圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题(最新整理)

圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究有关圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究一直受到数学家们的广泛关注。

圆锥曲线是一个经典的曲线，在几何学、拓扑学、微分几何学、物理学及其他诸多学科中都有着重要的地位。

特别是它与斜率有关的一类定值问题，更是引起了数学家们的极大关注。

圆锥曲线由一个原本的圆锥，被沿着一个旋转轴不断旋转而形成。

因此，当旋转轴的斜率发生变化时，圆锥曲线的形态也会发生变化。

有关斜率的定值问题就是“求解发生变化的圆锥曲线的曲率参数”。

曲率参数不仅关系到曲线的形状，还可以用来描述曲线的两点有多远的距离、曲线的弧度有多大，以及它是否能与其他曲线顺利拼接。

因此，求解曲率参数对理解圆锥曲线的形状变化具有重要意义。

解决这个问题，有不同的数学方法可供参考，比如，可以利用微积分的知识，通过对二次微分后的方程进行积分，求出曲率参数；也可以利用相关的几何学知识，通过比较近似的直线段到曲线的正切值，求出曲率参数。

此外，还可以采用数值计算的方法，利用拉格朗日插值法来求得曲率参数；或者采用图像处理的方法，通过解决图像中有关曲率参数的问题来寻找曲率参数。

从数学角度来讲，圆锥曲线中的曲率参数问题一直是数学家们的关注焦点，这个问题也在数学史上被反复探讨，涉及到多项重要的数学知识。

比如，曲率参数会引入九点平行四边形的概念；它也与椭圆及抛物线有关；借助它，我们可以推导出曲线的多种几何特性。

尽管这些知识都不容易，但圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题已被成功地解决。

这一成果不仅仅使我们有机会了解圆锥曲线的特性，同时，它也为其他类似问题提供了参考。

它可以为其他类似问题提供思路，并为之后的研究提供一种有效的框架。

综上所述，圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究不仅能够帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，它还会激发我们对其他更多类似问题的探索。

因此，有必要继续深入研究这一问题，以期能够给数学家以更多的洞见。

ʏ广东省佛山市顺德区容山中学 潘敬贞圆锥曲线中的定值问题内容丰富多彩,通常有线段为定值,线段之比为定值,线段之积为定值,两条直线斜率的运算为定值,夹角为定值,面积为定值,某个量的系数运算为定值,向量数量积为定值等问题,这些问题往往具有强大的几何背景,其求解思路一般是:(1)先由特殊寻找出定值,然后证明;(2)直接推理,消掉参数得到所求几何量为定值㊂圆锥曲线中的定值问题的求解对分析问题和解决问题的能力要求比较高,需要同学们具备一定的运算求解能力㊁推理论证能力,以及丰富的解题经验㊂针对各类定值问题,文章结合实例厘清各类问题的求解思路,目的是帮助同学们提高备考的针对性和有效性㊂一、线段之比为定值线段之比为定值问题就是当某个动点在运动时,两条线段都与某一个或几个参数有联系,通过代数变形,化简后即可得到线段之比为定值㊂例1 已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点和右焦点,M 为C 上的动点,其中动点M 到左焦点F 1的最短距离为1,且当әM F 1F 2的面积最大时,әM F 1F 2恰好为等边三角形㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)斜率为k 的动直线l 过点F 2,且与椭圆C 交于A ,B 两点,线段A B 的垂直平分线交x 轴于点P ㊂试问:P F 2|A B |是否为定值若是,请求出该定值;若不是,请说明理由㊂解析:(1)设F 1F 2=2c ,由题意可知a -c =1,a =2c ,解得a =2,c =1,所以b =a 2-c 2=3,故椭圆C 的方程为x 24+y23=1㊂(2)P F 2|A B |为定值㊂由题意可知,动直线l 的方程为y =k (x-1),联立x 24+y23=1,y =k (x -1),消去y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-3=0㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-33+4k2㊂设A B 的中点为Q x 0,y 0,则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k x 0-1 =-3k3+4k2㊂当k ʂ0时,线段A B 的垂直平分线的方程为y --3k 3+4k 2=-1k x -4k23+4k2,令y =0,解得x =k23+4k2,所以P F 2=k 23+4k 2-1=31+k 23+4k2㊂A B=x 1-x 2 2+y 1-y 22=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=12k 2+13+4k2㊂所以P F 2|A B |=31+k 23+4k 2121+k 23+4k2=14㊂当k =0时,l 的方程为y =0,此时A B =2a =4,P F 2=c =1,故P F 2|A B |=14㊂ 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月综上所得,|P F 2||A B |为定值14㊂评注:由于直线A B 经过定点,因此在写其方程时只有一个参数(斜率k ),由弦长公式即可用参数k 表示线段A B ,又线段A B 的垂直平分线的斜率为-1k,故也可用参数k 表示线段P F 2,此时只需对线段之比化简即可得到结论㊂本题求解的关键是在写直线方程和用参数k 表示线段的过程中,需要讨论斜率k 是否为零㊂二㊁线段之积为定值线段之积为定值问题的求解原理与线段之比为定值问题的求解原理基本一样㊂例2已知椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的左顶点和下顶点分别为A ,B ,|A B |=25,过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的弦长为2㊂(1)求椭圆C 的方程;(2)已知M 为椭圆C 上一动点(M 不与A ,B 重合),直线A M 与y 轴交于点P ,直线B M 与x 轴交于点Q ,证明:|A Q |㊃|B P |为定值㊂解析:(1)由题意可知a 2+b 2=20,2b2a=2,解得a =4,b =2,所以椭圆C 的方程为x 216+y24=1㊂(2)由题意及(1)知A (-4,0),B (0,-2),设M x 0,y 0 ,P 0,y P ,Q x Q ,0 ,因为M 在椭圆C 上,所以x 20+4y 20=16,由A ,P ,M 三点共线得y P 4=y 0x 0+4,即y P =4y 0x 0+4,同理可得x Q =2x 0y 0+2㊂所以|A Q |㊃|B P |=|x Q +4|㊃|y P +2|=2x 0+4y 0+8x 0+4㊃2x 0+4y 0+8y 0+2=4x 20+4y 20+16+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =432+4x 0y 0+8x 0+16y 0x 0+4 y 0+2 =16㊂所以|A Q |㊃|B P |为定值16㊂评注:本题求解时,先设点M x 0,y 0,然后用三点共线原理顺利实现用点M 的坐标表示线段|A Q |与线段|B P |,此题化简过程显得尤为关键,最后一步还需要由点M 在椭圆上得x 20+4y 20=16,并将其代入代数式进行化简㊂三㊁直线斜率运算为定值直线斜率运算包括加减运算和乘除运算,直线斜率运算为定值问题反映两条直线在运动过程中其斜率运算满足某个特殊的关系式㊂例3已知椭圆E :x 2a 2+y2b2=1a >b >0的离心率为32,短轴长为2㊂(1)求椭圆E 的方程;(2)过点M -4,0且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ,C ,点N 在线段B C 上,且M BM C=N BN C,P 为线段B C 的中点,记直线O P ,O N 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值㊂解析:(1)由题意及椭圆的性质可知ca=32,2b =2,则1-b 2a2=34,所以a 2=4,故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在,故设直线l 的方程为y =k (x +4),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),N (x 3,y 3),P (x 0,y 0),联立x 24+y 2=1,y =k (x +4),消去y 整理得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2-4=0,由Δ=16(1-12k 2)>0,得0<k 2<112,所以x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-44k 2+1,所以x 0=-16k24k 2+1,y 0=k (x 0+4)=4k 4k 2+1,所以P -16k 24k 2+1,4k4k 2+1㊂因为M BM C=N BN C ,所以x 1+4x 2+4=x 3-x 1x 2-x 3,知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月解得x 3=2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8=2ˑ64k 2-44k 2+1+4ˑ-3k 24k 2+1-32k24k 2+1+8=-1,y 3=3k ,所以N (-1,3k ),故k 1k 2=y 0x 0㊃y 3x 3=-14kˑ(-3k )=34,即k 1k 2为定值㊂评注:本题第(2)问求解的关键是将直线的斜率坐标化㊁代数化,在化简过程中充分利用条件M B M C =N BN C,并将这一条件转化为坐标问题,然后化简得到所需的等式㊂本题的综合性强,计算量大,属于较难试题㊂四㊁夹角为定值夹角为定值问题就是当直线在运动的过程中,某个角度大小不变,其求解思路是:将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,同时还要注意利用向量工具助力求解㊂例4 已知点P (-2,y 0)为抛物线C :x 2=2p y (p >0)上一点,F 为抛物线C 的焦点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且әF P Q 的面积为2㊂(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 经过点(2,5)交抛物线C 于M ,N 两点(异于点P ),求证:øM P N 的大小为定值㊂解析:(1)因为әF P Q 的面积为2,所以12|F Q |㊃2=2,即|F Q |=2㊂因为x 2=2p y ,所以y =x 22p ,求导得y '=xp ,所以点P 处的切线的斜率为-2p,切线的方程为y -y 0=-2p (x +2),令x =0,可得y =y 0-4p =2p -4p =-2p ,所以p 2+2p =2,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)设M x 1,x 214,N x 2,x 224,设直线l 的方程为y =k (x -2)+5,联立y =k (x -2)+5,x 2=4y ,消去y 整理得x 2-4k x +8k -20=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -20㊂因为P (-2,1),所以P M ң=x 1+2,x 214-1,P N ң=x 2+2,x 224-1,所以P M ң㊃P N ң=(x 1+2)(x 2+2)+x 214-1x 224-1=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+x 21x 2216-(x 1+x 2)2-2x 1x 24+1=8k -20+8k+(8k -20)216-16k 2-16k +404+5=0,所以P M ңʅP N ң,所以øP MN 的大小为定值90ʎ㊂评注:本题的求解是将夹角为定值问题转化为直线的位置关系问题,再借助向量工具即可得证㊂本题难度不大,求解思路清晰,过程简洁㊂五㊁向量的数量积为定值例5 在平面直角坐标系x O y中,过椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F的直线x +y -2=0交椭圆C 于A ,B 两点,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13㊂(1)求椭圆C 的方程㊂(2)设过点F 的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆C 交于D ,E 两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使得MD ң㊃M E ң为定值若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)由题意可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减可得,(x 1-x 2)(x 1+x 2)a2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0㊂又因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,P 为A B 的中点,且O P 的斜率为13,所以y 0=13x 0,即y 1+y 2=13x 1+x 2,所以可解得a 2=3b 2,即a 2=3a 2-c 2,即a 2= 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月32c 2,又因为c =2,所以a 2=6,所以椭圆C 的方程为x 26+y22=1㊂(2)设直线l 的方程为y =k x -2,代入椭圆C 的方程x 26+y 22=1,化简整理得3k 2+1x 2-12k 2x +12k 2-6=0,设D x 3,y 3 ,E (x 4,y 4),则x 3+x 4=12k21+3k2,x 3x 4=12k 2-61+3k2㊂假设x 轴上存在定点M t ,0,使得MD ң㊃M E ң为定值,则有MD ң㊃M E ң=(x 3-t ,y 3)(x 4-t ,y 4)=(x 3-t )(x 4-t )+y 3y 4=(x 3-t )(x 4-t )+k 2(x 3-2)(x 4-2)=(k 2+1)x 3x 4-(2k 2+t )(x 3+x 4)+4k 2+t2=(k 2+1)12k 2-61+3k 2-(2k 2+t )12k 21+3k2+4k 2+t 2=(3t 2-12t +10)k 2+t 2-61+3k2,要使上式为定值,即与k 无关,则应有3t 2-12t +10=3(t 2-6),解得t =73,故当点M 的坐标为73,0时,MD ң㊃M E ң为定值㊂评注:本题以存在性设问,有一定的开放性㊂由于是证明向量的数量积为定值,所以可用向量的坐标运算直接将问题代数化,此时只需联立直线和曲线的方程,并借助韦达定理,最后通过等式代换化简即可㊂六、面积为定值例6 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1㊂(1)求椭圆C 的方程;图1(2)如图1,设M 为椭圆上位于第一象限内的一个动点,A ,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线M B 与x 轴交于点C ,直线M A 与y 轴交于点D ,求证:四边形A B C D 的面积为定值㊂解析:(1)由已知可得ca=32,2b2a=1,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)因为椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,所以A (-2,0),B (0,-1)㊂由题意可设M (m ,n )(m >0,n >0),则m 24+n 2=1,即m 2+4n 2=4㊂所以直线B M 的方程为y =n +1mx -1,令y =0,得x C =mn +1㊂同理可得,直线A M 的方程为y =n m +2(x +2),令x =0,得y D =2nm +2㊂所以S 四边形A B C D =12㊃A C ㊃B D =12㊃mn +1+2㊃2n m +2+1=12㊃(m +2n +2)2(m +2)(n +1)=12㊃4m n +4m +8n +8m n +m +2n +2=2㊂所以四边形A B C D 的面积为定值2㊂评注:本题求解的关键是将线段坐标化,从而实现将面积代数化㊂首先设M (m ,n )(m >0,n >0),得m 2+4n 2=4,直线B M 的方程为y =n +1m x -1,从而x C =mn +1,同理得y D =2n m +2,所以S 四边形A B C D =12ˑ|A C |ˑ|B D |=12ˑm n +1+2ˑ2nm +2+1,最后通过化简即可证明四边形A B C D 的面积为定值2㊂本文结合实例对圆锥曲线中的定值问题进行了梳理,希望同学们在平时的学习中,能根据以上六大类问题逐一分析,动手求解,经常思考和反思,不断积累解题经验,从而提升自身的数学综合能力㊂(责任编辑 王福华)知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月。

专题3 圆锥曲线中的定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。

题型1、与面积有关的定值问题 经典例题：1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，其离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）将椭圆C 上每一点的横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，得到曲线1C ，若直线:l y kx t =+与曲线1C 交于P 、Q 两个不同的点，O 为坐标原点，M 是曲线1C 上的一点，且四边形OPMQ 是平行四边形，求四边形OPMQ 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2 【分析】（1）根据已知条件求出a 、b 、c 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）求出曲线1C 的方程，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，将直线l 的方程与曲线1C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 的坐标，代入曲线1C 的方程，可得出22414t k =+，求得PQ 以及点O 到直线PQ 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知，2a =，所以a =221x y -=，可知，椭圆C 的离心率为c a =即a =，故1c =，进而1b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）将椭圆C倍，纵坐标不变，得到曲线1C 的方程为2214x y +=，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，由()2222214844044y kx tk x ktx t x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由韦达定理可得122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+， 且()()()2228414440∆=-+->kt kt，即2214<+t k ，由四边形OPMQ 是平行四边形，所以OM OP OQ =+， 则0122814kt x x x k -=+=+，()0121222214t y y y k x x t k =+=++=+， 因为点M 在椭圆上，所以222282141414-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭kt t k k ，整理可得22414t k =+， 所以21222441114-==-+t x x k t ， 则PQ ===，O 到直线l 的距离d =OPMQ 的面积为PQ d ⋅=.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点，满足//AM BN ，求证：OMN 面积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线AM 的方程为()2y k x =+，设直线BN 的方程为1y kx =+，将这两条直线分别与椭圆C 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，求出OM 以及点N 到直线OM 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知条件可得2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由题意直线AM 、BN 的斜率存在，设直线AM 的方程为()2y k x =+①，设直线BN 的方程为1y kx =+②，由（1）椭圆22:14x C y +=③，联立①③得()222241161640k x k x k +++-=，解得2122841k x k -=+，即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立②③，得()224180k x kx ++=，所以，22841kx k =-+，即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-，易知OM =直线OM 的方程为110y x x y -=，点N 到直线OM的距离为d =所以211222222211841222414121411844OMNx y x y k k S OM d k k k k k k --=⋅==⋅-⋅=++++--△， 故OMN 面积为定值1．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3.（2021年北京高考模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .因为AN ⊥BM ，所以12ABNM S AN BM =⋅⋅ 1°当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M.直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以0000211212212ABNM x y S AN BM y x =⋅⋅=⋅+⋅+-- 2200000000000000000044484448811222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+==--+--+2=. 2°当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以四边形ABNM 的面积为定值。

过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。

数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。

当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。

解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。

优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。

一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。

圆锥曲线的定点定值问题（最新版）目录一、圆锥曲线的定点定值问题概述1.定点问题的定义与求解方法2.定值问题的定义与求解方法3.圆锥曲线中定点定值问题的重要性二、定点问题的求解方法1.引进参数法2.直接解法三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想2.转化与化归思想3.数形结合思想四、圆锥曲线中定点定值问题的典型例题分析1.椭圆中的定点定值问题2.双曲线中的定点定值问题3.抛物线中的定点定值问题五、总结与展望1.圆锥曲线中定点定值问题的解题技巧与方法2.对学生逻辑思维能力与计算能力的培养正文一、圆锥曲线的定点定值问题概述圆锥曲线是解析几何中的重要内容，也是高考数学中的热点问题。

圆锥曲线中的定点定值问题，主要包括定点问题和定值问题。

定点问题是指在运动变化过程中，直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点，而定值问题则是指几何量在运动变化中保持不变。

这类问题对学生的逻辑思维能力和计算能力有较高的要求，是高考数学中的难点之一。

二、定点问题的求解方法1.引进参数法在解决定点问题时，我们可以引入适当的参数，将问题转化为关于参数的方程或不等式，然后求解参数的取值范围，进而得到定点的坐标。

2.直接解法对于一些简单的定点问题，我们可以直接通过解析几何中的公式和定理求解。

例如，当直线与圆相交时，直线上的定点可以通过求解直线与圆的交点得到。

三、定值问题的求解方法1.函数与方程思想在解决定值问题时，我们通常可以将问题转化为函数与方程的问题。

通过寻找合适的函数关系，我们可以得到定值的表达式，进而求解问题。

2.转化与化归思想在解决定值问题时，我们可以通过转化与化归的思想，将问题转化为更容易解决的形式。

例如，在解决椭圆中的定值问题时，我们可以将椭圆转化为圆，从而简化问题。

3.数形结合思想在解决定值问题时，我们可以利用数形结合的思想，通过几何图形的性质和公式，得到定值的表达式。

例如，在解决抛物线中的定值问题时，我们可以通过抛物线的几何性质，得到定值的表达式。

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨作者：莫成立来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若k AM+k AN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若k AM·k AN=c（常数），直线l恒过定点.证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.由y2=2pxt=ty+my2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0y1y2+y0（y1+y2）+y20=2p（2pt+2y0）-2pm+2pty0+y20=c，即：4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，要斜率为定值，即要t=-2pmc+y20c-4py04p2-2py0c为定值，所以c=0，t=-y0p.（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率k=-py0.（2）k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=4p 2=c.即-2pmc+2pty0c+cy20-4p2=0可解得：m=2pty0c+cy20-4p22mc，直线l方程为：x=ty+2pty0c+cy20-4p22pc，即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点（cy20-4p22pc，-y0）.定理2：已知A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点；（2）若k AM+k AN=c常数，直线l斜率为定值.证明：（1）若直线l斜率不存在，设M（t，b1-t2a2），N（t，-b1-t2a2）[HT5，5”]k AM·k AN =（b1-t2a 2-y0）（-b1-t2a2-y0）（t-x0） 2=[HT]y20-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2（1-x20a2）-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2a2·t+x0t-x0=c，则b2a 2·t+x0t-x0=c x0=0，c=b2a 2才满足.若直线MN斜率存在，设为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）b2x2+a2y2-a2b2=0y=kx+m（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0x1+x2=-2a2mka2k2+b 2，x1x2=a2m2-a2b 2a2k2+b 2.k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）x1x2-x0（x1+x2）+x20=-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b 2 a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b2y20-2my0b 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20= m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b 2a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=b2a 2·m2+y20-2my0-x20k 2m2+2mkx0+k2x20-y20=b2a2·（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）（m-y0+kx0）（m+y0+kx0）=b2a 2·m-y0-kx0m+y0+kx0.所以m=（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c直线MN方程为：y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c ）+a2cy0+b2y0b2-a2c.恒过定点（-a2c+b 2b2-a2cx0，a2c+b2b2-a2cy0）.当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：①若x0=0，y0=b直线恒过定点（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；②x0=a，y0=0，直线恒过定点（a（a2c+b2）a2c-b2），0）；③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；④若x0=-a，y0=0直线恒过定点（a（a2c+b2）b2-a2c，0）.（2）若直线MN斜率不存在，k AM+k AN=b1-t2a2-y0t-x0+-b1-t2a2-y0t-x0=-2y0t-x0=c，则y0=0，c=0才满足.若直线MN斜率存在，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=kx1+m-y0x1-x0+kx2+m-y0x2-x0=[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0 x1x2-x0（x1+x2）+x20=-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+2x0y0a2k 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20= c.若直线MN斜率k为定值，则可化为a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k 2+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0c=02a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0①②③c=0k=b2x0a2y01，2代入3也成立当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.定理3：已知A（x0，y0）是双曲线x2a 2-y2b 2=1 （a>0，b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点（a2c-b 2b2+acx0，b2-a2cb2+acy0）；（2）若k AM+k AN=c（=0）常数，直线l斜率为定值 -b2x0a2y0.证明方法同上.。

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。

问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是34-，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠±问题2：椭圆22143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,A B -的连线的斜率之积是1234k k =-探究：（1）已知椭圆22221x y a b+=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 22b a -.（2）已知椭圆22221x y a b+=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 22b a -.（3）已知椭圆22221x y a b+=上两定点00(,),A x y ，椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的00(,)B x y --斜率之积是22 ba -.结论1.设A、B是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则2122bk ka=-．探究：设A、B是双曲线22221(0)x ya ba b-=>>上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．结论2.设A、B是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则2122bk ka=．应用拓展：1.设椭圆的左、右顶点分别为,A B，点P在椭圆上且异于,A B两点，若直线AP与BP的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.解析：利用k AP·k BP＝22ba -，22221(0)x ya b a b+=>>可以得到2c e a ====.2.椭圆C:22143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是A. 13[,]24B. 33[,]84C. 1[,1]2D. 3[,1]4解析：因为122234PA PA b k k a ⋅=-=-，所以1234PA PA k k -= ,∵2[2,1]PA k ∈--,∴133[,]84PA k ∈,故选B.3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为 ．22221(0)x y a b a b+=>>解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125F BF OBF ∠=∠-=，所以24cos 5b OBF a ∠==，所以35c a =，又因为BD bk c=-，且BD CDk k ⋅=22b a-，所以22CD b b k c a-⋅=-，即43125525CD b c k a a =⋅=⋅=．3.已知椭圆22:12x C y +=，点125,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,则这10条直线1AP ,210,,AP AP 的斜率的乘积为132-.。

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-2.双曲线方程中有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=， 即2020ABb x K a y =。

(2)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,A A 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a= (3)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,B B 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有1222PB PB b K K a= (4) 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a= 典型例题：例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率 之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例2.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A. 12⎛ ⎝⎭B. ⎝⎭C. 14⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭例3.设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A.51B.22C.54D.23例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，12F F =，经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，△2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M ，N 两点.若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值巩固提升：1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4， A ， B 是其长轴顶点， M 是椭圆上异于A ， B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若动点R 在直线6x =上，直线AR ， BR 分别交椭圆C 于P ， Q 两点.请问：直线PQ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图,设点,A B 的坐标分别为()),,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．3．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1y k x=与直线2y k x=为圆E的两条切线．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：12*k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的离心率为12，右准线的方程为4,x=1,F2F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过(,0)T t()t a>作斜率为k(0)k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N，设直线AM，BN的斜率分别为1,k2k，求12k k⋅的值．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1M 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ､B 为椭圆上不同的两点．①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB ､OT 的斜率之积为定值；②若A ､B 两点满足()0OA OB OM λλ+=≠，当OAB ∆的面积最大时，求λ的值．6．已知椭圆E ：，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．若，点K 在椭圆E 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围； 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；若l 过点，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．2229(0)x y m m +=>()13m =1F 2F 12KF KF ⋅()2()3,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线高考题透析【1】：相交弦的斜率积为定值
圆锥曲线高考题透析【1】：相交弦的斜率积为定值
【2020年高考全国Ⅰ卷(山东)理数21】：
学习时间的长短并不重要，重要的是效率
高考得分策略：细节决定命运，细节改变命运
（1）内紧外松
（2）一慢一快，相得益彰，即审题慢，解题快
（3）确保运算准确，立足一次成功
（4）做快不等于做对，准确放第一位
（5）书写规范
（6）抓紧时间，不为难题纠缠
（7）控制节奏
（8）执过索因，逆向思考，正难则反
（9）面对难题，讲究策略，争取得分
（10）用好开考前5分钟
教育就是当学的东西全都忘了的时候，仍保留下来的东西
数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学
数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语音，数学是一种精神，一种理性的精神
教育是一个圆形概念，方方面面都要兼顾到
每天都要加油哦
作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。

不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。

二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=； 3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。

三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值。

【例2】如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为22。

（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值。

【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。

（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。

四、课堂练习：1、如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q 点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N 。

圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第40页例3）拓展研究：动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022>>-b a ab ，则动点M 的轨迹方程为_____________.引例2:设ABC ∆的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-，，且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠，试探究顶点C 的轨迹方程。

（人教A 版选修，12-第80页复习参考题第10题）变式探究：对m k k BC AC =∙()0≠m 进行了探究，那么()，0≠=m m k k BCAC ()，0≠=+m m k k BC AC ()0≠=-m m k k BC AC 应用举例：设点B ,A 的坐标为()()0101,,-，，直线BM ,AM 相交于点M ，求满足下列条件点M 的轨迹方程。

⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2=-BM AM k k 反馈练习：1、已知椭圆C :1222=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（）.A 161-.B 321-.C 641.D 10241-2、设双曲线116922=-x y :C 与函数3x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在双曲线C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]23--,，那么直线1PA 斜率的取值范围是.3、在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于N ,M 两点,M 在x 轴的上方,直线AM 与圆O 的另一交点为P ,直线AN 与圆O 的另一交点为Q ,⑴若AM AP 3=,求直线AM 的斜率;⑵设AMN ∆与APQ ∆的面积分别为21S S ，,求21S S 的最大值.变式：在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 422=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于C ,B 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-056，D ．设直线AC ,AB 的斜率分别为21k ,k ．（1）求21k k ∙的值；（2）记直线BC ,PQ 的斜率分别为BC PQ k ,k ，是否存在常数λ，使得BC PQ k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．引例3：已知椭圆191222=+y x ，点()12，P 为椭圆内一点，是否存在以点P 为中点的所在直线方程___________.结论：1、在椭圆()012222>>=+b a by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦AB 所在直线斜率2020b x k a y =-；且22ab k k OP AB -=∙2、在双曲线()0012222>>=-b a by a x ，中,以00(,)P x y 为中点AB 的弦所在直线斜率2020b x k a y =；且22ab k k OP AB =∙3、在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0py k =.1、已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点()22，在C 上，⑴求椭圆C 的方程；⑵直线l 不经过原点O ，且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B ,A ,线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。