱锥D OBC -的体积最大值是163D ．AC 与平面ABD 所成角的正切值的最大值是12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答） 14．在提醒ABCD 中，已知,2,1,60AB DC AB AD BC ABC ===∠=︒∥，点,E F 分别在线段BC 和CD 上，则AE AF ⋅的最大值为_________． 15．若关于x 的方程ln 2xt x =-有两个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是_________．16．在平面凸四边形ABCD 中，CB CD AB AD ===，且60,90B A D BCD ∠=︒∠=︒，将四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到达点E 的位置．若二面角E BD C --的大小范围是5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则三棱锥E BCD -的外接球表面积的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了x y 、的一组数据如下表所示：该社团对上述数据进行了分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系．附：在线性回归方程y a bx =+中，1221ˆˆˆ,()niii nii x ynxybay bx xn x ==-==--∑∑，其中,x y 为样本平均值． （1）画出表中数据的散点图，并指出y 与x 之间的相关系数r 是正还是负； （2）求出y 关于x 的线性回归方程，并写出当9x =时，预测数据y 的值．18．（12分）已知ABC △中，90BAC ∠=︒，点,M N 在边BC 上，,AM AN 三等分BAC ∠，M 靠近,B N 靠近C ．（1）若2AN MN =，且4AB =，求BM ； （2）若11BC BM =，求BNBM． 19．（12分）已知函数()()2212ln ,2a f x x a x x a =+--∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）对于[][)1,e ,2,x b ∀∈∃∈+∞，使得()f x b ≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．两次展示的颜色中，黑色的次数记为X ，求随机变量X 的分布和数学期望．21．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -，2AB AC ==，111360AA A AB A AC BAC =∠=∠=∠=︒，,M N 为线段11,AC BA 上的点，且满足11(01)AM BNt t AC BA ==<<．（1）求证：MN ∥平面ABC ； （2）求证：1BB BC ⊥；（3）设平面MNA 平面ABC l =，已知二面角M l C --t 的值． 22．（12分）已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象．（1）求函数()f x 的解析式，并直接写出函数()(),g x h x 的解析式； （2）若()()2F x g x ah x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在()()*0,n n π∈N 内恰有2023个零点，求实数a 与正整数n 的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.1．【答案】C【解析】{}{}{}R 1,03,03A x x B x x x B x x =≥=<≥=≤<或ð，{}R 13A B x x =≤<ð，选C ．2．【答案】A【解析】()2i 1i i i i 1i 1i 222--+===+位于第一象限，选A ． 3．【答案】D【解析】()f x 为奇函数关于原点对称，排除BC ，12x <<时，()0f x <，排除A ，选D ． 4．【答案】D【解析】若甲是冠军，则三位预测正确，A 错． 若乙是冠军，则一位预测正确，B 错． 若丙是冠军，则没人预测正确，C 错． 若丁是冠军，则两人预测正确，D 对，选D ． 5．【答案】A【解析】3cos2sin 1αα+=，则()2312sinsin 1αα-+=，则()22sin sin 33απα=-=，A 对．()cos cos 3παα-=-=-，В错．sin cos 2παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，C 错，2cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，D 错，选A ．6．【答案】D【解析】54S =上，326S =⨯=下，(15463V h =++=，h ∴=侧棱14AA ==，()11111393ABB A CDD C S S =+==， ()11111622ADD A BCC B S S =+⋅==，60S =+底D ． 7．【答案】B【解析】2,1,,1,A B AOB ππωω⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△为锐角三角形，2220,10OA OB πω⋅>∴->，20,202AO AB πωω><⋅⋅∴+>恒成立；0BO BA ⋅>，2220πω∴-+>，2ω∴>，选B ． 8．【答案】C【解析】记“阳性”为A ，记“患病”为B ，()99%P A B =，()1%P B A =，()()()()1%99%1%P AB P AB P B P B ===，()99%1%P AB ∴=⨯，()()()1%99%1%P A P A P AB B =+=+⨯，()()()99%1%0.51%99%1%P AB P B A P A ⨯===+⨯， 选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】()()()()112f x x x x m =+--+，30m -<≤，2c m =+，12c -<≤，D 对，C 错．112,2a a -++=-∴=-，A 对．()111212,1b b -⨯+-⨯+⨯=∴=-，B 错．本题考查知识点：三次函数韦达定理：()32f x ax bx cx d =+++有三个零点123,,x x x ，则123bx x x a++=-， 121323123,c dx x x x x x x x x a a++==-． 10．【答案】BC 【解析】6010.69000150=≠，A 错． 4000:500040:50=，B 对．2290(20102040)9 6.63560304050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，C 对，D 错，选BC ．11．【答案】ABD【解析】2sin sin sin A B C >，则2ab c >，2222221cos ,22223a b c a b ab ab ab C C ab ab ab π+-+--=>≥=∴<，A对．sin sin 2sin ,2,2a bA B C a b c c ++>∴+><， ()2222222222()4424cos 228a b a b a b a ab b a b c C ab ab ab ++-+-+++-=>=22332621,8823a b ab ab ab C ab ab π+--=≥=∴<，B 对．2C π>，则2220a b c +-<，即222a b c +<，则442242a b a b c ++<与444a b c +>矛盾，C 错．2C π<，则222a b c +>，不妨设2,1a b c ===，则122+<，D 对．选ABD ．12．【答案】AB【解析】C 在以BD 为直径的圆上，CD CB ∴⊥，又,AB CD CD ⊥∴⊥面ABC ，∴面ABC ⊥面OCD ，A 对．BC CD =时，C 为半圆中点，展开后BC π=，min AC ∴=B 对．O 到面BCD 的距离为2，14242BCD S ≤⨯⨯=△，184233O BCD V -∴≤⨯⨯=，C 错． BD 为直径作EF BD ⊥为另一条直径，EF 为面ABD 的直径，以BD 中点建系，面ABD 的法向量的()1,0,0n =，()0,2,4A -，()4cos ,4sin ,0C θθ，()4cos ,4sin 2,4AC θθ=+-设AC 与面ABD 所成的角为α，sin cos ,16cos AC n α=〈〉====，[]4sin 9,5,13,sin t t θα⎡+=∈=⎢⎣，max 1sin 2α=，tan α最大值不是12，D 错，选AB ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】216【解析】5本书送4人共有2454C A 240=，甲，乙送一人有44A 24=个结果，24024216-=． 14．【答案】3【解析】如图建系，()12,0,2B BM AN ==，32C ⎛∴ ⎝⎭，设13,,22E m m ⎛⎡⎤∈ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令BF BC λ=，[]2,0,12F λλ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 3333322224424224m m AE AF m m m m λλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=+-≤+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭93344≤+=．15．【答案】()0,+∞【解析】()()()22122ln 1ln ln ,2(2)(2)x x x x x x f x f x x x x '----===---， ()()2222121ln ,0,2xg x x g x x x x x x-=--=-==='， ()g x 在()0,2，()2,+∞，()max ()211ln20g x g ==--<，()0f x ∴'<． ()f x ∴在()0,2，()2,+∞，01x <<时，()0f x >；2x >时，()0f x >；12x <<，()0f x <，()f x t ∴=有两个根0t ⇔>．16．【答案】1628,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】90,2CB CD BCD BD AB AD ==∠=︒∴===，利用双距离单交线公式，EBD △外心1O 到BD的距离123m =⨯⨯= BCD △的外心2O 到BD 的距离0,n E BD C =--交线2l BD ==，设二面角E BD C --平面角为θ，外接球半径为R ，22222212cos 531,,sin 4sin 36m n mn l R θππθθθ+-⎡⎤∴=+=+∈⎢⎥⎣⎦， 22147sin 1,433R θ∴≤≤∴≤≤， ∴三棱锥E BCD -外接球的表面积216284,33S R πππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦表． 应填：1628,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：第16题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）r 是负．（2）23456752.54540302517.54.5,3566x y ++++++++++==== 66211882.5,139ii i i i x y x ====∑∑ 61622216822.56 4.535ˆ71396 4.56ii i i i x y xy b xx ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑ˆˆ35(7) 4.566.5ay bx =-=--⨯=，∴关于x 线性回归方程为66.57y x =-当9x =时， 3.5y =．18．【解析】（1）30BAM MAN NAC ∠︒∠=∠==，在AMN △中，,2sin sin30AN MN AN MN AMN ==∠︒，sin 1,90,4sin302AMN AMN BM ∴∠=∴∠=︒∴=︒=．（2）设BM t =，1111BC BM t ∴==，故10CM t =，在ACM △中，由正弦定理()sin 90sin 60AM CM B ⇒=︒-︒10cos AM t B B ⇒==， 在ABM △中，由正弦定理2sin sin sin30AM BM AM t B B =⇒=︒⇒，2sin ,tan t B B =∴= 在AMN △中，()sin sin 30sin 120sin 30AM MN AM MN ANM B =⇒=∠︒︒-︒2013t MN ∴==， 20331313t t BN BM t +∴==． 19．【解析】（1）()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x+---'+=+--==， ①当0a ≤时，()()0f x f x '<，在()0,+∞上；②当0a >时，令()10f x x a=⇒='． 且当10x a <<时，()()0,f x f x <'；当1x a >时，()()0,f x f x >'．（2）()min 2f x b ≥=对[]1,e x ∀∈恒成立．①当1a <时，()51122a f =-<，舍去． ②当1a ≥时，()()0f x f x '≥，在[]1,e 上，故只需()5611225a f a =-≥⇒≥符合． 综上：65a ≥． 20．【解析】（1）记事件A 为展示的一面颜色是红色，事件B 为剩下一面的颜色也是红色 ()()()()()11111,,33223P AB P B A P A P AB P A ∴==+⨯==， ()123132P B A ∴==． （2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为()112P A -=， 12,2X B ⎛⎫∴~ ⎪⎝⎭的二项分布X 的所有可能取值为0，1，2 ()211024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()212111C 22P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()124P X ==， X 的分布列如下：()11122E X =+=或由()1212E X nP ==⨯=． 21．【解析】（1）过,M N 分别作1ME CC ∥交AC 于点1,E NF A A ∥交AB 于点F ， 11ME AM CC AC ∴=且111111,,NF BN AM BN ME NF AA BA AC BA CC AA ==∴=， ME NF ∴∥，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF MN ∴∴∥，∥平面ABC ．（2）11113,2,BB BC B C AC AB AC AB AA ===-=--， 2111144922222322313222B C ∴=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 1B C ∴=22211BB BC B C ∴+=，1BB BC ∴⊥．（3）取BC 中点D ，连接1,,A D AD ABC △为等边三角形且2AB =，AD ∴=在1A AB △中，1A B ==111,A AB A AC AC ∴=△≌△在1AAC △中，D 为BC 中点，1A D BC ∴⊥，1A D ∴== 222111,A D AD AAA D AD ∴+=∴⊥如图，分别以1,,DA DB DA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．)()()((11,0,1,0,0,1,0,,A B C A C ∴--．()13,AM t AC M t =⇒--，又1BN tBA=，()0,1N t ∴-， ()()233,1,0,2,MN t AM t ∴=-=--，设平面AMN 的一个法向量(),,n x y z =，(101,30x y n ty ⎧-+=⎛⎫⎪∴⇒=- ⎪⎨⎝⎭⎪--+=⎩ 而平面ABC 的一个法向量()122120,0,1n n n n n ⋅==，3==，12t =或722． 22．【解析】（1）由图象知()f x 周期2,2T ππωπ=∴==，且52,12k k πϕπ⨯+=∈Z 5,0,,626k πππϕπϕϕ⎛⎫⇒=-∈∴= ⎪⎝⎭． 再由()()01sin 12,2sin 26f A A f x x πϕ⎛⎫=⇒=⇒=∴=+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 22sin 22cos2,2cos 662g x x x x h x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （2）()()22cos22cos 212sin 2sin 02F x x a x x a x π⎛⎫=+⋅=--= ⎪⎝⎭22sin sin 10x a x ⇒+-=令2sin ,210x t t at =∴+-=两根记为12,t t ，其中120t t <<， 作出sin y x =在()0,x n π∈上的大致图象如下：显然12,t t 中有一个为1-或1．①当11t =-时1a =，此时212t =，当n 为偶数时，1sin 2t =有n 个交点，sin 1t =-有2n 个交点，此时2023,2n n n +=∈Z 舍去． 当n 为奇数时，1sin 2t =有1n +个解，sin 1t =-有12n -个解，有3120232n n +=⇒∈Z ，舍去． ②当21t =时，1a =-，此时112t =-． 当n 为偶数时，sin 1t =有2n 个交点，1sin 2t =-有n 个交点，此时32023,2n n =∈Z 舍去． 当n 为奇数时，sin 1t =有12n +个解，1sin 2t =-有1n -个解． 11202313492n n n +∴+-=⇒=，故1,1349a n =-=．。

2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届江苏省常州市高三上学期期中数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =I ___________. 【答案】{}1,0-【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<Q ，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-I ．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算．2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.【答案】()1,7-【解析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．【答案】332【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则61336(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=o ． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = ． 【答案】3a =【解析】试题分析：函数ln(1)y ax x =-+的定义域为()1,-+∞，11y a x =-+'，由题意知12301a a =-∴=+ 【考点】导数的几何意义 5．已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________.【答案】【解析】∵点，，∴，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：故答案为：6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.【答案】2-【解析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，Q 30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====， 233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 【答案】2-【解析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r，则cos ,a c <>=r r ___________.【解析】根据条件求出a c ⋅=r r ||3c =r ，结合数量积公式即可求到结果．【详解】根据条件，可知222)|2|a c a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==r r r r r r r r，Q ||1a =r，||3c ===r ，则cos a <r，||||3a c c a c ⋅>==⋅r rr r r ．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．已知函数()y f x =的定义域为R ，()1f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x -<-.若()21f =，则等式()2log 1f x <的解集__________.【答案】()1,4【解析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x „时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +Q 为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<„，满足满足2121()()0f x f x x x -<-， 等价于121x x ∀<„，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x „时，函数()f x 单调递减．(2)1f =Q ，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。

2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(理科)

2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(理科)

2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. 已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{−2, −1, 0, 2}，则A∩B＝________．【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−2<x<2}，B＝{−2, −1, 0, 2}，∴A∩B＝{−1, 0}．2. 函数y＝log2(7+6x−x2)的定义域是________．【答案】(−1, 7)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数y的解析式，列不等式求出解集即可．【解答】函数y＝log2(7+6x−x2)中，7+6x−x2>0，即x2−6x−7<0，可化为(x+1)(x−7)<0，解得−1<x<7，所以y的定义域是(−1, 7)．3. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=________．【答案】3√3【考点】圆内接多边形的性质与判定【解析】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题．【解答】解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×(12×1×sin60)∘=3√32 3√34. 设曲线y ＝ax −ln(x +1)在点(0, 0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________． 【答案】 3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】根据导数的几何意义，即f′(x 0)表示曲线f(x)在x ＝x 0处的切线斜率，再代入计算． 【解答】y ＝ax −ln(x +1)的导数 y ′=a −1x+1，由在点(0, 0)处的切线方程为y ＝2x ， 得a −10+1=2， 则a ＝3．5. 已知点A(1, 3)，B(4, −1)，则与向量AB →同方向的单位向量的坐标是________． 【答案】(35,−45) 【考点】向量的概念与向量的模 【解析】由点A 、B 的坐标算出AB →=(3, −4)，从而得到|AB →|＝5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案． 【解答】∵ 点A(1, 3)，B(4, −1)，∴ AB →=(3, −4)，可得|AB →|=√32+(−4)2=5，因此，与向量AB →同方向的单位向量为：e →=1|AB →|⋅AB →=15(3, −4)=(35,−45)6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)＝−e ax ．若f(ln3)＝9，则a ＝________． 【答案】 −2【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据f(x)是奇函数，且x <0时，f(x)＝−e ax ，并且ln3>0，从而得出f(ln3)=−f(ln 13)=ealn13=9，从而可求出a ．【解答】∴ f(ln3)=−f(−ln3)=−f(ln 13)=ealn13=eln(13)a=(13)a =9，∴ 3−a ＝32，即−a ＝2， ∴ a ＝−2．7. 已知关于x 的不等式ax−1x+1<0的解集是(−∞,−1)∪(−12,+∞)，则实数a 的值为________． 【答案】 −2【考点】其他不等式的解法 【解析】不等式ax−1x+1<0⇔(x +1)(ax −1)<0，由于其解集是(−∞, −1)∪(−12, +∞)，可知：−12，−1是一元二次不等式ax 2+(a −1)x −1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出． 【解答】不等式ax−1x+1<0⇔(x +1)(ax −1)<0， 由于其解集是(−∞, −1)∪(−12, +∞)，∴ −12，−1是一元二次不等式ax 2+(a −1)x −1＝0的两个实数根， ∴ −12×(−1)=−1a，解得a ＝−2．8. 已知a →，b →为单位向量，且a →⋅b →=0，若c →=√5a →+2b →，则cos⟨a →,c →〉＝________．【答案】√53【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据条件求出a →⋅c →=√5，|c →|＝3，结合数量积公式即可求到结果． 【解答】根据条件，可知a →⋅c →=a →⋅(√5a →+2b →)=√5|a →|2+2a →⋅b →=√5|a →|2=√5，|a →|＝1，|c →|=√(√5a →+2b →)2=√5+4=3， 则cos <a →，c →>=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=√53．9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周对应的函数为g(x)．若g(π3)=√3，则f(3π8)=________．【答案】√2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值．【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)是奇函数，则φ=0，由于f(x)的最小正周期为π，所以ω=2.将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)=Asinx．若g(π3)=√3，所以Asinπ3=√3，解得A=2，所以f(x)=2sin2x.所以f(3π8)=2sin3π4=√2．故答案为：√2.10. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且对∀x1<x2≤1，满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0．若f(2)＝1，则不等式f(log2x)<1的解集为________．【答案】(1, 4)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由f(x+1)为R上的偶函数，结合函数图象的平移可知f(x)关于直线x＝1对称，结合已知可得函数f(x)在x≤1时的f(x)单调递减，由f(2)＝f(0)＝1，即可求解．【解答】∵f(x+1)为R上的偶函数，∴函数f(x)关于直线x＝1对称，对∀x1<x2≤1，满足满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0，等价于∀x1<x2≤1，f(x2)<f(x1)，即函数f(x)在x≤1时，函数f(x)单调递减．∵f(2)＝1，∴f(0)＝1，由f(log2x)<1可得，0<log2x<2，解得，1<x<411. 已知正实数x，y满足xy−x−2y＝1，则x+2y的最小值为________．【答案】4+2√6【考点】基本不等式及其应用由基本不等式可得，xy =12x ⋅(2y)≤12(x+2y 2)2，从而有x +2y +1≤12(x+2y 2)2，解不等式可求．【解答】正实数x ，y 满足xy −x −2y ＝1，xy ＝x +2y +1， 由基本不等式可得，xy =12x ⋅(2y)≤12(x+2y 2)2，当且仅当x ＝2y 时取等号， ∴ x +2y +1≤12(x+2y 2)2， ∵ x +2y >0解不等式可得，x +2y ≥4+2√612. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD →=DC →，AE →=12EB →，若BD →⋅AC →=5，则CE →⋅AB →=________．【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】将BD →=AD →−AB →代入BD →⋅AC →得2−AB →⋅AC →=5，所以AB →⋅AC →=−3，根据平面向量基本定理CE →⋅AB →=(13AB →−AC →)⋅AB →，代入计算即可．【解答】因为BD →=AD →−AB →=12AC →−AB →，所以BD →⋅AC →=(12AC →−AB →)⋅AC →=12|AC →|2−AB →⋅AC →=2−AB →⋅AC →=5，所以AB →⋅AC →=−3，因为CE →=AE →−AC →，又因为AE →=12EB →，所以AE →=13AB →，所以CE →⋅AB →=(13AB →−AC →)⋅AB →=13|AB →|2−AC →⋅AB →=13×9−(−3)=6．13. 已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA +tanB ＝0，则角C 的取值范围为________． 【答案】 π【考点】 解三角形三角形的面积公式 【解析】通过tanC ＝tan[π−(A +B)]利用公式展开，把3tanA +tanB ＝0代入，整理后利用基本不等式求得tanC 的最大值，结合正切函数的性质即可求解． 【解答】∵ 由已知可得tanB ＝−3tanA ，∴ tanC ＝tan(π−A −B)＝−tan(A +B)=tanA+tanB tanAtanB−1=−2tanA −3tan 2A−1=2tanA1+3tan 2A =21tanA+3tanA ，∵ A 、B 、C 为△ABC 的内角，若A 为钝角，则tanA <0，tanC =21tanA+3tanA <0，C 也为钝角，矛盾，∴ A 为锐角，tanA >0，可得tanC =21tanA+3tanA >0，C 也为锐角，∵ 1tanA +3tanA ≥2√3，当且仅当1tanA =3tanA 时，取“＝”号，即tanA =√33，∴ tanC =21tanA+3tanA ≤2√3=√33，∵ C ∈(0, π6]．14. 若对任意的x ∈[1, e 2]，都有3alnx ≤(a +1)x 恒成立，则实数a 的取值范围是________e3−e ] ． 【答案】 [−1， 【考点】函数恒成立问题 【解析】构造新函数，f(x)=lnx x，讨论f(x)在x ∈[1, e 2]的最值情况，从而求解实数a 的取值范围． 【解答】 当a >0时，可得lnx x≤a+13a由f(x)=lnx x， 得f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)＝0，可得x ＝e ，∵ x ∈(0, e)，f′(x)<0，∴ 在f(x)在区间(0, e)单调递增（1）∵ x ∈(e, +∞)，f′(x)>0，∴ 在f(x)在区间(e, +∞)单调递减（2）∴ x ＝e 时函数f(x)取得最大值为1∴a+13a ≥1e，解得：a≤3−ee，∴0≤a≤3−ee (3)当a<0时，可得lnxx≥a+13a，∵f(1)＝0，f(e2)=2e2>0，∴x＝1时函数f(x)取得最小值为0，可得a+13a≤0，∵a<0，∴a+1≥0，得−1≤a<0综上得实数a的取值范围是[−1, e3−e]．故答案为：[−1, e3−e]．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=√3sin2x+2sin2x．（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）求f(x)在区间[0,π2]上的最大值．【答案】f(x)=√3sin2x+2sin2x=√3sin2x+1−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)+1=2sin(2x−π6)+1．∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z；x∈[0, π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)在区间[0, π2]上的最大值为3．【考点】两角和与差的三角函数三角函数的最值（1）利用三角函数的诱导公式化简f(x)，由周期公式计算得f(x)的最小正周期，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z 可解得函数f(x)的单调增区间；（2）由x 的范围求出2x −π6的范围，进一步求出sin(2x −π6)的范围，则答案可求． 【解答】f(x)=√3sin2x +2sin 2x =√3sin2x +1−cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)+1=2sin(2x −π6)+1． ∴ f(x)的最小正周期T =2π2=π，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k ∈Z ； x ∈[0, π2]时，2x −π6∈[−π6,5π6]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，∴ f(x)在区间[0, π2]上的最大值为3．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． （1）求∠A ；（2）若a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，求△ABC 的面积． 【答案】b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． 由于cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得a 2−c 2−b 2+bc ＝0， 所以cosA =12，由于A ∈(0, π)，所以A =π3． 由于a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，所以AB →⋅AC →=|AB →||AC|→cosA =(AD →+DB →)⋅(AD →−DB →)=9−4=5， 则：|AB →||AD →|=5cosA =10，所以S △ABC =12|AB →||AD →|⋅sinA =5√32．余弦定理 【解析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果．（2）利用向量的数量积和三家形的面积的应用求出结果． 【解答】b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． 由于cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得a 2−c 2−b 2+bc ＝0， 所以cosA =12，由于A ∈(0, π)，所以A =π3． 由于a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，所以AB →⋅AC →=|AB →||AC|→cosA =(AD →+DB →)⋅(AD →−DB →)=9−4=5， 则：|AB →||AD →|=5cosA =10，所以S △ABC =12|AB →||AD →|⋅sinA =5√32．某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，其中4≤x ≤15）满足：当4≤x ≤9时，y ＝a(x −9)2+bx−3（a ，b 为常数）；当9≤x ≤15时，y ＝−5x +85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大． 【答案】因为x ＝6时，y ＝170；又x ＝9时，y ＝−5×9+85＝40， ∴ {9a +b3=170b 6=40，解得a ＝10，b ＝240；故每日销售量y ={10(x −9)2+240x−3,4≤x <9−5x +85,9≤x ≤15．由（1）知，当4≤x <9时，每日销售利润f(x)＝[10(x −9)2+240x−3](x −3)， 即f(x)＝10(x −9)2(x −3)+240＝10(x 3−21x 2+135x −243)+240； ∴ f ′(x)＝10(3x 2−42x +135)＝30(x −5)(x −9)； 当4≤x <5时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当5<x <9时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； ∴ x ＝5是函数f(x)在(4, 9)上的唯一极大值点； f(x)max ＝f(5)＝10×42×2+240＝560；∴ f(x)max ＝f(10)＝245．∴ 560>245，∴ 销售价格为5元/千克时，每日利润最大． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）由题意，代入数据求出a ，b ；从而求出函数的解析式；（2）由于是分段函数，讨论其各部分的最大值，从而求函数的最大值点． 【解答】因为x ＝6时，y ＝170；又x ＝9时，y ＝−5×9+85＝40， ∴ {9a +b3=170b 6=40 ，解得a ＝10，b ＝240；故每日销售量y ={10(x −9)2+240x−3,4≤x <9−5x +85,9≤x ≤15．由（1）知，当4≤x <9时，每日销售利润f(x)＝[10(x −9)2+240x−3](x −3)，即f(x)＝10(x −9)2(x −3)+240＝10(x 3−21x 2+135x −243)+240； ∴ f ′(x)＝10(3x 2−42x +135)＝30(x −5)(x −9)； 当4≤x <5时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当5<x <9时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； ∴ x ＝5是函数f(x)在(4, 9)上的唯一极大值点； f(x)max ＝f(5)＝10×42×2+240＝560；当9≤x ≤15时，每日销售利润f(x)＝(−5x +85)(x −3)＝−5(x −10)2+245； ∴ f(x)max ＝f(10)＝245．∴ 560>245，∴ 销售价格为5元/千克时，每日利润最大．已知点A(−1, 0)，B(0, −1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．（1）设PN →=nPA →，PM →=mPB →，试用θ表示m 与n ；（2）设PO →=xPM →+yPN →(x, y ∈R)，试用θ表示x +y ；（3）求x +y 的最小值．【答案】由题意知点P 为倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的交点， 所以P(cosθ, sinθ)，θ∈(0, π2)；由PN→=nPA→，PM→=mPB→，且A(−1, 0)，B(0, −1)，所以m=sinθ1+sinθ，n=cosθ1+cosθ；由PO→=xPM→+yPN→=xPM→+ynPA→，由A、O、M三点共线，所以x+yn＝1，即x+y⋅cosθ1+cosθ=1，…①同理PO→=xPM→+yPN→=xmPB→+yPN→，由B、O、N三点共线，所以x⋅sinθ1+sinθ+y＝1，…②由①×(1+cosθ)+②×(1+sinθ)得，(1+cosθ+sinθ)x+(1+cosθ+sinθ)y＝1+cosθ+1+sinθ，从而得x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ；由x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=1+11+cosθ+sinθ=11+√2sin(θ+π4)，当θ=π4时，x+y取得最小值为1+1+√2=√2．【考点】平面向量的综合题【解析】（1）由题意知点P的坐标为P(cosθ, sinθ)，利用坐标表示PN→=nPA→，PM→=mPB→，得出m、n的表达式；（2）由PO→=xPM→+yPN→，利用A、O、M三点共线得出x+yn＝1，B、O、N三点共线得出x⋅m+y＝1；联立方程组求得x+y的解析式；（3）由x+y的解析式，利用三角函数的性质求出x+y的最小值．【解答】由题意知点P为倾斜角为θ的直线OP与单位圆在第一象限的交点，所以P(cosθ, sinθ)，θ∈(0, π2)；又因为PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，由PN→=nPA→，PM→=mPB→，且A(−1, 0)，B(0, −1)，所以m=sinθ1+sinθ，n=cosθ1+cosθ；由PO→=xPM→+yPN→=xPM→+ynPA→，由A、O、M三点共线，所以x+yn＝1，即x+y⋅cosθ1+cosθ=1，…①同理PO→=xPM→+yPN→=xmPB→+yPN→，由B、O、N三点共线，所以x⋅sinθ1+sinθ+y＝1，…②由①×(1+cosθ)+②×(1+sinθ)得，(1+cosθ+sinθ)x+(1+cosθ+sinθ)y＝1+cosθ+1+sinθ，从而得x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ；由x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=1+11+cosθ+sinθ=11+√2sin(θ+π4)，当θ=π4时，x+y取得最小值为1+1+√2=√2．已知：定义在R上的函数f(x)=2x−mx2+2的极大值为12．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式f2(x)−(2a−2)f(x)+a2−2a>0有且只有一个整数解，求实数a的取值范围．【答案】f′(x)=2(x2+2)−(2x−m)⋅2x(x+2)=−2(x2−mx−2)(x+2)；因为方程x2−mx−2＝0的△＝m2+8>0；所以方程x2−mx−2＝0有两个不等的实数根x1，x2；设x1<x2；则函数f(x)在(−∞, x1)上单调递减，在(x1, x2)上单调递增，在(x2, +∞)上单调递减；则函数f(x)在x＝x2处取得极大值；因为定义在R上的函数f(x)=2x−mx2+2的极大值为12；所以{f(x2)=12f′(x2)=0，即{2x2−mx22+2=12x22−mx2−2=0；则x2＝2，m＝1；由（1）可知f(x)=2x−1x2+2；又当x<12时，f(x)<0；当x>12时，f(x)>0；函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减，在(−1, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减； 又f(2)=12，f(1)=13，f(3)=511>f(1)，f(−1)＝−1，f(0)=−12，f(−2)=−56<f(0)；函数f(x)的大致图象如下：由不等式f 2(x)−(2a −2)f(x)+a 2−2a >0有且只有一个整数解； 则f(x)>a 或f(x)<a −2有且只有一个整数解； 则 {f(2)>a f(3)≤af(−1)≥a −2 或{f(−1)<a −2f(−2)≥a −2f(2)≤a 得511≤a <12 或1<a ≤76；故实数a 的取值范围得 511≤a <12 或1<a ≤76． 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）先求出f(x)的导数，分析单调性，根据极大值为12，对应的导数为0，求出m 的值； （2）根据（1）得出函数的单调性，可以作出函数的图象，再根据条件有f(x)>a ，或f(x)<a −2，然后根据图象找条件求出a 的范围； 【解答】 f′(x)=2(x 2+2)−(2x−m)⋅2x(x +2)=−2(x 2−mx−2)(x +2)；因为方程x 2−mx −2＝0 的△＝m 2+8>0；所以方程x 2−mx −2＝0有两个不等的实数根x 1，x 2； 设x 1<x 2；则函数f(x)在(−∞, x 1)上单调递减，在(x 1, x 2)上单调递增，在(x 2, +∞)上单调递减； 则函数f(x)在x ＝x 2处取得极大值； 因为定义在R 上的函数f(x)=2x−mx 2+2的极大值为12； 所以{f(x 2)=12f ′(x 2)=0 ，即 {2x 2−mx 22+2=12x 22−mx 2−2=0；则x 2＝2，m ＝1；由（1）可知 f(x)=2x−1x 2+2；又当 x <12时，f(x)<0； 当 x >12时，f(x)>0；函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减，在(−1, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减； 又f(2)=12，f(1)=13，f(3)=511>f(1)，f(−1)＝−1，f(0)=−12，f(−2)=−56<f(0)；函数f(x)的大致图象如下：由不等式f 2(x)−(2a −2)f(x)+a 2−2a >0有且只有一个整数解； 则f(x)>a 或f(x)<a −2有且只有一个整数解； 则 {f(2)>a f(3)≤af(−1)≥a −2 或{f(−1)<a −2f(−2)≥a −2f(2)≤a 得511≤a <12 或1<a ≤76；故实数a 的取值范围得 511≤a <12 或1<a ≤76．已知函数f(x)＝lnx −xe x +ax(a ∈R)．（1）若函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若a ＝1，求f(x)的最大值． 【答案】由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1, +∞)上恒成立．令令g(x)=1x −(x +1)e x +a ，则g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0， 所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(1)＝2e −1， 所以a ≤2e −1．当a ＝1时，f(x)＝lnx −xe x +x ，则f′(x)=1x −(x +1)e x +1＝(x +1)(1x −e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)＝0，即e x 0=1x 0．当x ∈(0, x 0)，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，m(x)<0，f′(x)<0． 所以f(x)在(0, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减． 所以f(x)max ＝f(x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0，因为e x 0=1x 0，所以x 0＝−lnx 0，所以f(x 0)＝−x 0−1+x 0＝−1，所以f(x)max ＝−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数a 的取值范围；（2）结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值． 【解答】由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1, +∞)上恒成立．令令g(x)=1x −(x +1)e x +a ，则g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0， 所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(1)＝2e −1， 所以a ≤2e −1．当a ＝1时，f(x)＝lnx −xe x +x ，则f′(x)=1x −(x +1)e x +1＝(x +1)(1x −e x )， 令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)＝0，即e x 0=1x 0．当x ∈(0, x 0)，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，m(x)<0，f′(x)<0． 所以f(x)在(0, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减． 所以f(x)max ＝f(x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0，因为e x 0=1x 0，所以x 0＝−lnx 0，所以f(x 0)＝−x 0−1+x 0＝−1，所以f(x)max ＝−1．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，每小题0分．请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（选修4-2：矩阵与变换）已知1是矩阵A =[a 12]的一个特征值，求点(1, 2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的【答案】 由题意，可知：矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−a−10λ−2|=(λ−a)(λ−2)， ∵ 1是矩阵A 的一个特征值， ∴ f(1)＝0．即：(1−a)(1−2)＝0． 解得a ＝1，∴ 矩阵A =[1102]．由题意，有矩阵关系式：A [12]=[1102][12]=[34]． ∴ 点(1, 2)在A 对应的作用下得到的点为(3, 4)．【考点】几种特殊的矩阵变换 【解析】本题可先将特征值1代入特征多项式解得a 的值，即可得到矩阵A ，然后根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算可得点(1, 2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标． 【解答】由题意，可知：矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−a−10λ−2|=(λ−a)(λ−2)， ∵ 1是矩阵A 的一个特征值， ∴ f(1)＝0．即：(1−a)(1−2)＝0． 解得a ＝1，∴ 矩阵A =[1102]．由题意，有矩阵关系式：A [12]=[1102][12]=[34]． ∴ 点(1, 2)在A 对应的作用下得到的点为(3, 4)．（选修4-4：坐标系与参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{x =ty =t −3 （t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 【答案】直线l 的参数方程{x =ty =t −3 （t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −3＝0．圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即(x −2)2+y 2＝4，表示以(2, 0)为圆心、半径r 等于2的圆． 圆心到直线的距离d =2=√22， ∴ 弦长为2√22−(√22)2=√14．圆的极坐标方程 【解析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】直线l 的参数方程{x =ty =t −3 （t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −3＝0．圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即(x −2)2+y 2＝4，表示以(2, 0)为圆心、半径r 等于2的圆． 圆心到直线的距离d =√2=√22， ∴ 弦长为2(√22)=√14．（选修4-5：不等式选讲）对任给的实数a(a ≠0)和b ，不等式|a +b|+|a −b|≥|a|(|x −1|+|x −2|)恒成立，求x 的取值范围． 【答案】[12, 52] 【考点】绝对值三角不等式 不等式恒成立的问题 【解析】由题意可得|x −1|+|x −2|小于或等于|a+b|+|a−b||a|的最小值，而|a+b|+|a−b||a| 的最小值等于2，故x 的范围即为不等式|x −1|+|x −2|≤2的解，根据数轴上的12、52 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集． 【解答】由题知，|x −1|+|x −2|≤|a+b|+|a−b||a|恒成立，故|x −1|+|x −2|小于或等于|a+b|+|a−b||a|的最小值．∵ |a +b|+|a −b|≥|a +b +a −b|＝2|a|，当且仅当 (a +b)(a −b)≥0 时取等号， ∴|a+b|+|a−b||a|的最小值等于2，∴ x 的范围即为不等式|x −1|+|x −2|≤2的解．由于|x −1|+|x −2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的12、52 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[12, 52]，六【必做题】第24、25题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 【答案】该同学至多有一门学科获得一等奖是指：四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖， ∴ 该同学至多有一门学科获得一等奖的概率：P ＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)+23(1−12)(1−12)(1−12)+3×12×(1−23)(1−12)(1−12)=14． 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X ＝0)＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(X ＝1)=23×(1−12)×(1−12)×(1−12)+3×(1−23)×12×(1−12)×(1−12)=524， P(X ＝2)＝3×[23×12×(1−12)×(1−12)+(1−23)×12×12×(1−12)]=924， P(X ＝3)＝3×23×(1−12)×12×12+(1−23)×12×12×12=724， P(X ＝4)=23×12×12×12=224， ∴ X 的概率分布列为：数学期望E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）该同学至多有一门学科获得一等奖是指四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖，由此能求出该同学至多有一门学科获得一等奖的概率．（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望E(X)． 【解答】该同学至多有一门学科获得一等奖是指：四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖， ∴ 该同学至多有一门学科获得一等奖的概率：P ＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)+23(1−12)(1−12)(1−12)+3×12×(1−23)(1−12)(1−12)=14． 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X ＝0)＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(X ＝1)=23×(1−12)×(1−12)×(1−12)+3×(1−23)×12×(1−12)×(1−12)=524， P(X ＝2)＝3×[23×12×(1−12)×(1−12)+(1−23)×12×12×(1−12)]=924， P(X ＝3)＝3×23×(1−12)×12×12+(1−23)×12×12×12=724， P(X ＝4)=23×12×12×12=224， ∴ X 的概率分布列为：数学期望E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136．考察1，2，…n 的所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )，设n ∈N ∗且n ≥2，设b k 为(a 1, a 2,…,a k )的最大项，其中k ＝1，2，…，n ．记数组(b 1, b 2,…,b n )为B ．例如，A ＝(1, 2, 3)时，B ＝(1, 2, 3)；A ＝(2, 1, 3)时，B ＝(2, 2, 3)．若数组B 中的不同元素个数为2．（1）若n ＝4，求所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数；（2）求所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数． 【答案】因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，3中的的任意一个，即4只能为a 2，或a 3或a 4． 当a 2＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的任意一个排列，总数有A 33=6个；当a 3＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，故A 为(2, 1, 4, 3)或(3, 1, 4, 2)或(3, 2, 4, 1)，总数有3个；当a 4＝4时，则则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，a 1>a 3，故A 为(3, 1, 2, 4)或(3, 2, 1, 4)总数为2个；综上，有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数为6+3+2＝11． 因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，当a 1＝m 时，数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，所以n 只能作a 2，……a m+1出现，当a k+2＝n(0≤k ≤m −1)时，a 1，……，a k+1可以从1，2，……m −1中任选k 个元素的排列，而a k+3，……，a n 则为其余n −2个元素的全排列，所以与a 1＝m ，a k+2＝n 对应的排列个数为：A m−1k (n −k −2)!=(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!，所以所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数记为w ，则w =∑ n−1m=1∑m−1k=0(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)!∑ m−1k=0(n−k−2)!(m−k−1)!(n−m−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！(C n−m−1n−m−1+C n−mn−m−1+⋯⋯+C n−2n−m−1) =∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！C n−1n−m＝(n −1)！(1+12+⋯⋯+1n−1)．【考点】 数列的应用 【解析】（1）数组B 中的不同元素个数为2，故a 1为1，2，3中的的任意一个，根据4的位置讨论即可得到有序实数组A 的个数；（2）数组B 中的不同元素个数为2，a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，则数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，设a k+2＝n(0≤k ≤m −1)，根据计数原理以及排列组合知识即可得到当a 1＝m 时，数组A 的个数，进而当m 从1变化到n 时，即可求出n 元有序实数组A 的全部个数． 【解答】因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，3中的的任意一个，即4只能为a 2，或a 3或a 4． 当a 2＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的任意一个排列，总数有A 33=6个；当a 3＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，故A 为(2, 1, 4, 3)或(3, 1, 4, 2)或(3, 2, 4, 1)，总数有3个；当a 4＝4时，则则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，a 1>a 3，故A 为(3, 1, 2, 4)或(3, 2, 1, 4)总数为2个；综上，有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数为6+3+2＝11． 因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，当a 1＝m 时，数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，所以n 只能作a 2，……a m+1出现，当a k+2＝n(0≤k ≤m −1)时，a 1，……，a k+1可以从1，2，……m −1中任选k 个元素的排列，而a k+3，……，a n 则为其余n −2个元素的全排列，所以与a 1＝m ，a k+2＝n 对应的排列个数为：A m−1k (n −k −2)!=(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!，所以所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数记为w ，则w =∑ n−1m=1∑m−1k=0(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)!∑ m−1k=0(n−k−2)!(m−k−1)!(n−m−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！(C n−m−1n−m−1+C n−mn−m−1+⋯⋯+C n−2n−m−1) =∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！C n−1n−m＝(n −1)！(1+12+⋯⋯+1n−1)．。