圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 沈烨

圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：、为定值直线恒过定点；、为定值直线恒过定点；、直线恒过定点.方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.二、定值问题基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式的关系式代数式形式的定值(多个参数)结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如，若，则该式为定值，与无关；（注意是变量，具有任意性，是主元）②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.例如：，当即时，该式为定值与无关. （注意是变量，具有任意性，是主元）三、椭圆经典结论1、过椭圆(上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）2、设椭圆（）的两个焦点为（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记,,，则有.3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是4.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（对原点张直角）1）; 2）的最大值为; 3）的最小值是.4）直线PQ必经过一个定点；5）点到直线的距离为定值：.5 . 过椭圆（）的右焦点作直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.类比．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.6．设椭圆（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ（AA为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：（或）上.（用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点类比．给定双曲线C：,对C上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点（.8、抛物线中的过定点模型：是抛物线上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点特别地直线恒过定点.9、设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点,为其焦点记，则 (1). (2).（双曲线(a>0,b>0)中,,其中θ=∠FPF.）10.椭圆的参数方程是，椭圆上的动点可设对于抛物线上的动点的坐标可设为，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为(5).双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.抛物线常用设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则1. 2.3. 4. 5 .圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）1.过圆C:(x-a)+(y-b)=R上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=R.2. 若在椭圆上，则以为切点的切线的椭圆的切线方程是.3.若在双曲（a＞0，b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.4.已知点M(x,y)在抛物线C:y=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:yy=p(x+x).（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e-1，即。

圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
题型一：定点问题法一：特殊探求，一般证明；
法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。

圆锥曲线的定点定值问题
圆锥曲线的定点定值问题通常涉及以下几种类型：
1.已知圆锥曲线的焦点和离心率，求解该曲线的方程或者确定该曲
线上的点。

2.已知圆锥曲线的焦点和直角坐标系中一点的坐标，求解该曲线的
方程或者确定该曲线上的点。

3.已知圆锥曲线上的一点和该点处的切线或法线的方程，求解该曲
线的方程或者确定该曲线上的其他点。

解决圆锥曲线的定点定值问题，通常需要运用圆锥曲线的定义、方程与性质，并结合平面几何、代数等知识进行推理和计算。

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究作者：范贤丽来源：《中学教学参考·理科版》2015年第08期[摘要]主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.[关键词]圆锥曲线斜率定值[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230038动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的.圆锥曲线是动静结合的典范.以椭圆为例，椭圆的定义为定点F1、F2，定值2a（2a>F1F2），动点P满足PF1+PF2=2a，则P的轨迹是椭圆.“动”是P的运动，“静”是动点P满足PF1+PF2=2a，点P到两个定点的距离和是定值.在运动的过程中，不变的就是静.本文以圆锥曲线为背景，研究与直线的斜率有关的定值问题.一、斜率之和为定值【例1】椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：：（Ⅰ）易求出椭圆C的方程为x24+y23=1.（Ⅱ）设B（x0，y0）（x0≠±1），则直线FB的方程为y（x0-1）=y0（x-1）.令x=4，求得M（4，3y0x0-1），从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12（x0-1）.直线FB的方程与椭圆方程联立方程组，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52（x0-1），直线PB的斜率为k2=2y0-32（x0-1）.所以k1+k2=2y0-2x0+52（x0-1）+2y0-32（x0-1）=2×2y0-x0+12（x0-1）=2k3.故存在常数λ=2符合题意.点评：过定点F的动直线引出三个动点：与定椭圆的两个交点A、B，与定直线l的交点M，经过定点P（满足PF⊥x轴）的调动，得到kPA+kPB=2kPM，动中有静，静由动生，动静和谐，形式优美.二、斜率之差为定值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C的下顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m-k为定值.解析：（Ⅰ）易得椭圆C的方程为x24+y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不为椭圆的顶点，设BP的方程为y=k（x-2），k≠0，k≠±12.将之代入椭圆方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.又直线AD的方程为y=12x+1，与BP的方程联立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三点共线可求得N（4k-22k+1，0）.所以MN的斜率为m=2k+14，故2m-k=12（定值）.点评：定椭圆上的三个定点A、B、D，由椭圆上的动点P引出两个动点M、N，这些点恰好都在定角∠DAB内，两个动直线MB、MN的斜率受定直线MA的斜率制约.三、斜率之积为定值【例3】椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）.A.[12，34]B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]解析：由题意知，A1（-2，0），A2（2，0）.设点P（x0，y0），则kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.∴kPA1·kPA2=y20x20-4=-34，从而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故选B.点评：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不与长轴端点重合的任意一点与两个长轴端点连线的斜率之积是常数-b2a2，反映椭圆上的动点具有不变的特性.（责任编辑钟伟芳）。

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。

不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。

二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=； 3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。

三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值。

【例2】如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为22。

（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值。

【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。

（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。

四、课堂练习：1、如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q 点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N 。

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第40页例3）拓展研究：动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022>>-b a ab ，则动点M 的轨迹方程为_____________.引例2:设ABC ∆的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠，试探究顶点C 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第80页复习参考题第10题）变式探究：对m k k BC AC =∙()0≠m 进行了探究，那么()，0≠=m m k k BCAC ()，0≠=+m m k k BC AC ()0≠=-m m k k BC AC 应用举例：设点B ,A 的坐标为()()0101,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，求满足下列条件点M 的轨迹方程。

⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2=-BM AM k k 反馈练习：1、已知椭圆C :1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（）.A 161-.B 321-.C 641.D 10241-2、设双曲线116922=-x y :C 与函数3x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在双曲线C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]23--,，那么直线1PA 斜率的取值范围是.3、在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于N ,M 两点,M 在x 轴的上方,直线AM 与圆O 的另一交点为P ,直线AN 与圆O 的另一交点为Q ,⑴若AM AP 3=,求直线AM 的斜率;⑵设AMN ∆与APQ ∆的面积分别为21S S ，,求21S S 的最大值.变式：在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于C ,B 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-056，D ．设直线AC ,AB 的斜率分别为21k ,k ．（1）求21k k ∙的值；（2）记直线BC ,PQ 的斜率分别为BC PQ k ,k ，是否存在常数λ，使得BC PQ k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．引例3：已知椭圆191222=+y x ，点()12，P 为椭圆内一点，是否存在以点P 为中点的所在直线方程___________.结论：1、在椭圆()012222>>=+b a by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦AB 所在直线斜率2020b x k a y =-；且22ab k k OP AB -=∙2、在双曲线()0012222>>=-b a by a x ，中,以00(,)P x y 为中点AB 的弦所在直线斜率2020b x k a y =；且22ab k k OP AB =∙3、在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0py k =.1、已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点()22，在C 上，⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l 不经过原点O ，且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B ,A ,线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。

ʏ广东省佛山市顺德区容山中学 潘敬贞圆锥曲线中的定值问题内容丰富多彩,通常有线段为定值,线段之比为定值,线段之积为定值,两条直线斜率的运算为定值,夹角为定值,面积为定值,某个量的系数运算为定值,向量数量积为定值等问题,这些问题往往具有强大的几何背景,其求解思路一般是:(1)先由特殊寻找出定值,然后证明;(2)直接推理,消掉参数得到所求几何量为定值㊂圆锥曲线中的定值问题的求解对分析问题和解决问题的能力要求比较高,需要同学们具备一定的运算求解能力㊁推理论证能力,以及丰富的解题经验㊂针对各类定值问题,文章结合实例厘清各类问题的求解思路,目的是帮助同学们提高备考的针对性和有效性㊂一、线段之比为定值线段之比为定值问题就是当某个动点在运动时,两条线段都与某一个或几个参数有联系,通过代数变形,化简后即可得到线段之比为定值㊂例1 已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点和右焦点,M 为C 上的动点,其中动点M 到左焦点F 1的最短距离为1,且当әM F 1F 2的面积最大时,әM F 1F 2恰好为等边三角形㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)斜率为k 的动直线l 过点F 2,且与椭圆C 交于A ,B 两点,线段A B 的垂直平分线交x 轴于点P ㊂试问:P F 2|A B |是否为定值若是,请求出该定值;若不是,请说明理由㊂解析:(1)设F 1F 2=2c ,由题意可知a -c =1,a =2c ,解得a =2,c =1,所以b =a 2-c 2=3,故椭圆C 的方程为x 24+y23=1㊂(2)P F 2|A B |为定值㊂由题意可知,动直线l 的方程为y =k (x-1),联立x 24+y23=1,y =k (x -1),消去y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-3=0㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-33+4k2㊂设A B 的中点为Q x 0,y 0,则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k x 0-1 =-3k3+4k2㊂当k ʂ0时,线段A B 的垂直平分线的方程为y --3k 3+4k 2=-1k x -4k23+4k2,令y =0,解得x =k23+4k2,所以P F 2=k 23+4k 2-1=31+k 23+4k2㊂A B=x 1-x 2 2+y 1-y 22=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=12k 2+13+4k2㊂所以P F 2|A B |=31+k 23+4k 2121+k 23+4k2=14㊂当k =0时,l 的方程为y =0,此时A B =2a =4,P F 2=c =1,故P F 2|A B |=14㊂ 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月综上所得,|P F 2||A B |为定值14㊂评注:由于直线A B 经过定点,因此在写其方程时只有一个参数(斜率k ),由弦长公式即可用参数k 表示线段A B ,又线段A B 的垂直平分线的斜率为-1k,故也可用参数k 表示线段P F 2,此时只需对线段之比化简即可得到结论㊂本题求解的关键是在写直线方程和用参数k 表示线段的过程中,需要讨论斜率k 是否为零㊂二㊁线段之积为定值线段之积为定值问题的求解原理与线段之比为定值问题的求解原理基本一样㊂例2已知椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的左顶点和下顶点分别为A ,B ,|A B |=25,过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的弦长为2㊂(1)求椭圆C 的方程;(2)已知M 为椭圆C 上一动点(M 不与A ,B 重合),直线A M 与y 轴交于点P ,直线B M 与x 轴交于点Q ,证明:|A Q |㊃|B P |为定值㊂解析:(1)由题意可知a 2+b 2=20,2b2a=2,解得a =4,b =2,所以椭圆C 的方程为x 216+y24=1㊂(2)由题意及(1)知A (-4,0),B (0,-2),设M x 0,y 0 ,P 0,y P ,Q x Q ,0 ,因为M 在椭圆C 上,所以x 20+4y 20=16,由A ,P ,M 三点共线得y P 4=y 0x 0+4,即y P =4y 0x 0+4,同理可得x Q =2x 0y 0+2㊂所以|A Q |㊃|B P |=|x Q +4|㊃|y P +2|=2x 0+4y 0+8x 0+4㊃2x 0+4y 0+8y 0+2=4x 20+4y 20+16+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =432+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =16㊂所以|A Q |㊃|B P |为定值16㊂评注:本题求解时,先设点M x 0,y 0,然后用三点共线原理顺利实现用点M 的坐标表示线段|A Q |与线段|B P |,此题化简过程显得尤为关键,最后一步还需要由点M 在椭圆上得x 20+4y 20=16,并将其代入代数式进行化简㊂三㊁直线斜率运算为定值直线斜率运算包括加减运算和乘除运算,直线斜率运算为定值问题反映两条直线在运动过程中其斜率运算满足某个特殊的关系式㊂例3已知椭圆E :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的离心率为32,短轴长为2㊂(1)求椭圆E 的方程;(2)过点M -4,0且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ,C ,点N 在线段B C 上,且M BM C=N BN C,P 为线段B C 的中点,记直线O P ,O N 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值㊂解析:(1)由题意及椭圆的性质可知ca=32,2b =2,则1-b 2a2=34,所以a 2=4,故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在,故设直线l 的方程为y =k (x +4),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),N (x 3,y 3),P (x 0,y 0),联立x 24+y 2=1,y =k (x +4),消去y 整理得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2-4=0,由Δ=16(1-12k 2)>0,得0<k 2<112,所以x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-44k 2+1,所以x 0=-16k24k 2+1,y 0=k (x 0+4)=4k 4k 2+1,所以P -16k 24k 2+1,4k4k 2+1㊂因为M BM C=N BN C ,所以x 1+4x 2+4=x 3-x 1x 2-x 3,知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月解得x 3=2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8=2ˑ64k 2-44k 2+1+4ˑ-3k 24k 2+1-32k24k 2+1+8=-1,y 3=3k ,所以N (-1,3k ),故k 1k 2=y 0x 0㊃y 3x 3=-14kˑ(-3k )=34,即k 1k 2为定值㊂评注:本题第(2)问求解的关键是将直线的斜率坐标化㊁代数化,在化简过程中充分利用条件M B M C =N BN C,并将这一条件转化为坐标问题,然后化简得到所需的等式㊂本题的综合性强,计算量大,属于较难试题㊂四㊁夹角为定值夹角为定值问题就是当直线在运动的过程中,某个角度大小不变,其求解思路是:将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,同时还要注意利用向量工具助力求解㊂例4 已知点P (-2,y 0)为抛物线C :x 2=2p y (p >0)上一点,F 为抛物线C 的焦点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且әF P Q 的面积为2㊂(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 经过点(2,5)交抛物线C 于M ,N 两点(异于点P ),求证:øM P N 的大小为定值㊂解析:(1)因为әF P Q 的面积为2,所以12|F Q |㊃2=2,即|F Q |=2㊂因为x 2=2p y ,所以y =x 22p ,求导得y '=xp ,所以点P 处的切线的斜率为-2p,切线的方程为y -y 0=-2p (x +2),令x =0,可得y =y 0-4p =2p -4p =-2p ,所以p 2+2p =2,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)设M x 1,x 214,N x 2,x 224,设直线l 的方程为y =k (x -2)+5,联立y =k (x -2)+5,x 2=4y ,消去y 整理得x 2-4k x +8k -20=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -20㊂因为P (-2,1),所以P M ң=x 1+2,x 214-1,P N ң=x 2+2,x 224-1,所以P M ң㊃P N ң=(x 1+2)(x 2+2)+x 214-1x 224-1=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+x 21x 2216-(x 1+x 2)2-2x 1x 24+1=8k -20+8k+(8k -20)216-16k 2-16k +404+5=0,所以P M ңʅP N ң,所以øP MN 的大小为定值90ʎ㊂评注:本题的求解是将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,再借助向量工具即可得证㊂本题难度不大,求解思路清晰,过程简洁㊂五㊁向量的数量积为定值例5 在平面直角坐标系x O y中,过椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F的直线x +y -2=0交椭圆C 于A ,B 两点,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)设过点F 的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆C 交于D ,E 两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使得MD ң㊃M E ң为定值若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)由题意可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减可得,(x 1-x 2)(x 1+x 2)a2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0㊂又因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13,所以y 0=13x 0,即y 1+y 2=13x 1+x 2,所以可解得a 2=3b 2,即a 2=3a 2-c 2,即a 2= 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月32c 2,又因为c =2,所以a 2=6,所以椭圆C 的方程为x 26+y22=1㊂(2)设直线l 的方程为y =k x -2,代入椭圆C 的方程x 26+y 22=1,化简整理得3k 2+1x 2-12k 2x +12k 2-6=0,设D x 3,y 3 ,E (x 4,y 4),则x 3+x 4=12k21+3k2,x 3x 4=12k 2-61+3k2㊂假设x 轴上存在定点M t ,0,使得MD ң㊃M E ң为定值,则有MD ң㊃M E ң=(x 3-t ,y 3)(x 4-t ,y 4)=(x 3-t )(x 4-t )+y 3y 4=(x 3-t )(x 4-t )+k 2(x 3-2)(x 4-2)=(k 2+1)x 3x 4-(2k 2+t )(x 3+x 4)+4k 2+t2=(k 2+1)12k 2-61+3k 2-(2k 2+t )12k 21+3k2+4k 2+t 2=(3t 2-12t +10)k 2+t 2-61+3k2,要使上式为定值,即与k 无关,则应有3t 2-12t +10=3(t 2-6),解得t =73,故当点M 的坐标为73,0时,MD ң㊃M E ң为定值㊂评注:本题以存在性设问,有一定的开放性㊂由于是证明向量的数量积为定值,所以可用向量的坐标运算直接将问题代数化,此时只需联立直线和曲线的方程,并借助韦达定理,最后通过等式代换化简即可㊂六、面积为定值例6 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1㊂(1)求椭圆C 的方程;图1(2)如图1,设M 为椭圆上位于第一象限内的一个动点,A ,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线M B 与x 轴交于点C ,直线M A 与y 轴交于点D ,求证:四边形A B C D 的面积为定值㊂解析:(1)由已知可得ca=32,2b2a=1,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)因为椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,所以A (-2,0),B (0,-1)㊂由题意可设M (m ,n )(m >0,n >0),则m 24+n 2=1,即m 2+4n 2=4㊂所以直线B M 的方程为y =n +1mx -1,令y =0,得x C =mn +1㊂同理可得,直线A M 的方程为y =n m +2(x +2),令x =0,得y D =2nm +2㊂所以S 四边形A B C D =12㊃A C ㊃B D =12㊃mn +1+2㊃2n m +2+1=12㊃(m +2n +2)2(m +2)(n +1)=12㊃4m n +4m +8n +8m n +m +2n +2=2㊂所以四边形A B C D 的面积为定值2㊂评注:本题求解的关键是将线段坐标化,从而实现将面积代数化㊂首先设M (m ,n )(m >0,n >0),得m 2+4n 2=4,直线B M 的方程为y =n +1m x -1,从而x C =mn +1,同理得y D =2n m +2,所以S 四边形A B C D =12ˑ|A C |ˑ|B D |=12ˑm n +1+2ˑ2nm +2+1,最后通过化简即可证明四边形A B C D 的面积为定值2㊂本文结合实例对圆锥曲线中的定值问题进行了梳理,希望同学们在平时的学习中,能根据以上六大类问题逐一分析,动手求解,经常思考和反思,不断积累解题经验,从而提升自身的数学综合能力㊂(责任编辑 王福华)知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月。

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨作者：莫成立来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若k AM+k AN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若k AM·k AN=c（常数），直线l恒过定点.证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.由y2=2pxt=ty+my2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0y1y2+y0（y1+y2）+y20=2p（2pt+2y0）-2pm+2pty0+y20=c，即：4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，要斜率为定值，即要t=-2pmc+y20c-4py04p2-2py0c为定值，所以c=0，t=-y0p.（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率k=-py0.（2）k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=4p 2=c.即-2pmc+2pty0c+cy20-4p2=0可解得：m=2pty0c+cy20-4p22mc，直线l方程为：x=ty+2pty0c+cy20-4p22pc，即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点（cy20-4p22pc，-y0）.定理2：已知A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点；（2）若k AM+k AN=c常数，直线l斜率为定值.证明：（1）若直线l斜率不存在，设M（t，b1-t2a2），N（t，-b1-t2a2）[HT5，5”]k AM·k AN =（b1-t2a 2-y0）（-b1-t2a2-y0）（t-x0） 2=[HT]y20-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2（1-x20a2）-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2a2·t+x0t-x0=c，则b2a 2·t+x0t-x0=c x0=0，c=b2a 2才满足.若直线MN斜率存在，设为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）b2x2+a2y2-a2b2=0y=kx+m（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0x1+x2=-2a2mka2k2+b 2，x1x2=a2m2-a2b 2a2k2+b 2.k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）x1x2-x0（x1+x2）+x20=-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b 2 a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b2y20-2my0b 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20= m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b 2a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=b2a 2·m2+y20-2my0-x20k 2m2+2mkx0+k2x20-y20=b2a2·（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）（m-y0+kx0）（m+y0+kx0）=b2a 2·m-y0-kx0m+y0+kx0.所以m=（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c直线MN方程为：y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c ）+a2cy0+b2y0b2-a2c.恒过定点（-a2c+b 2b2-a2cx0，a2c+b2b2-a2cy0）.当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：①若x0=0，y0=b直线恒过定点（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；②x0=a，y0=0，直线恒过定点（a（a2c+b2）a2c-b2），0）；③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；④若x0=-a，y0=0直线恒过定点（a（a2c+b2）b2-a2c，0）.（2）若直线MN斜率不存在，k AM+k AN=b1-t2a2-y0t-x0+-b1-t2a2-y0t-x0=-2y0t-x0=c，则y0=0，c=0才满足.若直线MN斜率存在，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=kx1+m-y0x1-x0+kx2+m-y0x2-x0=[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0 x1x2-x0（x1+x2）+x20=-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+2x0y0a2k 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20= c.若直线MN斜率k为定值，则可化为a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k 2+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0c=02a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0①②③c=0k=b2x0a2y01，2代入3也成立当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.定理3：已知A（x0，y0）是双曲线x2a 2-y2b 2=1 （a>0，b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点（a2c-b 2b2+acx0，b2-a2cb2+acy0）；（2）若k AM+k AN=c（=0）常数，直线l斜率为定值 -b2x0a2y0.证明方法同上.。

圆锥曲线的定值问题圆锥曲线中的定点定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。

解这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积等，这些不受变量说影响的一个值就是定值。

具体要求就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量得到定值。

下面就以今年的几道高考真题为例，揭示一般做题方法。

例1 （2013年山东卷理）椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心3过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.分析 (Ⅰ)根据离心率以及通径公式联立即可求解。

(Ⅱ)角平分线通常可以选择直线夹角或者向量夹角两种处理方式，就本题而言，向量夹角的处理方式较为优越。

(Ⅲ)关键在于读懂只有一个公共点的含义，并求得k 的表达式。

解析 (Ⅰ)由于222c a b =-, 将x c =-代入椭圆方程22231x y a b +=，得2b y a=±。

由题意知221b a=,即 22a b = 。

又 3c e a == 2,1a b ==。

所以椭圆方程为2214x y +=。

(Ⅱ)由题意可知:11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PM PF ⋅, 设00(,)P x y 其中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠, 所以034m x =,而0(2,2)x ∈-,所以33(,)22m ∈- (Ⅲ)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为 0014x x y y +=,所以004x k y =-, 而0012,33y y k k x x ==+-, 代入1211kk kk +中得 00120033114()8x x kk kk x x +-+=-+=-为定值. 点评 本题思维强度不大，运算强度也不大。

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解读几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解读融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。

一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =<p ＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：<1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；<2）直线AB 经过一个定点。

证明：<1）设A<11,x y ）、B<22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

<2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y p x x y y -=-+∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)p x p y y =-+，∴直线AB 过定点<2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4>都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。

<1）试证明直线AB 的斜率为定值；<2）当直线AB 的纵截距为m<m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。

分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解读：<1）证明：把P(2，4>代入212y x h =-+，得h=6。

所以抛物线方程为：y －4=k(x －2>，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。

圆锥曲线斜率和与积问题(一)圆锥曲线二次方程的两边除以/便可构造出关于上的二次方程，Ao 是这个关于2的方程的两个XX根，当问题涉及或可转化为％八+心8或LMMoB 时，我们便可利用根与系数的关系解题。

∕lf 椭圆斜率互补与垂直的问题2 2 已知点尸(XO ,打)是椭圆三+4=l(">8>0)上的一个定点，A,8是椭圆上的两个动点。

ab~(1)若尸Aj_P8,则直线AB 过定点匕/0，-雪二⅛%];Ia÷b~ cι~÷b~J(2)若直线PAPB 与X 轴围成以点尸为顶点的等腰三角形，则直线AB 的斜率为定值丝∙°%。

证明将椭圆C 按向量而(一%,-X ))平移得椭圆C ：("+：0丫+(>+巫=1ab~又点P(Xo,%)在椭圆二+二=1上，所以-¾~+2%=1,代入上式得=+M^1—^∙x^ι—"y=0①。

ab~ ah~ ah~a~b~椭圆C 上的定点P(x 0,%)和动点A,B 分别对应椭圆C 上的定点O 和动点A',B ,,设直线Aff 的方程为 mx+ny=∖,代入①得~~j+「+(―γx —与y)+=O o 当x≠0时，两边除以一得。

a"ba"b“ 1+2，。

〃∖+(冬+2挈)2+1+2jo”=O 因为点A,B'的坐标满足这个方程,所以左M 次的是这个关b Jr abXa 于上的方程的两个根。

X(1)若PA_LP3,由平移性质知。

4'JLQ 夕，所以ZQNMQ&= 即2〃XOm+2/%〃=_(/+〃)，所以一学移一学[=1。

由此知点(一军工一卫卫]在直线a+b~a+b[a~+b- +h~) mx+ny=∖上，即直线A t B t 过定点∣-⅛⅛--⅛¾∣,从而直线相过定点∖a~+b~a~+h~If 2b 2x 0 2a 2y 0 ) a 2-b 2 a 2-b 2、(2)依题意知直线PAP3的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线04,03'的倾斜角也互补且斜率 存在，所以+Z°zr =0,即与+2当”=0,由此得心zr =一%二骂。

过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。

数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。

当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。

解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。

优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。

一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。

专题6 圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一) 定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2022届河北省张家口市高三上学期期末)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2,右顶点D（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于,A B两点,且0,OA OB O⋅=为坐标原点,点O到直线l的距离是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）结合双曲线的离心率,顶点到渐近线的距离求得,a b,由此求得双曲线C的方程.（2）根据直线l 与坐标轴平行或不平行两种情况进行分析,结合根与系数关系以及0OA OB ⋅=列方程,化简后根据点到直线距离公式求得O 点到直线l 的距离. 【解析】（1）由题意,得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±, 右顶点为(),0D a .又222+=a b c ,,2ab c e c a====, 所以12a c =,故b = 又2234a a +=,解得21a =, 所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线l 和轴线平行时,1122,x y x y ==,解得1122x y x y ====, 所以点O 到直线l当直线l 和轴线不平行时, 设直线l 的方程为x my t =+,由221,3y x x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330m y mty t -++-=, ()()()22222Δ(6)4313312310mt m t m t =---=+->,所以2121222633,3131mt t y y y y m m --+==--. 又1122,x my t x my t =+=+,所以()()()()2212121212121210OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++=,得()()()2222222133631031m t m t t m m +--+-=-,解得22233t m =+.又点O 到直线l的距离为d ,则222312tdm==+,故d=所以点O到直线l【例2】（2022届上海市松江区高三一模）2222Γ:1(0,0).x ya b y xa b-=>>=已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R∈,直线y kx m=+与双曲线Γ总有公共点,求实数k的取值范围；（3）若过点()1,0的直线l与双曲线Γ交于M N､两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PM PN⋅为常数？若存在,求出点P的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由.【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出,a b即可得双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;（3）假设存在P, 计算PM PN⋅,根据韦达定理化简,当满足7202a-=时,PM PN⋅为常数.【解析】（1）由题意可知,bca==因为222c a b=+,所以1a b==,所以双曲线的方程为2212xy-=；（2）联立221,2xyy kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)42(1)0k x kmx m---+=,当2120k-=时,此时易知0m=时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意,所以2120-≠k,且0∆≥,即222(4)8(12)(1)0km k m+-+≥,所以2221m k≥-,所以2210k-<,解得k<<所以k<<（3）设1122(,),(,)(,)，M x y N x y P a b , 所以1122(,),(,)PM x a y PN x a y =-=-,当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线(1)y k x =-, 所以2121212()PM PN x x a x x a y y ⋅=-+++ 22221212(1)()()k x x a k x x a k =+-++++,①联立2212(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2222(12)42(1)0k x k x k -+-+=, 所以22121222422,2121k k x x x x k k ++==-- ②, 把②代入①化简得：2222227234232221221ak k a PM PN a a a k k --+⋅=+=-++--, 所以当7202a -=时,得74a =,此时1716PM PN ⋅=. (二) 与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,点⎭在椭圆C 上,过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形12A DA E 的面积为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线()()22y k x m m =--<<与椭圆C 相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若22PM PN +的值与m 无关,求斜率k 的值．【分析】（1）根据题干条件可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆C 的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程,设点()11,M x y 、()22,N x y ,列出韦达定理,可得出22PM PN +的表达式并化简,结合已知条件可求得k 的值. 【解析】（1）由题意知122A A a =．将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±,所以22bDE a=, 所以由四边形12A DA E 的面积为6,得2121122622b A A DE a a ⋅=⨯⨯=,所以b =又点⎭在椭圆C 上,所以222312a b +=,所以,2a =. 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222223484120k x k mx k m +-+-=, 则()()()422222226443441248430k m k k m k k m ∆=-+-=+->．设()11,M x y 、()22,N x y ,则2122834k mx x k +=+,2212241234k m x x k -=+, 易知(),0P m ,所以()()()22212221P k x m x N m M P ⎡⎤=+-+-+⎣⎦()()()2221212121222k x x x x m x x m ⎡⎤=++--++⎣⎦()2222222222841281222343434k m k m k m k m m k k k ⎡⎤⎛⎫-=+-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2222221643243434k m k k k +⎡⎤=--++⎣⎦+．由上式可知要使22PM PN +的值与m 无关,必有2430k -=,解得k = 所以直线()y k x m =-的斜率k的值为 (三)与面积有关的定值问题【例4】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知O 为坐标原点,椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ,动直线l ：()11y x m =-与Γ相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B ',点B '到Γ的两焦点的距离之和为4． （1）求Γ的标准方程．（2）若直线B C '与x 轴交于点M ,OAC ,AMC 的面积分别为1S ,2S ,问12S S 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；（2）利用“设而不求法”表示出OAC ,AMC 的面积,即可求出12S S . 【解析】（1）由对称性得点B '在椭圆Γ上,根据点B '到Γ的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得24a =,解得2a =． 因为Γ所以c a =所以c =所以222431b a c =-=-=所以Γ的标准方程为2214x y +=．（2）12S S 是定值,且该定值为1．理由如下：由()221,411,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=． 设()11,B x y ,()22,C x y ,则()11,B x y '-,且12224m y y m +=-+,12234y y m =-+． 易得直线B C '的方程为112121y y x x y y x x +-=+-, 令0y =,得211121x x x y x y y -=++ ()1211211my y y my y y -=+++22121112211my y my my my y y y -++=++121221my y y y =++223241424m m m m -⨯+=+=-+． 所以当m 变化时,直线B C '与x 轴交于定点()4,0M ． 所以1222114212CCOA OA S S AM AM y y ⨯⨯=⨯=-⨯==, 即12S S 是定值,且定值为1．(四) 与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线21y x =-与抛物线交于M ,N 两点,且||||4MF NF +=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若(4P ,)(0)m m >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与抛物线C 交于A ,B 两点（均与点P 不重合）,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证：12k k 为定值．【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到12||||22p pMF NF x x +=+++,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点P 坐标可得到参数m 的值,设直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,联立该直线和抛物线方程,34123434343444161644(4)(4)4()16y y k k x x y y y y y y --=⨯==--+++++,代入韦达定理可得到最终结果.【解析】（1）设点1(M x ,1)y ,点2(N x ,2)y ,联立2221y pxy x ⎧=⎨=-⎩,整理得24(42)10x p x -++=, ∴1242142p px x ++==+, 由抛物线的定义知12||||14222p p pMF NF x x p +=+++=++=, 解得2p =,∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）(4P ,)(0)m m >为抛物线C 上一点,4m ∴=,即(4,4)P ,设3(A x ,3)y ,4(B x ,4)y ,直线AB 的方程为1(4)x t y -=+,由21(1)4x t y y x-=+⎧⎨=⎩,消去x 得241640y ty t ---=, 344y y t ∴+=,34164y y t =--,34123434343444161616444(4)(4)4()1616444163y y k k x x y y y y y y t t --=⨯====--+++++--+⨯+, 即12k k 为定值．(五) 与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.【例6】（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,M 为椭圆C 上一点,12MF F △的周长为4+（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,判断PA PB ⋅是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由,【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,a c ,结合关系式得出b ,即可得出椭圆C 的方程； （2）由PB 平行于y 轴特殊情况求出0PA PB ⋅=,即1PA PB k k ⋅=-；当PB 平行于y 轴时,设过P 的直线为()00y k x x y =-+,联立椭圆方程,令0∆=化简得关于k 的二次方程,由韦达定理即可求解. 【解析】（1）由题可知,224c e a c a ==+=+解得2,a c ==又222a b c =+,解得1b =,故椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）如图所示,当PB 平行于y 轴时,PA 恰好平行于x 轴,()()()0,12,0,2,1A B P ,()()2,0,0,1PA PB =-=-,0PA PB ⋅=； 当PB 不平行于y 轴时,设()00,P x y ,设过点P 的直线为()00y k x x y =-+, 联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 令0∆=得()()()2222000064164110k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,化简得 ()22200004210x k x y k y --+-=,设12,PA PB k k k k ==,则20122014y k k x -⋅=-,又22005x y +=,故220012220014144y x k k x x --⋅===---,即0PA PB ⋅=. 综上所述,0PA PB ⋅=.【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知()0,1P 为椭圆C ：22143x y +=内一定点,Q 为直线l ：3y =上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点（点B 位于P ､Q 两点之间）,O 为坐标原点.（1）当直线PQ 的倾斜角为4π时,求直线OQ 的斜率； （2）当AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；（3）设AP PB λ=,AB BQ μ=,试问λμ-是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【分析】（1）先得到直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩得到Q 的坐标求解；（2）设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,结合韦达定理求得12x x -,再由121322AOB S OP x x =⋅-=求解.（3）设直线PQ 的方程为()1x m y =-,由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得到()()()224318180m y y +-+--=,,有()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++,再根据AP PB λ=,AB BQ μ=,得到12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----求解.【解析】（1）因为直线PQ 的倾斜角为4π,且()0,1P , 所以直线PQ 的方程为：1y x =+,由13y x y =+⎧⎨=⎩,得()2,3Q , 所以直线OQ 的斜率是32OQ k =；（2）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为1y kx =+,由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2234880k x kx ++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12122288,3434k x x x x k k +=-⋅=-++,所以12x x -==所以121322AOBSOP x x =⋅-==, 解得214k =,即12k =±, 所以直线PQ 的方程为112y x =+或112y x =-+, 由1123y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q ； 由1123y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,得()4,3Q -； （3）易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为()1x m y =-, 由()221431x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()()()224318180m y y +-+--=,设()()1122,,,A x y B x y ,则()()1212228811,114343y y y y m m -+-=--⋅-=-++, 所以()()12121111y y y y -+-=-⋅-, 因为AP PB λ=,AB BQ μ=, 所以12121122221333,11333y y y y y y y y y y λμ---+--====-+----, 所以112213113y y y y λμ---=++--, ()()()()()()1111222112111113y y y y y y ⎡⎤-+-+--⎣⎦=+=--.(六) 与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】已知A ,B 是双曲线221:13y C x -=的左、右顶点,P 是双曲线1C 上不同于A ,B 的一点． （1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB ,P A 于点(),M M M x y ,(),N N N x y ,求M N x x -；（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆222:13y C x +=于点Q ,设直线P A ,PB ,QA ,QB 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k ,求22221234k k k k +--的值．【分析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭,写出直线PB , P A 的方程,联立求解得N x ,即可求解； （2）由斜率公式结合题意求解即可【解析】（1）由双曲线1C 的方程可得()1,0A -,()10B ,,设()()000,P x y x ≠1, 又M 是线段PB 的中点,则001,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭ 直线PB 的斜率为001y x -,直线P A 的斜率为001y x +, 又PB MN ⊥,则直线MN 的方程为00001122y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 即2000001122x x y y x y y --=++, 又直线P A 的方程为00(1)1y y x x =++, 联立得()2220000011(1)221x y y x x x x --++=++, 代入()220031y x =-,消去2y ,解得0214x x -=, 即0214N x x -=,则001213244M N x x x x +--=-=． （2）设()11,Q x y ,则0000111112342200110122111111y y x y y y x y k k k k x x x x x x +++=+++=++-+---, 易知220013y x -=,221113y x +=,化简得011234016x x k k k k y y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭,因为O ,P ,Q 三点共线,所以0101y y x x =, 所以12340k k k k +++=．易知20001220003111y y y k k x x x =⋅==+--,同理可得343k k =-, 由12340k k k k +++=,得22221212343422k k k k k k k k ++=++,所以2222123412k k k k +--=-．(六) 与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=-；2.若点A ,B 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则22PA PBb k k a⋅=. 3.设点是椭圆C ：上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,则直线AB 斜率为定值；4. 设点是双曲线C ：一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值； 5. 设点是抛物线C ：一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若0PA PB k k +=,直线AB 斜率为定值. 6.设,,A B C 是椭圆上不同3点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点,M N ,则2OM ON a =.7.点A ,B 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上动点,O 为坐标原点,若OA OB ⊥,则2211OA OB+=2211a b +（即点O 到直线AB 为定值）8. 经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则212||||PA PA b ⋅=.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,交直线by x a=-于,Q R ,记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,则：(),P m n ()222210x y a b a b+=>>()220bm n an ≠(),P m n ()222210,0x y a b a b-=>>()220bm n an-≠(),P m n ()220y px p =>()0pn n-≠()222210x y a b a b+=>>122ab S S +=. 【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数0m >且1m ≠,椭圆Γ：2221x y m +=,点P 是Γ上的动点．（1）若点P 的坐标为()2,0,求Γ的焦点坐标；（2）设3m =,若定点A 的坐标为()2,0,求PA 的最大值与最小值； （3）设12m =,若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点）,求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【分析】（1）由题可得2m =,c =即得；（2）由题可得()222282459x PA x y x =-+=-+,利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,联立椭圆方程可得()2224210k x ktx t +++-=,利用韦达定理及条件可得2215k t +=,进而可得O 到直线PQ 的距离为定值,当直线PQ 斜率不存在时,可得x =易得O 到直线PQ 的距离为定值,即证.【解析】（1）∵椭圆Γ：2221x y m +=,点P 的坐标为()2,0,∵2m =,c∵Γ的焦点坐标为()),；（2）设(),P x y ,又()2,0A ,由题知2219x y +=,即2219x y =-,∵()()222222288912214599942x x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭,又33x -≤≤,∵当3x =-时,2PA 取得最大值为25；当94x =时,2PA 取得最小值为12；∵PA 的最大值为5,. （3） 当12m =时,椭圆Γ：2241x y +=, 设()()1122,,,P x y Q x y ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y kx t =+,则由2241y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得()2224210k x ktx t +++-=, ∵()()()222212122221,,2441044kt t x x x x kt k t k k--+==∆=-+->++, 由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,即12120x x y y +=,∵()()12120x x kx t kx t +++=,即()()22121210k x x kt x x t ++++=,∵()22222121044t ktk kt t k k--+⋅+⋅+=++,可得2215k t +=,满足0∆>,∵O 到直线PQ 的距离为d ==为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP OQ ⊥,可得直线方程为x =,O 到直线PQ综上,O 到直线PQ 的距离是定值． 三、跟踪检测1．如图,点M 是圆22:(1)16A x y ++=上任意点,点(0,1)B ,线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）//BQ x 轴,交轨迹E 于Q 点（Q 点在y 轴的右侧）,直线:l x my n =+与E 交于,C D （l 不过Q 点）两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ∵直线l 恒过定点；∵m 为定值；∵n 为定值．【分析】（1）根据题意得P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而根据椭圆的定义求解即可； （2）根据题意0CQ DQ k k +=,再设1122()()C x y D x y ，，，,进而直线l 与椭圆联立方程,结合韦达定理得整理得(21)(223)0m m n -+-=,再根据C ,D ,Q 三点不共线得12m =. 【解析】（1）如图,由A 方程,得(0,1)A -,半径4r =,∵P 在BM 的垂直平分线上,∵PM PB =, 所以||||||||||4||2PA PB PA PM AM AB +=+==>=, ∵P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由24a =,则2a =,1c =,23b =,∵点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=．（2）解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设1122()()C x y D x y ，，，,如图22143x my n y x=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x ,得22()143y my n ++=, 整理,得222(34)84120m y mny n +++-=,122834mn y y m +=-+，212241234n y y m -=+,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,//BQ x 轴, 所以0CQ DQ k k +=,312Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,132x ≠,232x ≠, 12121103322y y x x --+=--,即122133(1)(1)022y x y x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵11x my n =+,22x my n =+,∵整理：121232()2302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭,22241238223034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭, 即24(48)230m n m n +--+=, 即(21)(223)0m m n -+-=,若2230m n +-=,点312Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足:l x my n =+,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意, ∵210m -=,即12m =, ∵直线l 中m 为定值12．2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：2:C x y =,()0,1M ,()0,1N -,过点M 垂直于y 轴的垂线与抛物线C 交于B ,C ,点D ,E 满足CE CN λ=,()01ND NB λλ=<<.（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ,记BCQ △与DEN 的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的值. 【解析】（1）易知()()1,1,1,1B C -,设(),D x y ,由ND NB λ=,可得()(),11,2x y λ+=, 故有(),21D λλ-,同理()1,12E λλ--,于是直线DE 的方程是()()()2142y x λλλ--=--,即()()24221y x λλ=---∵与抛物线方程联立,即()()224221y x x y λλ⎧=---⎪⎨=⎪⎩得到()()2210x λ--=,此方程有两个相等的根：)1(2x λ=-代入∵,得()221y λ=-, 故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()2,2121Q λλ--（2）()()()()2211112*********BCQ Q S S BC h y λλλ==⋅=⨯⨯-=⨯⨯--=-△ 设直线DE 与y 轴交于G ,则()()20,21G λ--, 于是()()()()()222112122211DEN D E S S NG x x λλλλλ==⋅-=⋅---=⋅--+△ 故有122S S =.3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ,作MD x ⊥轴于点D ,作NQ MD ⊥于点Q .（1）令MOD α∠=,若4a =,1b =,3πα=,求点Q 的坐标； （2）若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；（3）设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点1B ,2B ,若点E ､F 分别满足3AE OE =-,243AF OB =,设直线1B E 和2B F 的交点为K ,设直线l ：2ax c=及点(),0H c ,（其中c ,证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】（1）设(),Q x y ,则由题知4cos 23sin 3x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,因此Q ⎛ ⎝⎭（2）（2）设MOD α∠=及(),Q x y ,则由题知cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：()222210x y a b a b +=>>. （3）设(),K x y ,由题知,()10,B b ,,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20,B b -,3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1B E l ：14x ya b +=,即4bx ay ab +=,2B F l ：34y b xa b b +=-+,即44bx ay ab -=,联列上述直线方程,解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.KH =817a c =-令点K 到直线l 的距离为PM ,则2881717c c a PM a a c a a c ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.因此有KH cPMa=.4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ,直线1x my =+交C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作l 上的垂线,垂足分别为A ',B '.（1）若梯形ABB A ''的面积为求实数m 的值；（2）是否存在常数λ,使得2A B AF BF λ''=⋅成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由? 【解析】（1）由题得准线:1l x =-,直线1x my =+过焦点(1,0)F . 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,A y '-,()21,B y '-,联立21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,所以()21212242x x m y y m +=++=+,221212116y y x x ==,12y y -===而梯形ABB A ''的面积()()1212111122S AA BB A B x x y y '''=+'=+++- (2244m =+=解得m .（2）()()12||||11AF BF AF BF x x ⋅=-⋅=-++()()()2212121142141x x x x m m =-+++=-+++=-+,又()222212161A B A B y y m ''''==-=+,所以24A B AF BFλ''==-⋅为常数.5．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .∵是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.∵求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【解析】（1）当l x ⊥轴时,易得2AB p =, 所以22p =,解得1p =,所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）∵解：易知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为()102x my m =+≠, 代入抛物线C 的方程22y x =,并整理得2210y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,由根与系数的关系得12=2y y m +,121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==,所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,连接QM ,若四边形AQBM 为平行四边形,则N 是QM 的中点, 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设直线PQ 的方程为12x ty =+,代入抛物线C 的方程22y x =,整理得2210y ty --=,所以112P Q Q y y y m=-⋅=-, 故2Q y m =,因此()22,2Q m m ,故可得22212212M m x m +=⨯-=,220M y m m =-=,故点M 的坐标为()1,0M ,因此存在定点()1,0M ,使得四边形AQBM 为平行四边形；∵证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d =由()11,A x y ,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,可得1AF =,因此11124QAF S AF d y =⋅=△, 同理可得214QBFS y =, 所以12111616QAF QBFSSy y ⋅==,为定值.6．已知过点()0,1A -且斜率大于零的直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>及圆22670x y x +-+=都相切.（1）求p 的值；（2）过点()0,2B 的动直线2l 与抛物线C 交于点P ,Q ,以BP 为直径的圆与直线0y y =交于点M ,N ,若MN 为定值,求0y 的值.【解析】（1）解法一：由22x py =,得22x y p=,x y p '=. 设直线1l 与抛物线C 切于点2,2t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,易知0t >,则1l 的斜率212t t p k p t+==,得t =k ∵直线1l的方程为1y =-. 圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=,∵圆心为()3,0,其到直线1l的距离d ==得2p =.解法二：由题设直线1l 的方程为()10y kx k =->, 由直线1l 与圆22670x y x +-+=即圆()2232x y -+=相切,=得1k =,故直线1l 的方程为1y x =-,将其代入()220x py p =>,得2220x px p -+=.∵直线1l 与抛物线()2:20C x py p =>相切,∵2480p p ∆=-=,∵2p =.（2）设()11,P x y ,则2114x y =,以BP 为直径的圆的圆心11,122x y E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,()2222221111112444BP x y y x y y =+-=+-+=+.连接EM ,过E 作直线0y y =的垂线,垂足为G ,则10,2x G y ⎛⎫⎪⎝⎭,MN ====当01y =时,2MN =,为定值,故01y =.7．已知1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,126F F =,P 是C 上一点,112PF F F ⊥,且12PF PF +=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点2F 的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,过点A 作直线2x =的垂线,垂足为D ,过点O 作OM BD ⊥(O 为坐标原点),垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由题意得212PF PF a -=, ∵112PF F F ⊥,1226F F c ==, ∵222136PF PF -=,又12PF PF +=236a ⋅=,解得a = ∵26a =,2293b a =-=,∵双曲线C 的标准方程为22163x y -=.（2）由(1)得()23,0F ,设()11,A x y ,()22,B x y ,则()12,D y , 易知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为3x ty =+,t ≠,联立直线l 与双曲线C 的方程,消去x 得()222630t y ty -++=,∵()22410t ∆=+>,∵12262t y y t +=--,12232y y t =-. ∵直线BD 的斜率21212221y y y y k x ty --==-+, ∵直线BD 的方程为()211221y y y y x ty --=-+, 设BD 交x 轴于E 点,如图,∵OM ∵BD ,∵若在x 轴上存在定点N ,使得MN 为定值,则E 为定点,N 为OE 中点,12MN OE =,即直线BD 过x 轴上的定点E .在直线BD 的方程()211221y y y y x ty --=-+中,令0y =,得()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭, ∵直线BD 过定点5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.∵5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,则1524MN OE ==.综上,在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭,使得MN 为定值54.8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ,2B ,且122B B =,过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1k =时,求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值． 【解析】（1）因为122B B =,所以22b =,即1b =,,所以c a 设c m =,则a =,0m >,又222c a b =-,即2222m m b =-,解得1m =或1-（舍去）,所以a =1b =,1c =,所以椭圆的标准方程为2212x y += （2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=,284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在．（3）由题意知,直线l 的方程为2y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210∆=-+>k k ,则232k >, 设(),T m n ,因为1B ,T ,M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+, 因为2B ,T ,N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+, 由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上,故交点T 的纵坐标为定值12. 9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点T 的直线l 与动点P 的轨迹C 交于,A B 两点,问11AT BT+是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.【解析】（1）方法一：设动点(),P x y ,()112y ++*.若1y ≥-,则()*32y =+,两边平方并化简可得：26x y =；若1y <-,则()*12y =--,两边平方并化简可得：242x y =-,显然不成立.∴动点P 的轨迹C 的方程为26x y =.方法二：由动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =-的距离大12,知动点P 到点30,2T ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =-的距离相等,满足抛物线定义；由抛物线的定义知：动点P 的轨迹C 的方程为：26x y =.（2）易知直线l 斜率存在,设直线l 的方程为：32y kx =+,由2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2690x kx --=,则236360k ∆=+>, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则126x x k +=,129x x =-,21263y y k ∴+=+,1294y y =. 抛物线26x y =焦点为T ,由抛物线定义知：132AT y =+,232BT y =+, ()121212121212331111333933222422y y y y AT BT y y y y y y y y ++++∴+=+==⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22226666293999363424k k k k ++===++⨯++, ∴11AT BT +为定值23. 10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点0(,2)M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上,C 的焦点为F ,2MF =．（1）求抛物线C 的方程及0x ；（2）经过点(2,2)-的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A ,B 异于点M ,若直线MA 与MB 的斜率存在且不为零,证明：直线MA 与MB 的斜率之积为定值．【解析】（1）由题知：000422122px p px x =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩. 所以抛物线C 的方程：24y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时,直线l 为2x =,联立224x y x =⎧⎨=⎩,得(2,A,(2,B -.2MA k ==,2MB k ==-,则()()224MA MB k k ⋅=-=-.当直线l 的斜率存在时,设直线l 为2(2)+=-y k x ,设11(,)A x y ,22(,)B x y , 则：1121MA y k x -=-,2221MB y k x -=-. 联立22(2)4y k x y x+=-⎧⎨=⎩得：22204ky y k ---=因为2112()022k ∆=++>,所以124y y k+=,1288y y k =--．所以121222121212121222(2)(2)161611(2)(2)2()4(1)(1)44y y y y y y x x y y y y y y ----⋅===--+++++--,所以121222164881184y yx xk k--⋅==-----++,所以直线MA与MB的斜率之积为定值4-．。