小学奥数数论讲义 第十八讲 数论综合之余数相关问题强化篇

华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

数论专题一、带余除法及同余余数的可加性余数的可乘性例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩1个，4个4个地数剩1个，6个6个地数剩1个，这排吊灯至少有多少个？例2一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

例3求乘积34×37除以13所得的余数例4 19983除以7余数是多少。

练习1 求33335555+ 55553333被7除的余数。

例5 55555555573⋅⋅⋅÷个的余数是多少？二、位值原理例1、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除例2、有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。

例3、某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。

数论综合：1、某校的学生总数是一个三位数，平均每个班有35人，统计员提供的学生总数比实际总数少270人，原来，他在记录时粗心的将这个三位数的百位与十位数字对调了。

这个学校的学生最多是多少人？2、一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答题不得分，小明得了23分，已知他未答题目是偶数，他答错了几道？3、A.B.C.E.F.G七盏灯各自装有拉线开关，开始B.D.F亮着，一个小朋友从A到G再从A 到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次，问此时哪几盏灯是亮着的。

4、“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”这就是著名的哥德巴赫猜想，例如8=5+3.但是8只有一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成不同质数之和的形式，那么，能有两种表示成不同质数之和的形式的最小自然数是几？5.有1,2,3,4,5,6,7,8,9,九张牌，甲乙丙各拿了3张，甲说：我的三张牌的积是48:；乙说：我的三张牌的和是15，丙说：我的三张牌的积是63,。

问，他们各拿的是哪三张牌？6、李老师带领同学们去植树，学生们按人数分恰好分成三组，已知他们共种了312棵树，老师和学生每人种的树一样多，且不超过10棵。

所以答案为 11．
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….20102011，则这个数除以 9 余数是 1. 无敌乱切，按 1/2/3/4 到 2011 的等差数列求和，看除以 9 的余数；
2.3.3 同余定理
2.3.2.1 同余定义和充要条件
定义: 用给定的正整数 m 分别除整数 a、b，如果所得的余数相等，则称 a、 b 关于模 m 同余或 a 同余于 b 模 m，记作 a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）， 式子称为同余式，m 称为该同余式的模。
的余数是多少？
奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115
偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53
115-53=62；62÷11，余 7；
【例】求
被 13 除余数是多少？
解：注意 13|111111，即每连续 6 个 1 是 13 的倍数，且 2012 除以 6 余 2，
2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除）
2.2.4.1 基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段， 看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7、11、13 整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为 372，求两者差 看能否被 7 整除，同样，不够减前面加 1 个或多个 7，直到够减，余数位的判断 法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2 特殊用法 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数 7 的倍数，分别从右边和左边抵 消缩减位数，到最后看 7 的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看 7 的哪个倍 数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即 为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减 7 后为 1 到 9 间的自然数，则加 或减 7 后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为 5 463925□01234，答案为 1 和 8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果 1 个数能被 1001 整除，则这个数能被 7、11、13、

中国剩余定理
【例 1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

【巩固】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【例 2】一个大于100的自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？
【巩固】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为。

【例 3】在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，如图。

小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。

他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。

最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
例3图【巩固】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？
〖答案〗
【例 1】1102
【巩固】258，259，260
【例 2】1303
【巩固】323
【例 3】91
【巩固】140。