一次函数的概念和性质

一次函数的定义和性质一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于零。

它也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。

一次函数是数学中的基础概念之一，具有一些重要的性质和应用。

一. 定义一次函数是指以x为自变量，以y为因变量的函数，其表达式为y=ax+b，其中a和b为实数，且a不等于零。

其中，a称为一次项的系数，b称为常数项。

当x取不同的值时，y的取值也相应地发生变化，这种对应关系可以通过一条直线来表示。

二. 图像特征1. 直线特征：一次函数的图像总是一条直线，因此它具有线性特征；2. 斜率特征：一次函数的斜率表示为常数a，描述了图像在x轴正方向上的倾斜程度。

斜率为正时，表示图像向上倾斜；斜率为负时，表示图像向下倾斜；3. 截距特征：一次函数的截距表示为常数b，描述了图像与y轴的交点位置。

截距为正时，表示图像与y轴正半轴交于正值点；截距为负时，表示图像与y轴负半轴交于负值点。

三. 性质1. 单调性：一次函数的单调性由斜率的正负决定。

当a大于零时，函数单调递增；当a小于零时，函数单调递减；2. 定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数；值域为所有实数，即函数的取值范围没有限制；3. 零点：一次函数的零点即为函数的根，表示当x取某个值时，函数的值等于零。

对于一次函数，当且仅当x=-b/a时，函数的值为零；4. 最值：一次函数没有最大值和最小值，因为它的图像是一条直线；5. 平移：通过给定一次函数的表达式，可以进行平移操作来得到新的函数。

平移操作可以在x轴和y轴上分别进行，通过改变常数a和b的值，可以使图像在平面上发生移动。

四. 应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务收入：一些经济指标和统计数据的变化趋势可以通过一次函数来表示，如年度收入的增长率；2. 运动模型：一次函数可以表示一些常见的运动模型，如匀速运动的位移和速度关系；3. 经济学模型：在经济学中，一次函数可以用来表示供求关系、成本和收益关系等；4. 工程预测：一次函数可以用来进行工程测量、预测物理量的变化趋势等。

初中数学知识归纳一次函数的概念与性质一次函数是初中数学中的重要内容，它具有简单的形式和规律性的特点。

本文将围绕一次函数的概念和性质展开论述。

一、一次函数的概念一次函数是指函数的最高次数为1的函数，可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

在一次函数中，自变量x的系数k称为斜率，表示了函数图像的倾斜程度，斜率正负表示了直线的上升或下降趋势；而常数b称为截距，表示了函数图像与y轴的交点。

二、一次函数的性质1. 函数图像为直线：由于一次函数的形式为y = kx + b，故其图像为一条直线。

直线可以用来表示两个变量之间的线性关系，如时间和距离的关系、成本和产量的关系等。

2. 斜率代表变化率：一次函数的斜率k反映了函数图像的倾斜程度。

斜率的绝对值越大，说明函数图像越陡峭；斜率为正表示上升趋势，斜率为负表示下降趋势。

3. 截距代表初始值：一次函数的常数b即截距，表示了函数图像与y轴的交点。

截距决定了函数图像的起点和y轴的交点位置，也可以理解为函数在x=0处的函数值。

4. 变量之间的线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系。

斜率k表示了两个变量之间的变化率，而截距b表示了变量在某个初始值时的数值。

三、一次函数的图像特点一次函数的图像有以下几个特点：1. 函数图像为一条直线，呈现出一致的斜率和截距；2. 当斜率为正时，函数图像从左下方朝右上方倾斜；当斜率为负时，函数图像从左上方朝右下方倾斜；3. 当截距为正时，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴上；当截距为负时，函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴上；4. 斜率的绝对值越大，函数图像越陡峭；5. 斜率为零时，函数图像平行于x轴，表示了一个常数函数；6. 一次函数的图像可以通过两个点确定，其中一个点可以是截距，另一个点可以通过斜率确定。

四、一次函数的应用举例一次函数广泛应用于日常生活和工作中的各个领域。

以下是一些具体的应用举例：1. 距离和时间的关系：假设一个汽车以固定速度行驶，那么汽车的行驶距离与时间的关系可以用一次函数来表示。

初中数学一次函数知识点总结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x 轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

一次函数的定义及性质一次函数，也被称为线性函数，是数学中最简单且最常见的函数之一。

它可以用以下一般形式表示：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。

在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义及其性质。

一、定义一次函数是指形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，a ≠ 0。

其中，x是自变量，f(x)是函数的值，a称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。

二、性质一次函数具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像在每单位自变量变化时的纵坐标的变化量。

斜率可以通过函数的解析式中的a来确定。

当a>0时，函数图像呈现上升的趋势；当a<0时，函数图像呈现下降的趋势；当a=0时，函数呈现一条水平线。

2. 截距：一次函数的截距是函数图像与y轴的交点，可以通过函数的解析式中的b来确定。

截距表示了当自变量为0时，函数取得的值。

3. 增减性：根据斜率的正负来判断一次函数的增减性。

当斜率a>0时，函数随着自变量的增大而增加；当斜率a<0时，函数随着自变量的增大而减小。

4. 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

根据一次函数的形式，当ax + b = 0时，可以求得x = -b/a，这就是一次函数的零点。

5. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，即函数对于任意实数都有定义。

值域取决于斜率a的正负情况，当a>0时，值域为区间(-∞, +∞)；当a<0时，值域为区间(-∞, +∞)。

6. 对称性：一次函数具有x轴的对称性，即对于函数图像上任意一点(a, b)，如果(a, -b)也在图像上，则函数具有对称性。

7. 线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。

当自变量的增加导致因变量的相应增加时，我们可以说这两个变量呈正相关的线性关系。

总结：一次函数是一种简单但重要的数学函数，具有直线的特点。

初二一次函数的概念及性质初二数学学科的一次函数是一个重要的概念，也是我们进一步学习数学的基础。

在本文中，我们将探讨一次函数的概念及其性质，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。

1. 一次函数的定义一次函数是指具有形式为 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且 k 不等于零。

其中，k 是一次函数的斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b 是一次函数的截距，决定了函数图像与 y 轴的交点。

2. 一次函数的图像一次函数的图像可以是一条直线。

斜率 k 的正负决定了直线的倾斜方向（正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜），而截距 b 决定了直线与 y 轴的位置。

通过确定斜率和截距的值，我们可以画出一次函数的图像，并在图像上标出斜率和截距的意义。

3. 一次函数的性质一次函数具有以下几个重要的性质：3.1 斜率的意义一次函数的斜率表示函数图像上任意两点之间的纵坐标变化与横坐标变化之比。

正斜率表示纵坐标随着横坐标的增加而增加，负斜率表示纵坐标随着横坐标的增加而减少。

斜率越大，函数图像的倾斜程度越大。

3.2 截距的意义一次函数的截距表示函数图像与 y 轴的交点。

通过截距，我们可以确定直线在纵坐标上的位置。

当截距为正时，表示函数图像在 y 轴上方与 y 轴有交点；当截距为负时，表示函数图像在 y 轴下方与 y 轴有交点。

3.3 函数图像的平移一次函数的图像可以通过改变斜率和截距来进行平移。

当斜率 k 不变而截距 b 变化时，函数图像平行于原图像在 y 轴上下平移。

当斜率 k 变化时，函数图像经过旋转和/或缩放。

3.4 函数图像的关于直线对称性一次函数的图像具有关于直线 y = x 的对称性。

即，如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (y, x) 也在函数图像上。

4. 一次函数的应用一次函数的概念及性质在实际生活中有广泛的应用。

例如，我们可以用一次函数来描述物体的速度与时间的关系、成本与产量的关系等。

初中数学什么是一次函数它有什么特点一次函数，也被称为线性函数，是初中数学中的一个重要概念。

它是一个以x 的一次方程表示的函数，具有以下形式：f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。

一次函数在数学中有着广泛的应用，并且具有一些特点和性质。

在本文中，我们将详细讨论一次函数的概念、特点和性质。

一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a 和 b 是常数。

其中a 被称为斜率，代表了函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，表示函数图像与y 轴的交点。

一次函数的特点和性质如下：1. 直线图像：一次函数的图像是一条直线。

这是因为一次函数是一个一次方程，其图像是一个直线。

直线可以通过两个点来确定，因此我们只需要确定两个点就可以画出一次函数的图像。

2. 斜率：一次函数的斜率决定了函数图像的倾斜程度。

斜率表示了函数在x 方向上的变化率。

当斜率为正时，函数图像向上倾斜；当斜率为负时，函数图像向下倾斜；当斜率为零时，函数图像是水平的。

3. 截距：一次函数的截距决定了函数图像与y 轴的交点。

当x = 0 时，我们可以计算出函数的截距。

截距表示了函数图像与y 轴的位置关系。

4. 增减性：一次函数的增减性由斜率来决定。

当斜率为正时，函数是递增的，即随着x 的增大，函数值也增大；当斜率为负时，函数是递减的，即随着x 的增大，函数值减小。

5. 零点：一次函数的零点表示了函数图像与x 轴的交点。

当函数的值为零时，我们可以求解出函数的零点。

零点表示了函数在x 轴上的位置。

6. 平行和垂直：一次函数的平行和垂直关系可以通过斜率来确定。

如果两个一次函数的斜率相等，则它们是平行的；如果一个函数的斜率是另一个函数斜率的倒数的相反数，则它们是垂直的。

7. 线性关系：一次函数是一种线性关系。

线性关系表示了两个变量之间的直接关系。

在一次函数中，x 和f(x) 之间存在着线性关系，即x 的增加或减少会导致f(x) 的相应变化。

通过以上的讨论，我们可以了解一次函数的概念、特点和性质。

084. 一次函数的定义、图象特点和性质班级姓名知识要点：1.定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数.形如的函数，叫做一次函数.正比例函数是特殊的一次函数2.一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，图象称为直线y=kx+b．由于确定一条直线，画一次函数的图象只需要找到适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点 .画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.画函数y=2x+3的图像时取点，画函数y=-3x的图像时取点3.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向，也决定函数的增减性；（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；（4）由于k、b的符号不同，直线所经过的象限也不同；4.直线的平行、相交（1）同一平面坐标系内，不重合的两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行；当时，两直线相交。

5.点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在函数y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式y=kx+b的一对对应值，那么以P（x0，y0）为坐标的点必在函数y=kx+b的图象上．训练题：1.下列函数中是一次函数的是（）A.122-=x yB.x y 1-= C.31+=x y D.1232-+=x x y 2．关于x 的函数()n x m y -+-=21，当 时，此函数是一次函数，当 时，此函数为正比例函数．3.对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而_ _. 对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的_____而增大.4.如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <5.已知函数y=(1-m)x+m-2,当m 时，y 随x 的增大而增大。

一次函数所有知识点
一次函数是数学中的一个重要概念，它表示一个函数在某一点附近的变化情况。

一次函数的知识点包括以下几个方面:
1. 一次函数的定义：一次函数是形如 y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 是常数，表示函数在某一点附近的变化情况。

2. 一次函数的性质：一次函数具有以下几个性质:
- 对称性：一次函数在 x=a 处取得最大值或最小值，在 y=a 处取得最大值或最小值。

- 平移性：一次函数可以通过平移操作得到其他形式的一次函数。

- 单调性：一次函数在某一区间上单调增加或减少。

3. 一次函数的图像：一次函数的图像通常可以通过以下方法得到:
- 将 y=ax+b 代入 x=0,y=0 中，得到 a=0,b=0，从而得到 y=ax。

- 将 y=ax+b 的图像向上或向下平移 b 个单位，得到 y=ax 的
图像。

- 将 y=ax 的图像向左或向右平移 a 个单位，得到 y=ax+b 的
图像。

4. 一次函数的应用：一次函数在数学中有着广泛的应用，比如
在求解抛物线的焦点坐标、求解抛物线的标准式等方面。

此外，一次函数还可以用于求解运动的加速度、速度等物理量。

拓展:
- 一次函数的系数 a 和 b 可以用图像法或定义法求解，其中图
像法更为简单。

- 一次函数的最高次项是二次项，因此一次函数的图像永远不会是抛物线。

- 一次函数可以通过移项和配方变换成 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a、b、c 是常数。

这种形式可以用于求解抛物线的焦点坐标和标准式。

一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。

例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。

（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。

一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

一次函数的定义域是一切实数。

当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。

一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。

Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。

二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）.4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。

次函数的概念、图象和性质一次函数的概念一、知识要点1.一次函数的定义：形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。

注意：(1)判断一个以x为自变量的函数(以后称关于x的函数)是不是一次函数？从其解析式的形式上看，就是它能否化成关于x的一次二项式即kx+b的形式。

其中一次项系数k必须是不为零的常数，常数项b可以为任何常数。

若k=0，它不是一次函数。

(2)要确定一个一次函数，可利用待定系数法，设y=kx+b为所求，只要依据已知条件求出k、b的值即可。

2.一次函数与正比例函数的关系在一次函数y=kx+b中，当b=0时，即y=kx(其中常数k≠0)是正比例函数。

这时又称y与x成正比例，且比例系数为k。

y=kx+b(k、b是常数，k≠0)b≠0时，它是一般的一次函数b=0时，它是正比例函数二、例题选讲例1.已知关于变量s、t的关系式为3s+2t=5，(1)若t为自变量，则函数s=____，它是关于t的____次函数；(2)若s为自变量，则函数t=___，它是关于s的___函数；(3)s-1与t-1的关系是_____，它的比例系数是____。

提示：3s+2t=5，◇3(s-1)=-2(t-1)，◇例2.若函数是关于x的一次函数，求k。

并求出这个一次函数。

解：∵函数是关于x的一次函数，当k=1时，函数为y=2x+2∴y=2x+2为所求。

一次函数的图象一、知识要点1.正比例函数y=kx的图象(1)对于正比例函数y=kx，因为当x=0时，y=0;当x≠0时，y/x=k，所以正比例函数y=kx 的图象是一条经过原点和(1,k)点的直线，又称为直线y=kx。

例如：正比例函数它的图象是经过原点和点的一条直线。

(2)当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，它的倾斜角是锐角；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，它的倾斜角是钝角。

k>0：0<k<10°<α<45°K≥145°≤α<90°k<0k<-190°<α<135°-1≤K<0135°≤α<180°2.一次函数y=kx+b的图象(1)一次函数y=kx+b的图象是过(0,b)点且与直线y=kx平行的一条直线。

一次函数知识点总结小学一次函数是初中数学中的基础知识，也是后续学习二次函数、指数函数等更高级函数的重要基础。

在小学阶段，我们也会开始接触一次函数的概念，虽然不会深入学习它的相关定理和公式，但是了解一些基本知识还是很有必要的。

本文将对一次函数的相关概念、性质、图像以及实际应用进行总结，希望能够帮助小学生更好地理解一次函数。

一、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数且a ≠ 0。

其中 x 是自变量，f(x) 是因变量，a 是斜率，b 是截距。

一次函数描述了一条直线的特性，因此也称为线性函数。

2. 一次函数的定义域和值域一次函数的定义域是所有使得 f(x) 有意义的 x 的取值范围，通常是实数集 R。

而一次函数的值域是所有可能的函数值所组成的集合，通常也是实数集 R。

3. 一次函数的斜率和截距在一次函数 f(x) = ax + b 中，a 表示斜率，代表了函数曲线上的一点对应的斜率，反映了函数曲线的倾斜程度；b 表示截距，代表了函数曲线与 y 轴的交点的纵坐标，反映了函数曲线的位置。

二、一次函数的性质1. 斜率的性质斜率代表了函数曲线的倾斜程度，其性质如下：（1）当 a > 0 时，函数曲线向右上倾斜，当 a < 0 时，函数曲线向右下倾斜；（2）斜率的绝对值表示了函数曲线的倾斜程度，绝对值越大，倾斜程度越大；（3）当 a = 0 时，函数曲线平行于 x 轴，斜率为零。

2. 截距的性质截距代表了函数曲线与 y 轴的交点的纵坐标，其性质如下：（1）当 b > 0 时，函数曲线与 y 轴的交点在原点的上方，当 b < 0 时，函数曲线与 y 轴的交点在原点的下方；（2）截距的绝对值表示了函数曲线与 y 轴的距离，绝对值越大，距离越远；（3）当 b = 0 时，函数曲线经过原点。

3. 函数图像的性质一次函数的图像总是一条直线，其斜率和截距决定了直线的倾斜程度和位置。

一次函数的概念与性质一次函数是数学中常见且重要的函数类型之一。

它的定义可以用以下形式来表示：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。

一次函数的图像是一条直线，具有许多独特的性质和特点。

本文将探讨一次函数的概念以及它的性质。

一、一次函数的定义与概念一次函数是一个线性函数，也称为一次多项式函数。

它的定义中包含两个常数项：系数a和常数b。

系数a代表了直线的斜率，决定了图像的倾斜程度和方向；常数b则决定了图像与y轴的交点。

理解一次函数的定义很重要，它让我们能够推断出函数的性质，包括函数图像的斜率、截距和交点等。

通过确定a和b的值，我们可以得到具体的函数表达式，并进一步研究它的性质。

二、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜度量。

斜率的计算方法为斜率=Δy/Δx，即两点间y坐标的变化量除以x坐标的变化量。

2. 截距：一次函数的图像与y轴的交点称为截距，用常数b表示。

它反映了函数图像的位置关系，当x=0时，函数的值为截距b。

3. 定义域与值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，而函数的值域则取决于斜率a的正负情况。

当a>0时，值域是从负无穷到正无穷；当a<0时，值域是从正无穷到负无穷。

4. 平行与垂直：一次函数的特点之一是平行和垂直关系。

如果两条直线都有相同的斜率a，它们是平行的；如果其中一条直线的斜率是另一条的倒数的相反数，它们是垂直的。

5. 奇偶性：一次函数是奇函数，因为它具有对称性，即f(-x) = -f(x)。

这意味着函数图像关于原点对称。

三、一次函数在实际生活中的应用一次函数的概念和性质在许多实际问题中都有广泛应用。

以下是其中一些例子：1. 速度和距离：物理中，速度和距离之间的关系可以通过一次函数来描述。

斜率表示速度，截距表示起始位置。

2. 成本和产量：经济学中，成本和产量之间的关系也可以用一次函数来表示。

斜率代表单位产量成本，截距代表固定成本。

3. 温度和时间：气象学中，温度随时间的变化可以用一次函数来描述。

学科教师辅导讲义课 题 一次函数概念、图像及性质 教学内容一、【知识梳理】一次函数知识详解知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．”点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．知识点2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．知识点3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点5 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点7 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（x0，y0）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.知识点11 一次函数与一次方程（组）、不等式的关系 解一次方程（组）与不等式问题 一 次 函 数 问 题从“数”的角度 从“形”的角度解一元一次方程 kx ＋b=0 当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y值）等于0时求自变量x 的值当直线y=kx ＋b 上点的纵坐标为0时，求这个点的横坐标是什么？（即求直线与x 轴的交点坐标）解一元一次方程 kx ＋b=c 当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）等于c 时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上点的纵坐标为c 时，求这个点的横坐标是什么？解一元一次不等式kx ＋b ﹥0（或﹤0）当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）大于0（或小于0）时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于0（或小于0）时，求这些点的横坐标在什么范围？（即求直线与x 轴的交点坐标的上方（或下方）的部分直线的横坐标的范围）解一元一次不等式kx ＋b ﹥m （或﹤m ）当一次函数y=kx ＋b 的函数值（y 值）大于m （或小于m ）时求自变量x 的值 当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于m（或小于m ）时，求这些点的横坐标在什么范围？解一元一次不等式 kx ＋b ﹥mx ＋n 当一次函数y=kx ＋b 的值大于mx＋n 的值时，对应的自变量x 的范围是多少？在相同横坐标的情况下,当直线y=kx ＋b 上的点的纵坐标大于直线y=mx ＋n 上的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在什么范围？解二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y b kx y 当一次函数y=kx ＋b 与y=mx ＋n的值相等时，对应的自变量x 的值是多少？这个函数值是多少？ 当直线y=kx ＋b 与直线y=mx ＋n 相交时求交点坐标思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合二、【典型例题】例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例2 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21 D ．m ＞21例3 已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值．例4 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值； （5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．例5 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？例6 已知直线y=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式.例7 （2004·沈阳）某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．例8 图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？ （2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？例9 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．三、【巩固练习】1.下列一次函数中，y 随着x 增大而减小而的是 （ ）（A ）x y 3= （B ）23-=x y （C ）x y 23+= （D ）23--=x y2.若把直线y=2x －3向上平移3个单位长度，得到直线( ) A ．y=2x B.y=2x －6 C. y=5x －3 D.y=－x －33.直线y=2x+2与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）4. 如图，直线与y 轴的交点是（0，－3）,则当x<0时， A. y<0 B. y<－3 C. y>0 D. y>－35. 已知一次函数y =（m +2）x +（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且此函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是（ ） A. m >－2B. m <1C. m <－2D. m <1且m ≠-26. 在数学25+-=x y 中，K ＝ ，b=7.已知正比例函数y ＝（m －1）25m x-的图象在第二、四象限，则m 的值为_________,8.已知函数32)2(3--+=mx m y 是一次函数，则m ＝ ；此图象经过第 象限。

一次函数的概念与性质一次函数是数学中比较常见的一种函数类型，也称为线性函数。

它的表达式通常可以写作y = kx + b，其中k和b是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

本文将深入探讨一次函数的概念和性质，解释其在数学和实际问题中的应用。

一、概念一次函数是指函数的自变量和因变量之间呈线性关系的函数。

其特点是自变量的一次幂和常数的乘积与自变量无关。

一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k表示斜率，b表示截距。

斜率表示线性函数的倾斜程度，正值表示函数图像向上倾斜，负值表示向下倾斜；截距则表示函数图像与y轴相交的位置。

二、性质1. 斜率的意义：斜率k代表自变量x增加1个单位时，函数值y的增量。

例如，当k = 2时，表示x每增加1个单位，y将增加2个单位。

斜率的正负决定了函数图像的增减趋势。

2. 截距的意义：截距b表示函数与y轴的交点坐标，即当x = 0时，函数值y的取值。

截距决定了函数图像在y轴上的位置。

3. 函数图像：一次函数的图像通常为一条直线，其斜率和截距决定了直线在坐标平面上的位置和方向。

当斜率为零时，直线平行于x轴；当截距为零时，直线过原点。

4. 增减性：一次函数的增减性由其斜率决定。

当斜率大于零时，函数递增；当斜率小于零时，函数递减。

若斜率等于零，则函数为常值函数。

5. 特殊情况：a. 若斜率k = 0，函数图像为一条与x轴平行的直线，即y = b，其中b为常数，函数为常值函数。

b. 若截距b = 0，函数图像过原点，即y = kx。

c. 若斜率k = 1，截距b = 0，函数为y = x，表示一个斜率为1的直线。

三、应用一次函数在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：成本和收益、需求和供给之间的线性关系可以用一次函数描述。

2. 物理学：速度与时间、力与位移之间的关系常用一次函数表示。

3. 工程学：流量、功率和电阻之间的关系常用线性函数表示。

4. 金融学：收入与支出、利润与销量之间的关系可使用一次函数建模。

一次函数的定义与性质一、定义一次函数也叫线性函数，是指函数的最高次幂只能为1的函数。

一次函数的标准形式为y = kx + b，其中k和b为实数，且k≠0。

其中，k 称为函数的斜率，代表函数图像的倾斜程度；b称为函数的截距，代表函数图像与y轴的交点。

二、性质1. 斜率一次函数的斜率k可以用来描述函数图像的增长趋势。

斜率k为正数时，表示函数图像从左向右上升；斜率k为负数时，表示函数图像从左向右下降；斜率k为0时，表示函数图像为水平线。

2. 截距一次函数的截距b表示函数图像与y轴的交点，即当x=0时，函数的值为b。

截距对于函数图像的位置和平移起到重要作用。

当b>0时，函数图像与y轴正向平移；当b<0时，函数图像与y轴负向平移。

3. 函数图像一次函数的图像为一条直线。

根据斜率k的大小，可以判断函数图像的倾斜程度。

当k>1时，函数图像向上倾斜的程度较大；当0<k<1时，函数图像向上倾斜的程度较小；当k<0时，函数图像向下倾斜。

4. 零点一次函数的零点指的是函数图像与x轴的交点，即函数取值为0的点。

根据一次函数的定义式y = kx + b，令y = 0，可以求解出一次函数的零点。

零点对于函数图像的交叉点和根的求解具有重要意义。

5. 定义域和值域一次函数的定义域为全体实数集R，即函数适用于所有实数。

而值域则依赖于斜率k的正负性质。

当k>0时，函数的值域为全体实数集R；当k<0时，函数的值域为负实数集R-。

三、应用1. 速度与时间一次函数的性质中斜率k可以表示速度的快慢，而截距b可以表示起点的位置。

因此，一次函数常用于描述速度与时间的关系。

例如，当一次函数的斜率为40，截距为10时，可以表示某物体的速度为40m/s，起始位置为10m。

2. 成本与产量一次函数也可以用来描述成本与产量之间的关系。

斜率k可以表示每产生一个单位产品所需要的成本，截距b可以表示固定成本。

通过一次函数的表达式，可以根据产量来计算总成本或者边际成本。

初中一次函数知识点归纳总结初中一次函数知识点归纳总结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k 为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。