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第9讲函数模型及其应用一、知识梳理1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a>0)的性质(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a；当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.二、习题改编(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 答案：D一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏常见误区(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模型出错．1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是 ．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >1002．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件．解析：设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．答案：18用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．【答案】 D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T . 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C ，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元．当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．建模解决实际问题的三个步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．则该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．解：设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料能使平均每天支付的总费用最少，设总费用为y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥2300x·3x ＋357＝417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．2．据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为时间t (h)内台风所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由题图可知，直线OA 的方程是v ＝3t ，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70. 当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)当t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．指数、对数函数模型(师生共研)(1)(2020·广西桂林一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍．【解析】 (1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x (x ∈N )年后，剩余量是y .则有y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫14x≤1100，整理得22x≥100，解得x ≥4，所以至少需要的年数是4，故选C.(2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109，5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)C (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．核心素养系列6 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y1234…给出以下3xb ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x(a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)． 当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)>6，则x >65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a <0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a >0)．(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 60 100 180 种植成本Q11684116根据上表数据，Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ； (2)最低种植成本是 元/100 kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.答案：(1)120 (2)80[基础题组练]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.2．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m (m >0)，则y 1＝m x .当x ＝10时，y 1＝m10＝2，所以m ＝20.因为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n (n >0)，则y 2＝nx .当x ＝10时，y 2＝10n ＝8，所以n ＝45.所以两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥220x ·4x 5＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年解析：选B.若2018年是第一年，则第n 年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.5．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg 10.1D. 10－10.1解析：选A.根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是 步、 步．(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．答案：20 608．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x <140，故当x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 169.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．10．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (单位：万元)，x ∈[8，64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y ∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？解：(1)依题意，y ＝log a x 在x ∈[8，64]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6，解得a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x <8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x >64.(2)易知x ≥8，当8≤x ≤64时，要使y ∈[4，10]，则4≤log 2x ≤10，解得16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64；当x >64时，要使y ∈[4，10]，则40≤x ≤100，所以64<x ≤100.综上所述，当年销售额x ∈[16，100]时，奖金y ∈[4，10]．[综合题组练]1．(创新型)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：163．某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝12x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x ，x ∈N *，且1≤x ≤6，160x，x ∈N *且7≤x ≤12. (1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式； (2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12x (x －1)(41－2x )＝－3x 2＋40x ，经验证x ＝1时也满足此式．所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－3x 2＋40x ）（35－2x ），x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400，x ∈N *，且7≤x ≤12. ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400， 令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ≤5时，g ′(x )≥0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，所以g (x )max ＝g (5)＝3 125； ②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，所以g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是：①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立； ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )≤log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )≤h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤错误!恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．。
第九节ꢀ函数模型及其应用内容索引【教材·知识梳理】1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogx+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)a幂函数模型f(x)=ax n+b (a,b为常数,a≠0)2.三种函数模型的性质ꢀꢀ函数性质ꢀꢀy=a x (a>1)y=log a x(a>1)y=x n (n>0)在(0,+∞)上的增减性递增递增单调_____单调_____单调递增相对平稳增长速度越来越快越来越慢随x 的增大,逐渐表随x 的增大,逐渐表y 轴x 轴现为与____平行现为与____平行图象的变化随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x ,当x>x 时,有log x<x n <a x 00a【常用结论】“对勾”函数：形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(-∞，-]和[，+∞)上单调递增，在[-，0)和(0，]上单调递减.(2)当x>0时，x=时取最小值2，当x<0时，x=-时取最大值-2.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(ꢀꢀ)(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(ꢀꢀ)(3)幂函数增长比直线增长更快.(ꢀꢀ),使(ꢀꢀ)(4)不存在x提示:(1)×.当x=-1时,2-1<(-1)2.(2)×.“指数爆炸”是针对b>1,a>0的指数型函数y=a·b x+c.(3)×.幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.(4)×.当a∈(0,1)时存在x,使【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2 3 4 5忽略图象的横纵坐标的意义忽略图象的变化趋势考点一、T1考点一、T2、4考点二、T3忽略函数的表示方法(列表)忽略自变量的取值考点三、角度1考点三、角度2忽略基本不等式成立的条件【教材·基础自测】1.(必修1P67例4改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(ꢀꢀ)A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.2.(必修1P69习题2-3AT7改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.ꢀ【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120巩固与提高T9改编)某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年繁殖到________只.ꢀy=alog3【解析】依题设知alog3=100,a=100.当x=8时,y=100log9=200.33答案:200考点一ꢀ利用图象刻画实际问题ꢀ【题组练透】1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是(ꢀꢀ)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.2.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图【解析】选C.设BC=x m,则DC=(16-x)m,由得a≤x≤12.矩形面积S=x(16-x)≤=64.当x=8时取等号.当0<a≤8时,u=f(a)=64;当a>8时,由于函数在[a,12]上为减函数,=f(a)=a(16-a).所以当x=a时,矩形面积取最大值Smax3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(ꢀꢀ)【解析】选A.若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10℃,所以当t=12时,平均气温应该为10℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.4.(2020·广州模拟)某罐头加工厂库存芒果m(kg),今年又购进n(kg)新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f(kg),最少为f(kg),则下列选项中最能准确描述f,f分别与n的关系的是1212世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解析】选A.要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使用库存芒果,即当≤m,n≤2m时,f=0,当n>2m时,f=-m=>0,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当≤n,n≥时f 1=>n,n<时f1=n,因为<2m,所以A符合题意.,当22【规律方法】ꢀ判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考点二ꢀ已知函数模型求解实际问题ꢀ【典例】1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+ 20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.100台C.150台B.120台D.180台2.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表:月份用气量4 m3煤气费4元一月份二月份三月份25 m335 m314元19元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元(ꢀꢀ)3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下:x1234f(x) 4.00 5.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.则你认为最适合的函数模型的序号是________.ꢀ【解题导思】序号联想解题1 2 3由销售收入不小于总成本,想到销售收入≥总成本由f(x)的解析式考虑用待定系数法求A,B,C的值由三个模拟函数选择,想到逐个验证求解【解析】1.选C.设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+ 5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.2.选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b =3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此时,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据表中数据得解得a=,经检验是最适合的函数模型.答案:①【规律方法】ꢀ求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【变式训练】1.(2020·中山模拟)据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=(A,c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(ꢀꢀ)A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由题意可知4<A,则2.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用P=lg n来记录A菌个数的资料,其中n为A菌的个数,现A A A有以下几种说法:≥1;①PA②若今天的P值比昨天的P值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;A A③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<P<5.5(注:lg 2≈0.3).A则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)【解析】当n=1时,P=0,故①错误;若P=1,则n=10,若P=2,则n=100,故②错误;A A A A A AB菌的个数为n=5×104,所以n==2×105,所以P=lg n=lg 2+5.又因为B A A Alg 2≈0.3,所以5<P<5.5,故③正确.A答案:③考点三建立数学模型解决实际问题考什么:(1)阅读语言文字的能力,实际问题与数学问题之间的转化能力,命常见的初等函数,对勾函数,分段函数的性质等问题.题(2)考查数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养.精怎么考:三种题型都有可能考查,考查学生的数学素养、数学建模思想、解转化与化归思想等.读新趋势:以现实问题为载体,函数与实际问题、数与形、函数性质与最值交汇考查.形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函学数模型的单调区间及最值如下霸(1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]好上单调递减.(2)当x>0时,x=当x<0时,x=-方法时取最小值2,时取最大值-2.命题角度1初等函数模型及其应用【典例】(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年C.2022年B.2021年D.2023年【解析】选C.若2019年是第1年,则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C.【解后反思】每年投入的科研经费比上一年增长12%,说明每年经费是上一年的多少倍?提示:说明每年经费是上一年的1.12倍.命题角度2 对勾函数模型及其应用【典例】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C=8,所以k=40,所以C(x)=(0≤x≤10),所以f(x)=6x+(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.令3x+5=t,t∈[5,35],则y=2t+-10≥2-10=70(当且仅当2t=,即t=20时等号成立),此时x=5,因此f(x)的最小值为70.所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.【解后反思】对勾函数求最值应注意什么?提示:对勾函数求最值一定要注意该函数的单调性,然后再求最值.命题角度3分段函数模型及其应用【典例】(2020·潍坊模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低,当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变.设地面气温为22℃,大约每上升1 km大气温度降低6℃,则y关于x的函数关系式为________.世纪金榜导学号【解析】由题意知,y是关于x的分段函数,x=11为分界点,易得其解析式为y=答案:y=【解后反思】实际问题中分段函数的适用条件是什么?提示:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.【解析】设长方体容器底面矩形的长、宽分别为x m,y m,则y=,所以容器的总造价为z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由基本不等式得, z=20+20×16≥40+320=480,当且仅当x=y=4,即底面是边长为4 m的正方形时,总造价最低.答案:4802.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【解析】①价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.②设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x最大值为15.答案:①130②15【综合创新·练】1.(2019·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y=m+4a,乙食堂的营业额y=m×(1+x)4=,12因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).。
第10讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[做一做]1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100 ln x C．y＝x100D．y＝100·2x答案：A2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为() A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：选B.利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．1．辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 2．理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[做一做]3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 解析：选C.设矩形的另一边长为y m ， 则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x .∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.考点一__一次函数与二次函数模型(高频考点)____高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟(3)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．①写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； ②求日销售额S 的最大值．[解析] (1)依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．(2)根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案] (1)A (2)B (3)解：①根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .②a.当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；b ．当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.[规律方法] 把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20.160－x ，x >20.(x ∈N *) 16考点二__函数y ＝x ＋ax(a >0)模型__________某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．[解] (1)设该厂x (x ∈N *)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2， 则y 2＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x ＋3x ＋303(x ≥25)．令f (x )＝300x ＋3x (x ≥25)，∵f ′(x )＝－300x 2＋3，∴当x ≥25时，f ′(x )>0，即函数f (x )与y 2在x ≥25时是增函数． ∴当x ＝25时，y 2取得最小值，最小值为390. ∵390<417，∴该厂应考虑利用此优惠条件．[规律方法] (1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y ＝x ＋ax”型函数模型．(2)对于y ＝x ＋ax (a >0，x >0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． 考点三__指数函数模型________________________一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ [解] (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解：设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝⎛⎭⎫12n10≥⎝⎛⎭⎫1232，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．[规律方法] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．2．某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数量少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500元．因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3，所以选C.3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.以点B 为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x ，则⎝⎛⎭⎫x 22＋4022＝302，解得x ＝20，故B 城市处于危险区内的时间为2020＝1(小时)．4．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.5．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知答案为D.6．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm 、20 cm7．铁道机车运行1 h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分(元)与运行速度x (km/h)的平方成正比，比例系数为k (k >0)．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500 km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y (元)与机车运行速度x 之间的函数关系为____________．解析：∵1 h 的成本为(m ＋kx 2)元，从甲站到乙站需运行500x h ，∴y ＝500x(m ＋kx 2)＝500⎝⎛⎭⎫m x ＋kx . 答案：y ＝500⎝⎛⎭⎫mx ＋kx 8．某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19099．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于点Q (图略)，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数， 且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元。
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
2021年高考数学一轮复习专题二函数的概念及其基本性质苏教版【解析】∵，∴∴．【答案】．【技巧点拨】（1）求类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．专题热点集训1 函数的概念及其表示（时间：10分钟）1．（xx·江西卷）函数的定义域为．2．（常州市·xx届一模）函数的定义域为．3．（苏州市·xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．4．（泰州市·xx届一模）函数的定义域为．5．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．6．（xx·浙江卷）设函数，若，则＝_________．参考答案与解析1．【答案】∵∴或，故．2．【答案】．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．【解析】由题可得y=f（x－1）=|2x－1－2|，x∈（0，3），结合对应的图象可知当x=2时，取得最小值为0，而f（3）=|23－1－2|=2，故对应函数的值域为[0，2）．【易错警示】注意函数图象的数形结合应用，这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义，同时涉及给定的区间，以及函数在取得最值时的条件等，否则容易出错．6．【答案】设，则．若，则，此时不成立．若，由得，，即，解得或，即或．若，则，此时不成立．或，即，解得．若，由得，，此时无解．由得，，此时无解，综上：，故为：．◇考点2 函数的单调性、奇偶性、周期性【基础知识梳理】1．函数单调性的证明方法：(1)定义法：设，那么上是增函数；上是减函数.步骤：①. 格式：解：设且，则：=…(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若②，则为增函数；若③，则为减函数.2．函数的奇偶性(1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有④，那么就称函数为⑤.偶函数图象关于轴对称.（2）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有⑥，那么就称函数为⑦.奇函数图象关于原点对称.3．函数的周期性周期函数的最小周期必须满足下列两个条件：(1)当取定义域内的每一个值时，都有；（2）是不为零的最小正数．【参考答案】①取值—作差—变形—定号—判断；②；③；④；⑤偶函数；⑥；⑦奇函数．【核心考点讲练】题型一：函数的单调性【典例1】（1）（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．（2）(xx·郑州模拟)函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.【答案】6.【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴1(=11216 1114()313f aaa a bbf bb⎧=⎧⎪=⎧⎪⎪-⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨==⎩⎪⎪=⎩⎪-⎩）.【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型二：函数的奇偶性【典例2】（xx·新课标全国卷Ⅰ）设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【解析】设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C．【答案】C．【技巧点拔】（1）判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数是非奇非偶函数．若对称，再进一步判断是否满足或．“函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件．（2）若函数是奇（偶）函数，则对定义域内的每一个，均有（）,而不能说存在使（）．题型三：函数的周期性【典例3】（xx·安徽文）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式，则【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可由题易知2941373735sin 46464616616f f f f f fπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=--=-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】．【技巧点拔】充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简，注意代入分段函数计算的准确性．专题热点集训2 函数的单调性、奇偶性、周期性（时间：10分钟）1．（xx·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是_____．2．（xx·福建卷）已知函数则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为3．（泰州市xx届一模）已知函数是奇函数，则．4．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．5．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．6．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．7．（xx·安徽卷）设函数满足当时，，则．8．（xx·四川卷）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则．参考答案与解析1．【答案】∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解之：．2．【答案】由解析式可知当时，为周期函数，当时，，为二次函数的一部分，故不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为值域为，故函数的值域为，故正确．故选D．3．【答案】．4．【答案】．5．【答案】．6．【答案】．7．【答案】2317171111155sin sin sin 66666266 f f f fπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．8．【答案】∵是定义在上的周期为2的函数∴，故答案为：1．xx届江苏省高三一、二、三模数学试题1．（常州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．2．（泰州市xx届一模）函数的定义域为．【答案】．3．（苏锡常镇市xx届调研一）函数的定义域为．【答案】【命题立意】本题考查了函数定义域.【解析】依题意得，，解得.4．（泰州市xx届二模）已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为．【答案】．【命题立意】本题考查了函数的定义域，值域，恒成立的问题．【解析】问题可以转化为对于定义域为，恒成立，且值域为，故，解得a=1．5．（苏州市xx届一模）已知函数的定义域是，则实数的值为．【答案】．6.（徐州、连云港、宿迁市xx届三模）设函数，则的值为 .【答案】－2【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数值的求解．【解析】由于f（－1）=4－1=，故f（f（－1））=f（）=log2=－2．7．（扬州市xx届一模）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿＿【答案】（－∞，－1]∪[2，+∞）．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的解析式与函数的值域．【解析】由于f（x）的值域为R，则知22+a≤2+a2，整理有a2－a－2≥0，解得a≤－1或a ≥2．8．（常州市xx届一模）已知函数，则函数的值域为．【答案】9．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____．【答案】．10．（南通市xx届一模）已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为．【答案】．11．（镇江市xx届一模）若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思维．【解析】当x<0时，－x>0，则f（x）=－f（－x）=－（－x）ln（－x）=xln（－x），则f （x）=，当x>0时，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=，则当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取得极小值f（）=－>－e，结合函数f（x）是R上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式f（x）<－e在（0，+∞）上无解，而当x<0时，由于f（－e）=－elne=－e，则不等式f（x）<－e= f（－e），可得x<－e．12．（南京市、盐城市xx届二模）已知知函数，，则不等式的解集是．【答案】(1，2)【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式．【解析】由，当x<0时为增函数，∴，解得1＜x＜2．13．（淮、宿、连、徐四市xx届一模）已知函数，则不等式的解集为______．【答案】．【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式，不等式的解法．【解析】当x≥0时，f（f（x））=f（－x2）=（－x2）2+2（－x2）=x4－2x2≤3，解得0≤x≤；当－2<x<0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，解得－2<x<0；当x≤－2时，f（f（x））=f（x2+2x）=－（x2+2x）2≤3，解得x≤－2；综上所述可得x≤．【举一反三】涉及分段函数的问题，其处理的原理就是进行分类讨论，这也是解决问题的关键．14．（南京市、盐城市xx届一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是．【答案】．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，函数的解析式以及函数最值之间的关系．【解析】由于f （x ）是定义在[－2，2]上的奇函数，则有f （0）=0，而当x ∈（0，2]时，f （x ）=2x－1∈（0，3]，则当x ∈[－2，2]时，f （x ）∈[－3，3]，若对于，，使得，则等价于g （x ）max ≥3且g （x ）min ≤－3，而g （x ）=x 2－2x+m=（x －1）2+m －1，x ∈[－2，2]，则有g （x ）max =g （－2）=8+m 且g （x ）min =g （1）=m －1，则满足8+m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2．15．（泰州市xx 届一模）已知函数是奇函数，则 ．【答案】．16．（泰州市xx 届二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．【答案】【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题 【解析】根据题意可得：()()()()()()2222()(2)2x x a x a f x x x a x a x x a ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，∴,函数在区间上单调递增等价于在区间上成立，当时，要满足在区间上成立，即是要保证在区间上成立，令，等价于，解得，同理，当时，在区间上成立，等价于，解得，综上：实数的取值范围是．17．（南京市xx 届三模）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ．【答案】(0，1)∪{2}【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质，分类讨论．【解析】由于f （x ）＝x 2－2x ＋a =（x －1）2+a －1，而f （0）=a ，f （x ）min =f （1）=a －1，由a +（a －1）=0可得a =12，当0<a <12时，此时a －1<－a ，那么t 的最大值g （a ）<1，即0<g （a ）<1；当a ≥12时，此时a －1≥－a ，那么t 的最大值g （a ）=2；综合可知函数g (a )的值域为（0，1）∪{2}．江苏五年高考真题1．（xx·江苏）设函数f(x)=x(e x+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______．【答案】－1．【解析】由偶函数f(-x)=f(x) x(e x+ae-x)=－x(e-x+ae x) x(e x+e-x)(1+a)=0 a=－1．2．（xx·江苏）已知函数,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是_______．【答案】(－1,2－1)．【解析】设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1 f(1－x2)= f(2x)；当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)；当－1x<0时，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x) (x －1)；当0x1时，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x) (1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<2－1综上，x(－1,2－1)．3．（2011·江苏）2、函数的单调增区间是__________．【答案】．4．（2011·江苏）11、已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】．【解析】考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。
第二章ꢀ函数及其应用ꢀ第一节ꢀ函数及其表示内容索引【教材·知识梳理】1.函数的概念函数非空数集集合AA 是一个_________任意唯一对应法对A 中的_____数x ，按照确定的法则f ，都有_____则f确定的数y 与它对应对应关系名称记法这种_________叫做集合A 上的一个函数y=f(x)，x∈A2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域定义域在函数y=f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x函数值值域的值相对应的y值叫做_______，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.定义域对应法则值域(2)函数的三要素：_______、_________和_____.(3)函数的表示法解析法图象法列表法表示函数的常用方法有_______、_______和_______.3.分段函数对应关系若函数在其定义域的不同子集上，因_________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.并集分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值域等于各段函数的值域的并集_____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【常用结论】1.函数的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等.(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.2.简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数y=tan x的定义域为.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1) 函数y=1与y=x0是同一个函数.(ꢀꢀ)(2)对于函数f:A→B,其值域就是集合B.(ꢀꢀ)(3)f(x)=是一个函数.(ꢀꢀ)(4)若两个函数的定义域与值域相等,则这两个函数相等.(ꢀꢀ)(5)函数y=f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(ꢀꢀ)提示:(1)×.函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域是{x|x≠0},两者定义域不同,所以不是同一个函数.(2)×.由函数定义知,值域为集合B的子集.故错误.(3)×.因为满足f(x)=的x不存在,所以,它不是一个函数.(4)×.当两个函数的定义域和对应关系相同时才是相等函数,定义域与值域相同但对应关系不一定相同.故错误.(5)×.图象如果是一条封闭的曲线,则必有一个自变量x的值对应两个y值,所以它不是函数的图象.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T1,3考点一、T4考点二、T1考点二、T2考点三、角度31忽视分母不等于零2忽略零的零次幂没意义3没考虑新元的取值范围4忽视函数的定义域5分段函数解析式的层次分辨不清【教材·基础自测】1.(必修1P33练习BT3改编)下列哪个函数与y=x相同(ꢀꢀ)A.y= C.y=B.y=D.y=()3【解析】选D.y=x的定义域为{x|x∈R},而y=的定义域为{x|x∈R且x≠0},y=的定义域为{x|x∈R,且x>0},排除A,B;y==|x|的定义域为{x|x∈R},对应关系与y=x的对应关系不同,排除C;而y=()3=x的定义域与对应关系与y=x均相同.2.(必修1P63习题2-2AT8改编)函数y=ax2-6x+7a(a≠0)的值域为[-2,+∞) ,则a的值为ꢀꢀꢀ(ꢀꢀ)A.-1B.-C.1D.2【解析】选C.由函数y=ax2-6x+7a(a≠0)的值域为[-2,+∞) 知a>0,且=-2,即7a2+2a-9=0,所以a=1或a=-(舍去).3.(必修1P38计算机上的练习T1改编)已知f(x)=3x3+2x+1,若f(a)=2,则f(-a)为(ꢀꢀ) A.-2 B.0 C.1 D.-1【解析】选B.因为f(x)=3x3+2x+1,所以f(a)+f(-a)=3a3+2a+1+3(-a)3+2(-a)+1=2,所以f(-a)=2-f(a)=0.4.(必修1P41练习AT3改编)已知f(x)=,若f(-2)=0,则a的值为____.ꢀ【解析】因为f(x)=所以f(-2)=解得a=1., =0,答案:15.(必修1P42练习BT3改编)已知函数f(x)=3x2-5x+2,若f(a+3)>f(a),则a的取值范围为________.ꢀ【解析】依题意得:3(a+3)2-5(a+3)+2>3a2-5a+2,即18a+12>0,所以a>-.答案:a>-考点一ꢀ函数的定义域ꢀ【题组练透】1.函数y=的定义域是(ꢀꢀ)A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)ꢀꢀD.(-1,0)∪(0,3]2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是(ꢀꢀ)A.[-1,2 019] C.[0,2 020]B.[-1,1)∪(1,2 019] D.[-1,1)∪(1,2 020]3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数(ꢀꢀ)的定义域为A.(0,3) C.[1,3)B.[1,3)∪(3,8] D.[0,3)4.函数f(x)=的定义域为____________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选D.由题意得解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数4.由已知得的定义域为[0,3).解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)【思维多变】题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.ꢀ【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].答案:[-2,1)∪(1,2 018]【规律方法】1.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式整式定义域R12 3 4 5 6 7分式分母≠0偶次根式奇次根式指数式对数式y=x0被开方数≥0被开方数∈R幂指数∈R真数>0;底数>0且≠1底数x≠02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】ꢀ1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题.考点二ꢀ求函数解析式ꢀ【典例】1.已知=ln x,则f(x)=________.ꢀ=x2+x-2,则f(x)=________.ꢀ2.已知3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.ꢀ4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=,则f(x)=________.ꢀ【解题导思】序号联想解题1由,想到换元法2由,想到配凑法3由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=(t>1),则x=,代入=ln x得f(t)=ln,所以f(x)=ln(x>1).答案:ln(x>1)2.因为=x2+x-2=-2,又因为x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得答案:【规律方法】函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).【变式训练】1.已知f(+1)=x+2,则f(x)=________.【解析】令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运题算、数学抽象、直观想象等核心素养.精怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图解象等知识.读新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“分段问题,分段解决”进行讨论,最后将结果并起来.学霸好方法【命题角度1】分段函数的求值问题【典例】已知f(x)=则的值为() A. B. C.-1 D.1【解析】选D.【解后反思】如何求分段函数的函数值?提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.【命题角度2】分段函数与方程问题且f(a)=-3,则f(6-a)=世纪金榜导【典例】已知函数f(x)=学号()【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,即-log(a+1)=-3,解得a=7,2所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=.【解后反思】求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?提示:列方程时,若自变量的范围确定时,则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.【命题角度3】分段函数与不等式问题【典例】设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.世纪金榜导学号【解析】令g(x)=f(x)+f当x≤0时,g(x)=f(x)+f当0<x≤时,g(x)=f(x)+f 当x>时,g(x)=f(x)+f ,=2x+;=2x+x+; =2x-1,写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=三段区间内均连续单调递增,函数g(x)在区间(-∞,0],且.可知x的取值范围是答案:。
[知识梳理]
1．函数与映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y ＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．必记结论
函数与映射的相关结论
(1)相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有n m个．
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．()
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．()
(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映
射．()
(4)f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)．()。
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数模型及函数的综合应用课时练理1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( )A ．3人洗澡B ．4人洗澡C ．5人洗澡D ．6人洗澡答案 B解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289升，可以供4人洗澡．3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 B解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1.4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C.5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a 的值为( )A.15B.25C.12 D ．1答案 A解析 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 易知点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q 在直线y ＝2x 上． 因为g ′(x )＝2x，且直线y ＝2x 的斜率为2，所以令2x＝2，解得x ＝1.又当x ＝1时，g (x )＝0，从而与直线y ＝2x 平行的曲线g (x )＝2ln x 的切线方程为y ＝2(x －1)，如图所示．因为直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 间的距离为222＋－12＝255. 故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫2552＝45. 又当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1,0)，所以由题意知x 0＝1，且2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.6. [xx·衡水二中一轮检测]函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案 C解析 由图象得，a ＋b ＋1＝0,0<b <1，∴－2<a <－1，∵g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋1－ln 2<0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.7．[xx·枣强中学猜题]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放( )A.12h B.59hC．5 h D．10 h答案C解析设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝a e－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥a e－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h才可以排放．8．[xx·枣强中学周测]如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中正确的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析 根据题意和题图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由题图(3)知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．故选C.9．[xx·衡水二中周测]有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________．答案 4.24元解析 ∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24元．10．[xx·衡水二中模拟]对于任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎨⎧x 1， x 1≥x 2，x 2， x 1<x 2.若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．答案 －1解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，令x 2＋x －2≥0，解得x ≥1或x ≤－2.当－2<x <1时，x 2＋x －2<0，即f (x )<g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎨⎧－x －2<x <1，x 2－2， x ≥1或x ≤－2，作出图象，如图，由图象可知函数的最小值为－1.11．[xx·冀州中学周测]某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)答案 6.6解析 第一年产值为1×(1＋10%)＝1.1，第二年产值为1×(1＋10%)2＝1.12，…，第五年的产值为1.15，故前5年总产值为1.1×1－1.151－1.1≈6.6.12. [xx·衡水中学期中]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋50<x <6，14x ≥6，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得，L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋20<x <6，11－x x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2.解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2， 所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤28－x ＋188－x ＋18 ≤－228－x ·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．13．[xx·武邑中学一轮检测]随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意2a －x ≥34·2a ，∴0<x ≤a2.又140<2a <420，70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值； (2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值；所以当70<a ≤140，公司应裁员a －70人，经济效益取到最大值；当140<a <210，公司应裁员a2人，经济效益取到最大值．能力组14.[xx·枣强中学仿真]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元答案 B解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧0，x ≤8000.14x －800，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.15．[xx·枣强中学期末]已知函数f (x )的定义域为R .若存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________． 答案 ①③解析 ①若f (x )＝2x，则由f (x ＋c )>f (x －c )得2x ＋c>2x －c，即x ＋c >x －c ，所以c >0恒成立，所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得sin(x ＋c )>sin(x －c )，整理得cos x sin c >0，所以不存在常数c >0，∀x ∈R ，有f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )>f (x －c )得(x ＋c )3－(x ＋c )>(x －c )3－(x －c )，整理得3x 2＋c 2>1，所以只要c >1，则f (x ＋c )>f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.16. [xx·冀州中学热身]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 因为f (x )＝2x 在R 上是单调递增的，所以对于不相等的实数x 1，x 2，m ＝2 x 1－2 x 2x 1－x 2>0恒成立，①正确；因为g (x )＝x 2＋ax ，所以n ＝x 21＋ax 1－x 22＋ax 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＋a ，正负不定，②错误；由m ＝n ，整理得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)．令函数p (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则p ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令t (x )＝p ′(x )，则t ′(x )＝2x (ln 2)2－2，又t ′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t ′(3)＝8(ln 2)2－2>0，从而存在x 0∈(1,3)，使得t ′(x 0)＝2x 0(ln 2)2－2＝0，于是p ′(x )有极小值p ′(x 0)＝2x 0ln 2－2x 0－a ＝2ln 2－2log 22ln 22－a ，所以存在a ＝－2log 22ln 22，使得p ′(x 0)＝2ln 2>0，此时p (x )在R 上单调递增，故不存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不满足题意，③错误；由m ＝－n ，得f ′(x )＝－g ′(x )，即－a ＝2x ln 2＋2x .设h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2＋2>0，所以h (x )在R 上是单调递增的，且当x →＋∞时，h (x )→＋∞；当x →－∞时，h (x )→－∞，所以对于任意的a ，y ＝－a 与y ＝h (x )的图象一定有交点，④正确．17．[xx·枣强中学周测]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．。
