高中数学讲义微专题86 事件的关系与概率运算

微专题86 事件的关系与概率运算一、基础知识1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100%（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为A B I ，简记为AB多个事件的交事件：12n A A A I I L I ：事件12,,,n A A A L 同时发生（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B U多个事件的并事件：12n A A A U UL U ：事件12,,,n A A A L 中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件A B I 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生。

例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A L ，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以12,,,n A A A L 之间均不可能同时发生，从而12,,,n A A A L 两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有()()()P A B P A P B =+U例如在上面的例子中，事件A B U 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==，所以根据加法公式可得：()()()13P A B P A P B =+=U （4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B I 为不可能事件，并事件A B U 为必然事件，则称事件B 为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：① 公式的证明：因为,A A 对立，所以A A =∅I ，即,A A 互斥，而A A =ΩU ，所以()()()()P P A A P A P A Ω==+U ，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =-② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件 ④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。

由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B U 不是必然事件）4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立。

例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11,66P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136P C P AB P A P B ==⋅=。

（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。

设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n k k k n P C p p -=-① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为13”为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()21231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223223111132222P B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② k n C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式：（1）条件概率：（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅（3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例）① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()()|P AB P B A P A =即可计算② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率。

所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。

解：方法一：按照公式计算。

设事件A 为“甲未中奖”，事件B 为“乙中奖”，所以可得：()56P A =，事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”，则()11512616C C P AB A ⋅==。

所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为15P =6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅含条件概率的交事件概率：()()()|P AB P A P B A =⋅通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B 通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。

所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）二、典型例题：例1：从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

上述事件中，是对立事件的是（ ）A. ①B. ②④C. ③D. ①③思路：任取两数的所有可能为{两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数} ，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，② “至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③ “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④ “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。

综上所述，只有③正确答案：C例2：5个射击选手击中目标的概率都是23，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（ ） A. 35113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B. 53113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C. 352113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 532113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。

所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件A ，则A 为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()35213P A ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，从而可得()()3521113P A P A ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 答案：C例3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为111,,534，则此密码能译出概率是（ ）A. 160B. 15C. 35D. 5960思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。

设事件A 为“密码译出”，正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，A 为“没有人译出密码”，则()11121115435P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()()315P A P A =-= 答案：C例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可。

所以2141655125P ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ 答案：16125例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率思路：首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件A 表示“含有1点的概率”，事件B 为“掷出三个点数都不一样”，事件AB 为“三个点数都不一样且有一个点数为1”，则有()123535618C A P AB ==，()363569A PB ==，所以由条件概率公式可得：()()()1|2P AB P A B P B == 答案：12例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。

已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ）A. 1625B. 1825C. 1925D. 2125 思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件i A 为“甲在第i 局获胜”，事件B 为“甲胜出”，则()()()112P B P A P A A =+，依题意可得：()125P A =，两场比赛相互独立，所以()()()12123265525P A A P A P A =⋅=⋅= 从而()1625P B =答案：A例7：如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）A. 0.729B. 0.8829C. 0.864D. 0.9891思路：先分析各元件的作用，若要在,M N 之间通过电流，则4A 必须通过，且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条。