圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题

注重结论 巧妙应用之三大圆锥曲线经典结论【结论1】在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a -（注：若椭圆焦点在y 轴上时，即0b a >>，则定值为22a b-）。

【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是椭圆上的任意不同的两点，00(,)P x y 是弦AB 中点。

2211221202212022221221x y x x x a b y y y x y a b ⎧+=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪+=⎪⎩，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。

可转化为20122120y y y b x x x a-⋅=-，即22AB OP b k k a ⋅=-。

【结论2】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值22b a （注：若双曲线为焦点在y 轴上的形式，则定值为22a b）。

【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 是双曲线上的任意两个不同的点，00(,)P x y 是弦AB 的中点。

2211221202212022221221x y x x x a b y y y x y a b ⎧-=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，由以上几式可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=。

可转化为20122120y y y b x x x a-⋅=-，即22AB OP b k k a ⋅=。

【结论3】抛物线22y px =上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为px （0x 为弦中点的横坐标）。

【证明】设原点为1122,(,),(,)O A x y B x y 为22y px =上任意两个不同的点，00(,)P x y 为弦AB 中点。

圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)1.真题回顾2020新高考I 卷2.题型梳理题型1：已知定点求定值题型2：已知定值求定点【例题】已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2(0,1)点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．Q (2,-1)【平移+齐次化处理】Step 1：平移点P 到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理将椭圆向下平移一个单位，(为了将P 2(0,1)平移到原点)椭圆方程化为C :x 24+(y +1)2=1，(左加右减，上减下加为曲线平移)设直线l 对应的直线l ′为mx +ny =1，椭圆方程化简为14x 2+y 2+2y =0，把一次项化成二次结构，将2y 乘上mx +ny 即可此时椭圆方程变成：14x 2+y 2+2y mx +ny =0⇒2n +1 y 2+2mxy +14x 2=0Step 2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m ，n 之间的关系由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为-1，而P 2点此时为原点，设平移后的A (x A ,y A ),B (x B ,y B )，即y A -0x A -0+y B -0x B -0=-1,将椭圆方程两边同除以x 2，令k =y x ，得2n +1 k 2+2mk +14=0，结合两直线斜率之和为-1，即k 1+k 2=-2m2n +1=-1，得2m =2n +1，∴m -2n =1，Step 3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!∴直线l ′恒过点Q ′(2,-2)，向上平移一个单位进行还原在原坐标系中，直线l 过点Q (2,-1)．【手电筒模型·1定+2动】直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，P (x 0,y 0)为椭圆上异于AB 的任意一点，若k AP ⋅k BP =定值或k AP +k BP =定值(不为0)，则直线AB 会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)．补充：若y =kx +m 过定点，则k AP ⋅k BP =定值，k AP+k BPk=定值.【坐标平移+齐次化处理】(左加右减，上减下加为曲线平移)Step 1：平移点P 到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理Step 2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m ，n 之间的关系，Step 3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!【补充】椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),P (x 0,y 0)是椭圆上一点，A ，B 为随圆E 上两个动点，PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2.(1)k 1+k 2=0，证明AB 斜率为定值:x 0y 0⋅b 2a2(y ≠0)；(2)k 1+k 2=t (t ≠0)，证明AB 过定点：x 0-2y 0t ,-y 0-2x 0t ⋅b 2a2；(3)k 1⋅k 2==b2a2，证明AB 的斜率为定值-y 0x 0(x 0≠0)；(4)k 1⋅k 2=λλ≠b 2a 2 ，证明AB 过定点：x 0λa 2+b 2λa 2-b 2,-y 0λa 2+b 2λa 2-b2.以上称为手电筒模型，注意点P 不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“12”2020·新高考1卷·221已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【详解】(1)由题意可得：c a=224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13 .令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx +ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x 2+(m +n )yx +(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13 ，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13 ，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN =x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23-13，所以直线MN 恒过P 23,-13．综上，直线MN 恒过P 23,-13，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13 ，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【整体点评】(2)方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为mx +ny =4，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出m ,n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线MN :y =kx +m ，再利用过点A ,M ,N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出m ,k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解x 1-2 x 2-2 以及y 1-1 y 2-1 的计算．题型一已知定点求定值1已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°2如图，椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x 2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.3已知点A 1,32 ，O 为坐标原点，E ，F 是椭圆C :x 24=y 23=1上的两个动点，满足直线AE 与直线AF 关于直线x =1对称．证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值；【答案】(提示：k 1+k 2=0答案：12)4如图，点F (1,0)为椭圆x 24+y 23=1的右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E 相交于C ､D 两点(C 在D 的上方)，设点A ､B 是椭圆E 上位于直线CD 两侧的动点，且满足∠ACD =∠BCD ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.解法1常规解法依题意知直线AB 的斜率存在，设AB 方程：y =kx +m A x 1,y 1 ，B x 2,y 2代入椭圆方程x 24+y 23=1得：4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0(*)∴x 1+x 2=-8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2-124k 2+3由∠ACD =∠BCD 得k AC +k BC =0∵C 1,32 ，∴y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=kx 1+m -32x 1-1+kx 2+m -32x 2-1=0∴2kx 1x 2+m -32-k x 1+x 2 -2m +3=0∴2k ⋅4m 2-124k 2+3+m -32-k -8km 4k 2+3-2m +3=0整理得：(6k -3)(2k +2m -3)=0∴2k +2m -3=0或6k -3=0当2k +2m -3=0时，直线AB 过定点C 1,32，不合题意∴6k -3=0，k =12，∴直线AB 的斜率是定值12解法2齐次化：设直线AB 的方程为m (x -1)+n y -32 =1椭圆E 的方程即：3[(x -1)+1]2+4y -32 +322=12即：4y -32 2+12y -32+6(x -1)+3(x -1)2=0联立得：(4+12n )y -32 2+(12m +6n )y -32 (x -1)+(6m +3)(x -1)2=0即(4+12n )y -32x -1 2+(12m +6n )y -32x -1+(6m +3)=0∴由∠ACD =∠BCD 得k AC +k BC =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=-(12m +6n )(4+12n )=0即：n =-2m∴直线AB 的斜率为-m n =12，是定值.5椭圆E :x 22+y 2=1，A 0,-1 ，经过点1,1 ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．解法1常规解法：证明：由题意设直线PQ 的方程为y =k x -1 +1k ≠0 ，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得1+2k 2 x 2-4k k -1 x +2k k -2 =0，由已知得1,1 在椭圆外，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=4k k -1 1+2k 2，x 1x 2=2k k -21+2k 2，且Δ=16k 2k -1 2-8k k -2 1+2k 2 >0，解得k >0或k <-2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2=2k +2-k 1x 1+1x 2=2k +2-k ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +2-k ⋅4k k -12k k -2=2k -2k -1 =2．即有直线AP 与AQ 斜率之和2．解法2齐次化：上移一个单位，椭圆E和直线L:x 22+y -1 2=1mx +ny =1，mx +ny =1过点1,2 ，m +2n =1，m =1-2n ，x 2+2y -1 2=2，x 2+2y 2-4y =0，2y 2+x 2-4y mx +ny =0，-4n +2 y2-4mxy +x 2=0，∵x ≠0，同除x 2，得-4n +2 y x2-4m yx+1=0，k 1+k 2=-4m -4n +2=2m 1-2n =2mm=2．6已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过F 作斜率为k (k ≠0)的动直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，若A 为椭圆C 的左顶点，直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k k 1+kk 2为定值，并求出定值.将椭圆沿着AO 方向平移，平移后的椭圆方程为(x −2)24+y 23=1⇒x 24+y 23+x =0设直线MN 方程为mx +ny =1，代入椭圆方程得x 24+y 23+x (mx +ny )=0，两侧同时除以x 2得13y x 2−n y x +1−4m 4=0，k 1+k 2=3n ,k 1k 2=34−3m ,k =k MN=−mn，因为mx +ny =1过定点F (3,0)⇒m =13，所以k k 1+kk 2=4题型二已知定值求定点1(2017·全国卷理)已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．(1)根据椭圆的对称性，P 3-1,32 ，P 41,32两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 11,1 ，∴P 20,1 ，P 3-1,32 ，P 41,32 三点在椭圆C 上，把P 20,1 ，P 3-1,32 代入椭圆C ，得：1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)：解法1常规解法:①当斜率不存在时，设l :x =m ，A m ,y A ，B m ,-y A ，∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，∴k P 2A +k P 2B =y A -1m +-y A -1m =-2m=-1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l :y =kx +t ，t ≠1 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +tx 2+4y 2-4=0，整理，得1+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-4=0，x 1+x 2=-8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2-41+4k 2，则k P 2A+k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1+t -x 2+x 1kx 2+t -x 1x 1x 2=8kt 2-8k -8kt 2+8kt1+4k 24t 2-41+4k 2=8k t -14t +1 t -1=-1，又t ≠1，∴t =-2k -1，此时Δ=-64k ，存在k ，使得Δ>0成立，∴直线l 的方程为y =kx -2k -1，当x =2时，y =-1，∴l 过定点2,-1 ．解法2齐次化：下移1个单位得E :x 24+y +1 2=1⇒x 24+y 2+2y =0，设平移后的直线：A B :mx +ny =1，齐次化：x 2+4y 2+8y mx +ny =0，8n +4 y 2+8mxy +x 2=0，∵x ≠0同除以x 2，8n +4 y x 2+8m y x +1=0，8n +4 k 2+8mk +1=0，k 1+k 2=-8m 8n +4=-1，8m =8n +4，2m -2n =1，∴mx +ny =1过2,-2 ，上移1个单位2,-1 ．2已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．不平移齐次化【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m1+2n =-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．3已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)上的点P (1，y 0)(y 0>0)到其焦点的距离为2．(1)求点P 的坐标及抛物线C 的方程；(2)若点M 、N 在抛物线C 上，且k PM •k PN =-12，证明：直线MN 过定点.答案：(2)(9，-2)4已知椭圆C :x 24+y 23=1，P 1,32 ，若直线l 交椭圆C 于A ，B (A ，B 异于点P )两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为-94，求点P 到直线l 距离的最大值．解法1齐次化：公共点P 1,32 ，左移1个单位，下移32个单位，C :x +124+y +3223=1A B:mx +ny =1，3x 2+6x +4y 2+3y =0，4y 2+3x 2+6x +2y mx +ny =0，12n +4 y 2+62m +n xy +6m +3 x 2=0，等式两边同时除以x 2，12n +4 y x2+62m +n yx+6m +3 =0，k PA ⋅k PB =-94，6m +312n +4=-94，-12m -94n =1，mx +ny =1过-12,-94 ，右移1个单位，上移32个单位，过Q 12,-34，∴P 到直线l 的距离的最大值为PQ 的值为1-12 2+32--34 2=854，由于854>12，∴点P 到直线l 距离的最大值8545已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，椭圆E 的短轴长等于4．(1)求椭圆E 的标准方程；x 26+y 24=1(2)设A 0,-1 ，B 0,2 ，过A 且斜率为k 1的动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交⊙C ：x 2+y -1 2=1于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为k 2，直线BM ，BN 的斜率分别为k 3，k 4．①求证：k 3⋅k 4为定值； ②求证：直线PQ 过定点.答案：(2)-2；(3)0,23 【小问1详解】由题意2b =4c a =33b 2+c 2=a 2解得b =2a =6c =2所以椭圆的标准方程为：x 26+y 24=1；【小问2详解】①设MN 的方程为y =k 1x -1，与x 26+y 24=1联立得：3k 21+2 x 2-6k 1x -9=0，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则x 1+x 2=6k 13k 21+2x 1x 2=-93k 21+2Δ1=722k 21+1 >0，∴k 3⋅k 4=y 1-2x 1⋅y 2-2x 2=k 1x 1-3 k 2x 2-3 x 1x 2=k 21x 1x 2-3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=-2【法二】平移坐标系+齐次化处理将坐标系中的图像整体向下平移2个单位，平移后的椭圆方程为：x 26+y +2 24=1，整理得：2x 2+3y 2+12y =0，设平移后的直线MN 的方程为：mx +ny =1，代入点0,-3 得mx -y3=1，则有2x 2+3y 2+12y mx -y3=0，整理得：-y 2+12mxy +2x 2=0令k =yx，将-y 2+12mxy +2x 2=0两边同除x 2，得-k 2+12mk +2=0，故k 3⋅k 4=-2说明：因为平移后k 3=y m 'x m '，k 4=y n 'x n '，而式子-y 2+12mxy +2x 2=0中x ，y 的值对应平移后的m '和n '所以同除x 2后得到的就是一个以k 3和k 4为根一个关于k 的一元二次方程．②设PQ 的方程为y =k 2x +t ，与x 2+y -1 2=1联立k 22+1 x 2+2k 2t -1 x +t t -2 =0，设P (x 3,y 3)，Q (x 4,y 4)则x 3+x 4=-2k 2t -1k 22+1x 3x 4=t t -2k 22+1Δ2=4k 22-t 2+2t >0∴k BP ⋅k BQ =y 3-2x 3⋅y 4-2x 4=k 2x 3+t -2 k 2x 4+t -2 x 3x 4=k 22x 3x 4+k 2t -2 x 3+x 4 +t -22x 1x 2=k 22t t -2 -2k 22t -2 t -1 +k 22+1 t -2 2t t -2=k 22t -2k 22t -1 +k 22+1 t -2 t =t -2t11由k 3⋅k 4=k BP ⋅k BQ ，即t -2t =-2,∴t =23,此时Δ2=4k 22+89 >0，∴PQ 的方程为y =k 2x +23，故直线PQ 恒过定点0，23 .。

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是34-，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠±.221x y +=(2,0),(2,0)A B -123k k =-B 连线的斜（2是22b a -.（3、B 连线的，B 的任一探究：（3）设A 、B 是双曲线22221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．结论2.设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则2122b k k a =．应用拓展：1.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====.2.椭圆C:22143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线 A.∴1PA k 3.BDk =3.的一组平行线，交椭圆12,,P PP 10P 9P8P 7P 6P 5P 4yx B O。

过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。

数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。

当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。

解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。

优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。

一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。

不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。

二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=；3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。

三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值。

解析：（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）。

由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=。

依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k < 0或0 < k < 1。

又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）。

从而k ≠-3。

所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）。

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k=。

齐次化巧解斜率的和积问题1.曲线的平移法则：对于给定曲线，平移口决：左加右减(针对x )，下加上减(针对y )2.两直线的斜率之和或积为定值方法拓展1.拓展：齐次化巧解斜率的和积问题2.原理：平移不改变直线的斜率、韦达定理的运用3.步骤：①设：设两直线的斜率分别为k 1和k 2；②移：将直线和曲线整体平移，使得两直线的公共点落在原点，写出平移后曲线的方程，并将平移后的目标直线设为固定形式：mx+ny =1若与定点(00,y x )的斜率关系,则可设直线方程为1)()(00=-+-y y n x x m ③联：联立直线和曲线方程，得到开如：)0(022≠=++p rx qxy py 方程两边同时除以x 2，得到形如)0(0)((2≠=++p r x y q x y p ④换：令k =x y ，得到)0(02≠=++p r qk pk ，则k 1和k 2是该方程的两根⑤达：韦达定理得到k 1+k 2和k 1k 2，从而得到m 和n 的关系4.优点：相比传统的韦达定理，计算量大大减少，缺点：mx+ny =1不能表示经过原点的直线常见三种类型：①MB MA k k ⋅为定值(不为0)②MB MA k k +为定值(不为0)③)0(πθθβα<<=+例1A 、B 是抛物线x y 42=上的两点，且满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)，求证：直线AB 经过一个定点.练习1已知抛物线C ：)0(22>=p px y 上一点A(2,a )到其焦点的距离为3(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(4,0)的直线与抛物线C 交于点P 、Q 两点，O 为坐标原点，证明∠POQ=90°.例2设曲线C ：)0(22>=p py x 上一点M(m ,2)到焦点的距离为3.(1)求曲线C 方程；(2)设P 、Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由.练习2已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使0AF AF 21=⋅→→且△AF 1F 2的面积为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l ：y=kx+m 与双曲线C 相交于E 、F 两点(E 、F 不是左右顶点)，且以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.例3如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 经过点A(0,-1)，且离心率为22(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P 、Q(异于点A)，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.练习3已知椭圆C 过点A(231，),两个焦点为(-1,0),(1,0)(1)求椭圆的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.例4(2017全国I 卷)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，四点)23,1()23,1()1,0()1,1(4321P P P P -，中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为-1，求证：l 过定点.练习4设抛物线C ：x y 22=点A(2,0)，B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M 、N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明:∠ABM=∠ABN参考答案例1设A(11,y x )、B(22,y x )直线AB 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx x y +=即有044(2=--m x y n x y ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，142211-=-=⋅=⋅m x y x y k k OB OA ，即41=m ，直线AB 的方程为141=+ny x ，过定点(4,0)练习1(1)2+2p =3得p=2,抛物线的方程为x y 42=(2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx x y +=即有044(2=--m x y n x y ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，直线PQ 过点(4,0)得41=m 142211P -=-=⋅=⋅m x y x y k k OQ O ，故∠POQ=90°例2(1)2+2p =3得p=2,抛物线的方程为y x 42=(2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的解析式为mx+ny =1，与抛物线联立有)(42ny mx y x +=即有014(42=-+x y m x y n ，此方程是关于2211,x y x y 的一元二次方程，以PQ 为直径的圆过原点，则1412211P -=-=⋅=⋅nx y x y k k OQ O 得n=41，直线PQ 方程为141=+y mx ，过定点(0,4)练习2(1)易知AF 1-AF 2=2a ,AF 21+BF 22=4c 2,25=a c 得2a =4，b=1,故双曲线的方程为1422=-y x (2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的方程为m (x-2)+ny =1，令p=x -2,q=y ，则直线PQ 的方程为mp+nq =1与双曲线联立有)(4)2(2nq mp q p +=+即有044))(41(2=--+pq n q pm ，此方程是关于2,22211--x y x y 的一元二次方程，则1414222211D DP -=+-=-⋅-=⋅mx y x y k k Q 得m=43，直线PQ 方程为1)2(43=+-ny x ，过定点(310,0)例3(1)1222=+y x (2)设P(11,y x )、Q(22,y x )直线PQ 的方程为mx+n (y+1)=1，令p=x ,q=y+1，则直线PQ 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有2)1(222=-+q p 即有014))(42(2=++-p q mp q n ，此方程是关于22111,1x y x y ++的一元二次方程，则n m k k Q 424D DP --=+，而直线PQ 过点(1,1)则有m +2n =1即有m =1-2n ，代入可得242)21(4D DP =+--=+nn k k Q 练习3(1)13422=+y x (2)设E(11,y x )、F(22,y x )直线EF 的方程为m (x-1)+n (y-23)=1，令p=x -1,q=y-23，则直线EF 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有1223(4)1(322=+++q p 即有063)126()(124(2=+++++m pq m n p qn ，此方程是关于123,1232211-+-+x y x y 的一元二次方程，则0412126AE =++-=+n m n k k AF 得n=-2m,故直线EF 的斜率为21例4(1)易知点P 2P 3P 4在椭圆上，可得椭圆方程为1422=+y x (2)设A(11,y x )、B(22,y x )直线AB 的方程为mx+n (y -1)=1，令p=x ,q=y-1，则直线AB 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有4)1(4322=++q p 即有034)(44(2=+++p q mp q n ，此方程是关于22111,1x y x y --的一元二次方程，则1444AE -=+-=+n m k k AF 得m=n+21,故直线方程为0121)1(=-+-+x y x n ，故直线过定点(2,1)练习4(1)121121--=+=x y x y 或(2)设M(11,y x )、N(22,y x )直线MN 的方程为m(x+2)+ny =1，令p=x+2,q=y ，则直线MN 的方程为mp+nq =1与椭圆联立有)2(22-=p q 即有024)28()(41(222=-+-++m m p q n mn p q n ，此方程是关于2,22211++x y x y 的一元二次方程，则2BN BM 4128n n mn k k +--=+,而直线过点A(2,0)，m=41,得0BN BM =+k k 故∠ABM=∠ABN。

圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用k AB=k AC.【例1】(2023届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为 3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M ,F 为C的右焦点,若M ,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.【解析】(1)双曲线C：x2-y23=m(m≠0)的渐近线方程为y=±3x,不妨设A m,3m,B m,-3m因为三角形OAB的面积为3,所以12AB⋅m=3m2,所以3m2=3,又m>0,所以m=1.(2)双曲线C的方程为C：x2-y23=1,所以右焦点F的坐标为2,0,若直线l与x轴交于点p,0,故可设直线l的方程为y=k x-pk≠0,设M x1,y1,N x2,y2,则M x1,-y1,联立y=k x-px2-y23=1,得3-k2x2+2pk2x-k2p2+3=0,3-k2≠0且Δ=2pk22+43-k2k2p2+3>0,化简得k2≠3且p2-1k2+3>0,所以x1+x2=-2pk23-k2,x1x2=-k2p2+33-k2,因为直线MN的斜率存在,所以直线M N的斜率也存在,因为M ,F,N三点共线,所以k M F=k FN,即-y1x1-2=y2x2-2,即-y1x2-2=y2x1-2,所以-k x1-px2-2=k x2-px1-2,因为k≠0,所以x1-px2-2+x2-px1-2=0,所以2x1x2-(p+2)x1+x2+4p=0,所以2⋅-k2p2+3 3-k2-(p+2)-2pk23-k2+4p=0,化简得p=12,所以MN经过x轴上的定点12,0.【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:x24+y23=1的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线l1:x=4.(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l1上,求m的值；(2)过F 的直线l 2与椭圆W 相交于不同的两点C ,D (不与点A ,B 重合),直线CB 与直线l 1相交于点M ,求证：A ,D ,M 三点共线.【解析】(1)由题意知,直线l 3：x +my -4=0的斜率存在,且斜率为k 3=-1m,设点A 关于直线l 3对称的点为A 1,则A 1(4，n ),AA 1⊥l 3所以线段AA 1的中点1，n 2 在直线l 3上,又k AA 1=n6,k 3k AA 1=-1,有-1m ×n 6=-11+m ×n 2-4=0,解得m =1n =6 或m =-1n =-6 ,所以m =±1；(2)已知A (-2，0)，B (2，0)，F (1，0),当直线l 2的斜率不存在时,l 2：x =1,此时C 1，-32，D 1，32 ,有k CB =0+322-1=32,所以直线l CB ：y =32(x -2),当x =4时,y =3,所以M (4，3),所以k DM =3-324-1=12，k AD =32-01+2=12,所以k DM =k AD ,即A 、D 、M 三点共线；当直线l 2的斜率存在时,设直线l 2：y =k (x -1)(k ≠0),则x 24+y 23=1y =k (x -1),得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,Δ=(-8k 2)2-4(4k 2+3)(4k 2-12)=144k 2+144>0,设C x 1，y 1 ，D x 2，y 2 ,则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3,直线BC 的方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4,得M 4，2y 1x 1-2,所以直线AD 、AM 的斜率分别为k AD =y 2x 2+2，k AM =y 13(x 1-2),k AD -k AM =y 2x 2+2-y 13(x 1-2)=3y 2(x 1-2)-y 1(x 2+2)3(x 2+2)(x 1-2),上式的分子3y 2(x 1-2)-y 1(x 2+2)=3k (x 2-1)(x 1-2)-k (x 1-1)(x 2+2)=2kx 1x 2-5k (x 1+x 2)+8k=2k ⋅4k 2-124k 2+3-5k ⋅8k 24k 2+3+8k =0,所以k AD -k AM =0,即A 、D 、M 三点共线.综上,A 、D 、M 三点共线.(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点P m ,n 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一定点,点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值bm 2an 2n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ,2.设点P m ,n 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)一定点,点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值-bm 2an 2n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2m a 2λ ；3.设点P m ,n 是抛物线C ：y 2=2px p >0 一定点,点A ,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB=λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值-p n n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2nλ,-n +2p λ ；【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P 在直线y =t 上,证明直线PA ,PB 关于y =t对称,或证明直线y =t 平分∠APB ,可证明k PA +k PB =0.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M 0,2 是椭圆C 的一个顶点,△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点,设两直线MA ,MB 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=8,证明：直线AB 过定点．【解析】(1)由题意点M 0,2 是椭圆C 的一个顶点,知b =2,因为△F 1MF 2是等腰直角三角形,所以a =2b ,即a =22,所以椭圆C 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)若直线AB 的斜率存在,设其方程为y =kx +m ,由题意知m ≠±2．由y =kx +m x 28+y 24=1,得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-8=0,由题意知Δ=8(8k 2+4-m 2)>0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2,因为k 1+k 2=8,所以k 1+k 2=y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=2k +(m -2)×x 1+x 2x 1x 2=2k +m -2 ×-4km2m 2-8=8,所以k -km m +2=4,整理得m =12k -2,故直线AB 的方程为y =kx +12k -2,即y =k x +12 -2,所以直线AB 过定点-12,-2 ．若直线AB 的斜率不存在,设其方程为x =x 0,A x 0,y 0 ,B x 0,-y 0 ．由题意得y 0-2x 0+-y 0-2x 0=8,解得x 0=-12,此时直线AB 的方程为x =-12,显然过点-12,-2 ．综上,直线AB 过定点-12,-2 ．【例4】(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A (2,1)在双曲线C :x 2a 2-y 2a 2-1=1(a>1)上,直线l 交C 于P ，Q 两点,直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan ∠PAQ =22,求△PAQ 的面积.【解析】(1)将点A (2,1)代入x 2a 2-y 2a 2-1=1中,得4a 2-1a 2-1=1,即a 4-4a 2+4=0,解得a 2=2,故双曲线方程为x 22-y 2=1；由题意知直线l 的斜率存在,设l :y =kx +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则联立直线与双曲线x 22-y 2=1得：(2k 2-1)x 2+4km x +2m 2+2=0,需满足2k 2-1≠0,Δ=8(m 2+1-2k 2)>0,故x 1+x 2=-4km 2k 2-1,x 1x 2=2m 2+22k 2-1,k AP +k AQ =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2+kx 2+m -1x 2-2=0,化简得：2kx 1x 2+(m -1-2k )(x 1+x 2)-4(m -1)=0,故2k (2m 2+2)2k 2-1+(m -1-2k )-4km 2k 2-1-4(m -1)=0,即2k 2+(m +1)k +m -1=0,即(k +1)(m +2k -1)=0,由题意可知直线l 不过A 点,即m +2k -1≠0,故l 的斜率k =-1.(2)设直线AP 的倾斜角为α,由tan ∠PAQ =22,∴2tan∠PAQ 21-tan2∠PAQ 2=22,得tan ∠PAQ 2=22,(负值舍去),由直线AP ，AQ 的斜率之和为0,可知2α+∠PAQ =π,即tan π-2α2=22,则tan π2-α =cos αsin α=22,得k AP =tan α=2,即y 1-1x 1-2=2,联立y 1-1x 1-2=2,及x 212-y 21=1得x 1=10-423,y 1=42-53,将x 1=10-423,y 1=42-53代入l :y =-x +m 中,得m =53,故x 1+x 2=203,x 1x 2=689,而|AP |=2+1|x 1-2|=3|x 1-2|,|AQ |=3|x 2-2|,由tan ∠PAQ =22,得sin ∠PAQ =223,故S △PAQ =12|AP |⋅|AQ |sin ∠PAQ =2|x 1x 2-2(x 1+x 2)+4|=2689-2×203+4 =1629.【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O 是坐标原点,且OF ⋅OP =-94.(1)求抛物线E 的方程；(2)过Q 1,0 的动直线与E 交于C ,D 两点,问：在x 轴上是否存在定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD ?若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F p 2,0设P -p 2,y P ,则OF =p 2,0 ,OP =-p 2,y P 因为OF ⋅OP =-94,所以-p 24=-94,得p =3.所以抛物线E 的方程为y 2=6x ;(2)假设在x 轴上存在定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD .设动直线的方程为x =my +1,点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立x =my +1y 2=6x,可得y 2-6my -6=0.∵Δ=36m 2+24>0恒成立,∴y 1+y 2=6m ,y 1y 2=-6设直线MC ,MD 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 1x 1-t +y 2x 2-t =y 1x 2-t +y 2x 1-t x 1-t x 2-t=y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t x 1-t x 2-t =2my 1y 2+1-t y 1+y 2 x 1-t x 2-t由定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD ,则k 1+k 2=0,所以2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0.把根与系数的关系代入可得m +mt =0,得t =-1.故存在t =-1满足题意.综上所述,在x 轴上存在定点M -1,0 ,使得x 轴平分∠CMD .(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =-b 2a 2；若点A ,B 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =b2a2.2.若圆锥曲线上任意一点P 作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A ,B ,若k PA ⋅k PB 为定值,则直线AB 过定点.【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点和右焦点分别为A 、B 和F ,直线l :x =my +t 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ,记直线AM 、BM ,BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.(1)求证：k 1k 2为定值；(2)若k 1=3k 3,求△FMN 的周长.【解析】(1)证明：设M x 0,y 0 ,易知A -2,0 、B 2,0 ,其中x 204+y 203=1,则x 20=4-43y 20,k 1k 2=y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=y 20x 20-4=y 204-43y 20-4=-34为定值.(2)解：∵k 1=3k 3,即-34k 2=3k 3⇒k 2k 3=-14,设M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ,而B 2,0 ,联立x =my +t3x 2+4y 2=12⇒3my +t 2+4y 2=12⇒3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0,则Δ=36m 2t 2-4×3m 2+4 3t 2-12 =483m 2+4-t 2 >0,且y 1+y 2=-6mt3m 2+4y 1y 2=3t 2-123m 2+4,k 2k 3=y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=-14,⇒my 1+t -2 my 2+t -2 +4y 1y 2=0.所以,m 2+4 y 1y 2+m t -2 y 1+y 2 +t -2 2=0⇒m 2+4 ⋅3t 2-123m 2+4+m t -2 -6mt 3m 2+4+t -2 2=0,∵t ≠2,∴m 2+4 ⋅3t +2 3m 2+4-6m 2t3m 2+4+t -2=0,所以,3m 2t +6m 2+12t +24-6m 2t +3m 2t -6m 2+4t -8=0,16t +16=0⇒t =-1,故直线MN 恒过椭圆C 的左焦点-1,0 ,所以,△FMN 的周长为4a =8.【例7】(2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 另解：设直线AB 的方程为m x -4 +n y -3 =1①,双曲线C 的方程x 24-y 23=1可化为3x -4 +4 2-4 y -3 +3]2=12,即3(x -4)2-4(y -3)2+24x -4 -y -3 =0②,由①②可得3(x -4)2-4(y -3)2+24x -4 -y -3 m x -4 +n y -3 =0,整理可得24m +3 (x -4)2-24n +4 (y -3)2+24n -m x -4 y -3 =0,两边同时除以(x -4)2,整理得24n +4 y -3x -4 2-24n -my -3x -4-24m +3 =0③,Δ=242(n -m )2+424n +4 24m +3 >0,则k 1,k 2是方程③的两个不同的根,所以k 1k 2=-24m +3 24n +4=32,即8m +12n +3=0④,由①④可得-3x -4 =8-3y -3 =12 ,解得x =43y =-1,故直线AB 恒过定点43,-1 .(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例8】(2022届山东省学情高三上学期12月质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1(-1，0),F 2(1，0).过F 2与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点D ,点D 在x 轴上方,且DF 1 =322.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在一定点M 使得k MA +k MB 为定值,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】(1)由己知得c =1,|DF 1|=322,所以|DF 2|=22,所以2a =22+322=22⇒a =2,∴b =1.所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)如果存在点M ,由于椭圆的对称性可知点M 一定在 x 轴上,设其坐标为(x 0,0),因为椭圆右焦点F (1,0),直线斜率存在时设l 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1<2,x 2<2,将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1得：(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0,所以x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1,又k MA +k MB =y 1x 1-x 0+y 2x 2-x 0由y 1=kx 1-k ,y 2=kx 2-k 得：k MA +k MB =2kx 1x 2-k (x 1+x 2)(x 0+1)+2x 0k(x 1-x 0)(x 2-x 0).则2kx 1x 2-k (x 1+x 2)(x 0+1)+2x 0k =2(x 0-2)k2k 2+1⋅当x 0=2时,k MA +k MB =0,当直线斜率不存在时,存在一定点M (2,0)使得k MA +k MB 为定值0.综上:存在定点M (2,0)使得k MA +k MB 为定值0.【例9】(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【分析】(1)依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；(2)设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3,将点Q 坐标代入抛物线方程得到t =-16k 4k 2+3 9,将此式代入4k 2-t 2+3>0得到k 4+34k 2-9322<0,解不等式即可.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12 得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x 2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得：t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.三、跟踪检测1.(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上,且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ,B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ,在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1,点P 到椭圆右顶点M 的距离为132,则132=a -1 2+94,解得a =2,b =3,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意,直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0),M 2,0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．联立y =kx +m 3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．2.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴,y 轴,且过A(-2,0),B 1,32两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点,直线l 交椭圆C 于P ,Q (不与点A 重合)两点,记直线AP ,AQ ,l 的斜率分别为k 1,k 2,k ,若k 1+k 2=-3k,证明：△FPQ 的周长为定值,并求出定值.【解析】(1)由已知设椭圆C 方程为：mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),代入A -2,0 ,B 1,32 ,得m =14,n =13,故椭圆C 方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =kx +m ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由y =kx +m ,3x 2+4y 2=12⇒4k 2+3 x 2+8km x +4m 2-12=0得,x 1+x 2=-8km4k 2+3x 1⋅x 2=4m 2-124k 2+3,Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =192k 2-48m 2+144,又k 1=y 1x 1+2=kx 1+m x 1+2,k 2=kx 2+mx 2+2,故k 1+k 2=kx 1+m x 1+2+kx 2+mx 2+2=2kx 1x 2+2k x 1+x 2 +m x 1+x 2 +4m x 1x 2+2x 1+x 2 +4=8km 2-24k -16k 2m -8km 2+16k 2m +12m 4m 2-12-16km +16k 2+12=3m -6k m 2-4km +4k 2,由k 1+k 2=-3k,得m 2-3km +2k 2=0,故m -2k m -k =0⇒m =2k 或m =k ,①当m =2k 时,直线l :y =kx +2k =k x +2 ,过定点A -2,0 ,与已知不符,舍去；②当m =k 时,直线l :y =kx +k =k x +1 ,过定点-1,0 ,即直线l 过左焦点,此时Δ=192k 2-48m 2+144=144k 2+144>0,符合题意.所以△FPQ 的周长为定值4a =8.3.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22,上顶点为D ,斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,M 为线段AB 的中点,当点M 的坐标为(2,1)时,直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时,若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数,求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知,离心率e=22,所以a=2b=2c,设A x1,y1,B x2,y2,x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得k⋅k OM=-b2a2=-12,所以k=-1；所以直线为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,椭圆方程为x218+y29=1；(2)设直线为y=kx+m,由y=kx+mx2+2y2=18得1+2k2x2+4km x+2m2-18=0,则x M=x1+x22=-2km1+2k2,y M=m1+2k2,Δ=16k2m2-41+2k22m2-18=818k2-m2+9>0,所以k DM=y M-3x M-0=6k2+3-m2km=-k,解得m=6k2+31-2k2,1-2k2≠0,k≠±22因为l不过D点,则6k2+31-2k2≠3,即k≠0则18k2+9-6k2+321-2k22>0,化简得4k4-4k2-3>0,解得2k2-32k2+1>0,k2>3 2,所以k>62或k<-62.4.(2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A ,A分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A A,AB∥OP,FA=2- 2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证：k1k2为定值.【解析】(1)因为PF⊥A A,故可设P-c,y0,因为AB∥OP,故k AB∥k OP,即-ba=-y0c,解得y0=bca.又P-c,bc a在椭圆C上,故c2a2+b2c2a2b2=1,解得a2=2c2=2a2-2b2,故a=2b=2c.又FA=2-2,故FA=a-c=2-1c=2-2,故c=2,a=2,b=2.故C的方程为x24+y22=1.(2)因为椭圆方程为x24+y22=1,故F-2,0,A2,0,当l斜率为0时A,M或A,N重合,不满足题意,故可设l：x=ty-2.联立x24+y22=1x=ty-2可得t2+2y2-22ty-2=0,设M x1,y1,N x2,y2,则y1+y2=22tt2+2,y1y2=-2t2+2.故k1k2=y1x1-2⋅y2x2-2=y1y2ty1-2-2ty2-2-2=y1y2t2y1y2-2+2t y1+y2+2+22=1t2-2+2ty1+y2y1y2+2+22y1y2=1t 2+22+2 t 2-2+2 2×t2+2 2=1-23+22=2-32故定值为2-325.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点3,12 ,其右焦点为F 3,0 .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点P ,Q 在椭圆C 上,右顶点为A ,且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求△APQ 面积的最大值.【解析】(1)依题可得,c =33a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2 ,解得a =2b =1c =3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.所以离心率e =32.(2)易知直线AP 与AQ 的斜率同号,所以直线PQ 不垂直于x 轴,故可设PQ :y =kx +m ,k ≠0,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x 24+y 2=1y =kx +m可得,1+4k 2 x 2+8mkx +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8mk 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,Δ=164k 2+1-m 2 >0,而k AP k AQ =120,即y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=120,化简可得20kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ,20k 2x 1x 2+20km (x 1+x 2)+20m 2=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4,20k 2⋅4m 2-41+4k 2+20km ⋅-8mk 1+4k 2+20m 2=4m 2-41+4k 2-2×-8mk 1+4k 2+4化简得6k 2+mk -m 2=0,所以m =-2k 或m =3k ,所以直线PQ :y =k x -2 或y =k x +3 ,因为直线PQ 不经过点A ,所以直线PQ 经过定点-3,0 .设定点B -3,0 ,S △APQ =S △ABP -S △ABQ =12AB y 1-y 2 =52k x 1-x 2 =52k (x 1+x 2)2-4x 1x 2=52k -8km 1+4k 2 2-4×4m 2-41+4k 2=5k 2164k 2+1-m 2 1+4k 2=101-5k 2 k 21+4k 2,因为1-5k 2>0,所以0<k 2<15,设t =4k 2+1∈1,95,所以S △APQ =52-5t 2+14t -9t 2=52-91t -79 2+49≤53,当且仅当t =97即k 2=114时取等号,即△APQ 面积的最大值为53.6.(2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2-y 2=1和点B 0,1 .(1)斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于E ,F 两点,求∠EBF 最小时k 的值.(2)过点B 的动直线与双曲线C 交于P ,Q 两点,若曲线C 上存在定点A ,使k AP +k AQ 为定值λ,求点A 的坐标及实数λ的值.【解析】(1)由对称性可设E x ,y ,F -x ,-y ,则BE ⋅BF=x ,y -1 ⋅-x ,-y -1 =-x 2-y 2+1,因为E 点在双曲线C 上,所以x 2-y 2=1,即y 2=x 2-1,且x ≥1所以BE ⋅BF=21-x 2 ≤0,当x =1时,BE ⋅BF=0,∠EBF 为直角,当x >1时,BE ⋅BF<0,∠EBF 为钝角,所以∠EBF 最小时,x =1,k =0.(2)设A m ,n ,由题意知动直线一定有斜率,设点B 的动直线为y =tx +1,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2联立x 2-y 2=1,y =tx +1,得1-t 2 x 2-2tx -2=0,,所以1-t 2≠0,Δ=4t 2+81-t 2 >0,x 1+x 2=2t 1-t 2,x 1x 2=-21-t 2,,解得t 2<2且t 2≠1,k AP +k AQ =λ,即y 1-n x 1-m +y 2-nx 2-m=λ,即tx 1+1-n x 1-m +tx 2+1-n x 2-m=λ,化简得2t -λ x 1x 2+-mt +1-n +λm x 1+x 2 -2m +2mn -λm 2=0,2t -λ -21-t 2+-mt +1-n +λm 2t 1-t2-2m +2mn -λm 2=0,化简得λm 2-2mn t 2+2λm -n -1 t +2λ-2m +2mn -λm 2=0,由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立,所以λm 2-2mn =0,①λm -n -1=0,2λ-2m +2mn -λm 2=0,②将①代入②得λ=m ,从而m 3=2mn ,m 2=n +1.如果m =0时,那么n =-1,此时A 0,-1 不在双曲线C 上,舍去,因此m ≠0,从而m 2=2n ,代入m 2=n +1,解得n =1,m =±2,此时A ±2,1 在双曲线上,综上,A 2,1 ,λ=2,或者A -2,1 ,λ=-2.7.(2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A 1、A 2为椭圆C ：x 2+y 23=1的左右顶点,直线x=x 0与C 交于A 、B 两点,直线A 1A 和直线A 2B 交于点P .(1)求点P 的轨迹方程.(2)直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点,直线NA 1的斜率与直线MA 2斜率之比为-13,求证以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.【解析】(1)由题意得A 1-1,0 ,A 21,0 ,设A x 0,y 0 ,B x 0,-y 0 y 0≠0 ,P x ,y ,则k PA 1=k AA 1,k PA 2=k BA 2,即y x +1=y 0x 0+1,y x -1=-y 0x 0-1,得y 2x 2-1=-y 2x 20-1,又∵点x 0,y 0 在C 上,即x 20-1=-y 203,得y 2x 2-1=3,∴x 2-y 23=1y ≠0 ；(2)∵k NA 1=-13k NA 2,设直线NA 1方程为x =-3my -1，m ≠0 ,则MA 2方程为x =my +1,联立x =-3my -1x 2-y 23=1,得27m 2-1 y 2+18my =0(27m 2-1≠0且Δ>0),设N x N ,y N ,得x N =54m 227m 2-1-1,y N=-18m27m 2-1,同理设M x M ,y M ,得x M =-6m 23m 2-1+1,y M=-6m3m 2-1,k MA 1=y M x M +1=-6m -6m 2+23m 2-1 =3m ,k NA 1=y N x N +1=-18m 54m2=-13m ,∴k MA 1⋅k NA 1=-1,即MA 1⊥NA 1,∴以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.8.(2023届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点为F 1,F 2,且左焦点坐标为-2,0 ,P 为椭圆上的一个动点,∠F 1PF 2的最大值为π2.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点-2,-4 的直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,点N 2,0 ,记直线NA 的斜率为k 1,直线NB 的斜率为k 2,证明：1k 1+1k 2=1.【解析】(1)因为左焦点坐标为-2,0 ,所以c =2,当点P 在上､下顶点时,∠F 1PF 2最大,又∠F 1PF 2的最大值为π2.所以b =c =2,由a 2=b 2+c 2得a 2=4,所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)当直线l 的斜率为0时,直线l 的方程为y =-4,直线y =-4与椭圆x 24+y 22=1没有交点,与条件矛盾,故可设直线l 的方程为x =my +t ,联立直线l 的方程与椭圆方程可得,x =my +tx 24+y 22=1,化简可得my +t 2+2y 2=4,所以m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0,由已知方程m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0的判别式Δ=4m 2t 2-4m 2+2 t 2-4 =16m 2-8t 2+32>0,又直线x =my +t 过点-2,-4 ,所以-2=-4m +t ,所以7m 2-8m <0,所以0<m <87,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-2mt m 2+2,y 1y 2=t 2-4m 2+2,因为N 2,0所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=my 1+t -2y 1+my 2+t -2y 2=2m +t -2 y 1+y 2y 1y 2,所以1k 1+1k 2=2m +t -2 -2mt t 2-4=2m -2mt t +2=2m -2mt 4m =2m -t 2=1方法二：设直线l 的方程为m x -2 +ny =1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由椭圆M 的方程x 2+2y 2=4,得(x -2)2+2y 2=-4x -2 .联立直线l 的方程与椭圆方程,得(x -2)2+2y 2=-4x -2 m x -2 +ny ,即1+4m (x -2)2+4n x -2 y +2y 2=0,1+4m x -2y 2+4n x -2y +2=0,所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n1+4m .因为直线l 过定点-2,-4 ,所以m +n =-14,代入1k 1+1k 2,得1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n 1+4m =1+4m1+4m =1.9.(2022届河北省石家庄高三上学期11月月考)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆Γ的离心率为22,椭圆Γ上的一点P 满足PF 2⊥x 轴,且PF 2 =1．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知点A 为椭圆Γ的左顶点,若点B ,C 为椭圆Γ上异于点A 的动点,设直线AB ,AC 的斜率分别为k AB ⋅k AC ,且k AB ⋅k AC =1,过原点O 作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由椭圆Γ上的一点P 满足PF 2⊥x 轴,且PF 2 =1,可得b 2a=1,即b 2=a ,又由椭圆Γ的离心率为22,可得c a =22,即a =2c ,因为a 2-b 2=c 2,联立方程组,可得a =2,b =2,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由椭圆Γ:x 24+y 22=1,可得A (-2,0),设直线BC 的方程为y =mx +n (n ≠2m ),则B (x 1,mx 1+n ),C (x 2,mx 2+n ),联立方程组y=mx+nx24+y22=1,整理得(2m2+1)x2+4mnx+2n2-4=0,则Δ=8(4m2-n2+2)>0,x1+x2=4mn2m2+1,x1x2=2n2-42m2+1,由k AB⋅k AC=1,可得(mx1+n)(mx2+n) (x1+2)(x2+2)=1,即(m2-1)x1x2+(mn-2)(x1+x2)+n2-4=0,可得(m2-1)(2n2-4)+(mn-2)(-4mn)+(n2-4)(2m2+1)=0,整理得12m2-8mn+n2=0,所以(6m-n)(2m-n)=0,所以n=6m或n=2m(舍去),所以直线BC的方程为y=mx+6m,即y=m(x+6),当x=-6时,y=0,可得直线BC过定点F-6,0,因为OD⊥BC,所以点D在以OF为直径的圆上,所以当点E为线段OF的中点时,线段DE的长为定值,此时线段DE的长为3,点E3,0.10.(2022届八省八校(T8联考)高三上学期联考)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆C:(x-2m)2+(y-4m)2=1(m≠0),点F1,F2,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l．已知E的离心率为12,点F1,F2关于直线l的对称点都在圆C上．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．【解析】(1)由已知,e=ca=12,则a=2c设点F1,F2关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段F1F2的中点,则C为线段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以F1F2=|MN|=2,即2c=2,即c=1．于是a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程是x24+y23=1．(2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,所以点O与C也关于直线l对称,因为点C(2m,4m),则线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,所以直线l的方程为y-2m=-12(x-m),即y=-12x+5m2．将y=-12x+5m2代入x24+y23=1,得3x2+4-x2+5m22=12,即4x2-10mx+25m2-12=0．设点A x1,y1,B x2,y2,则x1+x2=5m2,x1x2=25m2-124．所以k AC+k BC=y1-4mx1-2m+y2-4mx2-2m=-12x1+3mx1-2m+x2+3mx2-2m=-x1+3mx2-2m+x2+3mx1-2m2x1-2mx2-2m=-2x1x2+m x1+x2-12m2 2x1x2-4m x1+x2+8m2．由已知,k AC+k BC=23,则2x1x2+m x1+x2-12m22x1x2-4m x1+x2+8m2+23=0,得2x1x2-m x1+x2-4m2=0．所以25m 2-122-5m 22-4m 2=0,即m 2=1,即m =±1．因为直线l 与椭圆E 相交,则Δ=100m 2-1625m 2-12 >0,解得m 2<1625,即|m |<45．因为45<1,所以不存在实数m ,使直线AC 与BC 的斜率之和为23．11.(2022届上海市嘉定区高三一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A 、B ,右焦点为F ,且椭圆Γ过点0,5 、2,53 ,过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点(点P 在x 轴的上方).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若PF+2QF =0 ,求点P 的坐标；(3)设直线AP 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2,是否存在常数λ,使得k 1+λk 2=0?若存在,请求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为椭圆Γ过点0,5 、2,53 ,则有b =54a 2+259b2=1,解得a =3b =5 ,所以椭圆Γ的标准方程为x 29+y 25=1.(2)设P x 1,y 1 y 1>0 ,Q x 2,y 2 .由(1)知,F 2,0 .因为PF+2QF =0 ,则有2-x 1,-y 1 +22-x 2,-y 2 =0,0 ,即6-x 1-2x 2,-y 1-2y 2 =0,0 ,所以6-x 1-2x 2=0,-y 1-2y 2=0, 解得x 2=6-x 12,y 2=-y 12,即Q 6-x 12,-y 12.分别将P 、Q 两点的坐标代入x 29+y 25=1得x 219+y 215=1,6-x 12 29+-y 12 25=1, 解得x 1=34,y 1=-534 (舍)或x 1=34,y 1=534.所以所求点P 的坐标为34,534.(3)设存在常数λ,使得k 1+λk 2=0.由题意可设直线l 的方程为x =my +2,点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则-λ=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 .又因为x 229+y 225=1,即y 22x 22-9=-59,即y 2x 2-3=-5x 2+3 9y 2,所以-λ=-9y 1y 25x 1+3 x 2+3 =-9y 1y 25my 1+5 my 2+5即-λ=-9y 1y 25m 2y 1y 2+5m y 1+y 2 +25(*)又由x =my +2,x 29+y 25=1,得5m 2+9 y 2+20my -25=0,△=900m 2+1 >0,且y 1+y 2=-20m 5m 2+9,y 1y 2=-255m 2+9.代入(*)得-λ=-9-255m 2+9 5m 2-255m 2+9+5m -20m 5m 2+9 +25 =15即λ=-15,所以存在常数λ=-15,使得k 1+λk 2=0.12.(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的虚轴长为4,直线2x -y =0为双曲线C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为A ,B ,过点T (2,0)的直线l 交双曲线C 于点M ,N (点M 在第一象限),记直线MA 斜率为k 1,直线NB 斜率为k 2,求证：k1k 2为定值．【解析】(1)∵虚轴长为4,∴2b =4,即b =2,∵直线2x -y =0为双曲线C 的一条渐近线,∴ba=2,∴a =1,故双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1．(2)由题意知,A (-1,0),B (1,0),由题可知,直线l 斜率不能为零,故可设直线l 的方程为x =ny +2,设M (x 1,y 1)N (x 2,y 2),联立x 2-y 24=1x =ny +2,得(4n 2-1)y 2+16ny +12=0,∴y 1+y 2=-16n 4n 2-1,y 1y 2=124n 2-1,∴ny 1y 2=-34(y 1+y 2),∵直线MA 的斜率k 1=y 1x 1+1,直线NB 的斜率k 2=y 2x 2-1,∴k 1k 2=y 1x 1+1y 2x 2-1=y 1(ny 2+1)y 2(ny 1+3)=ny 1y 2+y 1ny 1y 2+3y 2=-34(y 1+y 2)+y 1-34(y 1+y 2)+3y 2=-13,为定值．13.(2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研)已知椭圆C :x 25+y 24=1的上下顶点分别为A ，B ,过点P 0，3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M ，N 两点,直线BM 与AN 交于点G .(1)设AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2,求k 1⋅k 2的值;(2)求证：点G 在定直线上.【解析】(1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A 0,2 ,B 0,-2 ,k 1⋅k 2=y 2+2x 2⋅y 2-2x 2=y 22-4x 22,又x 225+y 224=1所以y 22=4⋅1-x 225,所以k 1⋅k 2=41-x 225-4x 22=-45.(2)设PM :y =kx +3联立4x 2+5y 2=20,得到(4+5k 2)x 2+30kx +25=0,∴x 1+x 2=-30k 4+5k 2x 1⋅x 2=254+5k 2,Δ=900k 2-100(4+5k 2)=400(k 2-1)>0,直线MB :y =y 1+2x 1x -2,直线NA :y =y 2-2x 2x +2,联立得:y +2y -2=x 2(y 1+2)(y 2-2)x 1,法一：y +2y -2=-54⋅y 2+2 x 2y 1+2 x 1=-54⋅k 2x 1x 2+5k (x 1+x 2)+25x 1x 2=-5,解得y =43.法二：由韦达定理得x 1+x 2x 1x 2=-65k ,∴y +2y -2=x 2kx 2+1(kx 1+5)x 1=kx 1x 2+5x 2kx 1x 2+x 1-56(x 1+x 2)+5x 2-56(x 1+x 2)+x1=-5.解得y =43,所以点G 在定直线y =43上.14.(2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考)已知A (-22,0),B (22,0),直线PA ,PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,若直线OM ,ON 的斜率之积为-34, 证明:△MON 的面积为定值.【解析】(1)设P (x ,y ),则直线PA 的斜率k PA =y x +22(x ≠-22),直线PB 的斜率 k PB =yx -22(x ≠22),由题意k PA ⋅k PB =y x +22⋅y x -22=y 2x 2-8=-34,化简得 x 28+y 26=1(x ≠±22)；(2)直线l 的斜率存在时,可设其方程为y =kx +m ,联立y =kx +m ,x 28+y 26=1,化简得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-24=0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则Δ=(8km )2-43+4k 2 4m 2-24 =488k 2+6-m 2 >0,x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-243+4k 2,所以 k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=kx 1+m kx 2+mx 1x 2=k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=4m 2k 2-24k 2-8k 2m 2+3m 2+4k 2m 23+4k 24m 2-243+4k 2=-24k 2+3m 24m 2-24=-34化简得m 2=4k 2+3则|MN |=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2488k 2+6-m 23+4k 2==431+k 24k 2+34k 2+3=431+k 23+4k 2,又O 到MN 的距离d =|m |1+k 2=4k 2+31+k 2,所以S △OMN =12|MN |⋅d =12⋅431+k 23+4k 2⋅3+4k 21+k 2=23,为定值.当直线l 的斜率不存在时,可设 M x 0,y 0 ,N x 0,-y 0 ,则k CM ⋅k ON =-y 20x 20=-34,且x 208+y 206=1,解得x 20=4,y 20=3,此时S △OMN =2×12×x 0y 0 =23,综上,△OMN 的面积为定值23.15.(2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2,0 ,离心率为12,△ABC 为椭圆C 的任意内接三角形,点D 为△ABC 的外心.(1)求C 的方程；(2)记直线AB ､BC ､CA ､OD 的斜率分别为k 1､k 2､k 3､k 4,且斜率均存在.求证：4k 1k 2k 3k 4=3.【解析】(1)由椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2,0 ,离心率为c a =12得a =4,c =2. 所以b =16-4=23.所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1.(2)证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,则k 1=y 2-y 1x 2-x 1,k2=y 2-y 3x 2-x 3,k 3=y 3-y 1x 3-x 1,k 4=y 4x 4.设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x 4x -2y 4y +F =0,得x 21+y 21-2x 4x 1-2y 4y 1+F =0,x 22+y 22-2x 4x 2-2y 4y 2+F =0,两式相减得x 22-x 21+y 22-y 21=2x 4x 2-x 1 +2y 4y 2-y 1 ,因为y 22-y 21=-34x 22-x 21 ,所以14x 2+x 1 =2x 4+2y 4k 1,同理：14x 2+x 3 =2x 4+2y 4k 2.两式相减得：2y 4=x 3-x 14k 2-k 1 ,于是：2x 4=x 2+x 14-x 3-x 14k 2-k 1⋅k 1。