chap4 对称要素组合定理及对称型解析
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七年级对称集合知识点归纳总结在七年级的数学学习中,对称集合是一个重要的概念。
通过对称集合的学习,我们能够更深入地理解数学中的对称性质,并能够应用到解决实际问题中。
本文将对七年级对称集合的知识点进行归纳总结。
一、对称性的基本概念1. 对称性定义:对称性是指物体或图形能够通过某个中心点、直线或平面进行翻转、旋转或镜像后重合的性质。
2. 对称元素:对称元素是指使图形保持不变的中心点、直线或平面。
3. 对称轴:对称轴是指使图形能够对称的直线。
4. 对称中心:对称中心是指使图形能够对称的中心点。
5. 垂直对称:垂直对称是指图形绕垂直对称轴对称后能够重合。
6. 水平对称:水平对称是指图形绕水平对称轴对称后能够重合。
7. 中心对称:中心对称是指图形绕中心对称中心对称后能够重合。
二、对称集合的运算1. 交集运算:对称集合的交集是指两个对称集合中共有的元素组成的集合。
交集运算可以用符号“∩”表示。
2. 并集运算:对称集合的并集是指两个对称集合中所有的元素组成的集合。
并集运算可以用符号“∪”表示。
3. 补集运算:对称集合的补集是指在某个全集中除去该对称集合的元素所形成的集合。
补集运算可以用符号“-”表示。
三、对称集合的性质1. 交换律:对称集合的交集与并集满足交换律,即A∩B = B∩A,A∪B = B∪A。
2. 结合律:对称集合的交集与并集满足结合律,即(A∩B)∩C =A∩(B∩C),(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 分配律:对称集合的交集与并集满足分配律,即A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
4. 对偶律:对称集合的交集与并集满足对偶律,即(A∩B)' = A'∪B',(A∪B)' = A'∩B'。
四、应用举例1. 图形的对称性:通过对称集合的概念,我们可以判断一个图形是否具有对称轴或对称中心,从而在绘画、几何图形设计等方面得到应用。
第二节对称元素组合原理第二节对称元素组合原理反映面之间的组合 ?反映面与旋转轴的组合 ?旋转轴与对称中心的组合 ?反映面与反轴的组合 ?旋转轴之间的组合反映面之间的组合反映面之间的组合定理:两个反映面相交,其交线为旋转轴,基转角为反映面相交角的2倍。
图示反映面之间的组合若维持交线位置和二反映面夹角不变,仅改变二反映面的取向则改变中间过渡点B的位置,而对A、C点相对位置无影响,即动作的效果仍然一样。
反映面之间的组合推论:基转角为2α的旋转轴可以分解为两个夹角为α的反映面的连续操作。
P1 ? P2 = Ln反映面之间的组合反映面与旋转轴的组合反映面与旋转轴的组合定理:如果有一反映面穿过一n次旋转轴,则必同时有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ m? Ln = m ? m1 ? m2 = I ? m2 = m2 注:“+”表示组合,“?”表示连续动作图示反映面与旋转轴的组合L3 60° BA m1C m2万花筒定理反映面与旋转轴的组合在与m成α/2角度处有一反映面后,可以推断每隔α/2角度便360 ° 有一反映面,共有(α 2 ) = 2 n 个反映面。
但其中第1个与第?α? ? = 180 ° , n+1个,第2个与第n+2个,···反映面间夹角为n × ? ?2? 实际上相重合,因此反映面的数目仅有n个,与旋转轴的轴次相同。
此定理又形象地称为万花筒定理。
旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中心的组合定理:如果在偶次旋转轴上有对称中心,则必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。
L2n + C = L2n m⊥ C L2 ? C = m⊥首先证明L2 的情况旋转轴与对称中心的组合L2 ? C = m⊥L4与对称中心组合图示旋转轴与对称中心的组合推论一:偶次旋转轴和反映面垂直相交,交点为对称中心。
偶次旋转轴与反映面的组合L2n + P⊥ = L2n P⊥C L2 ? P⊥ = C推论二:反映面和对称中心的组合,必有一垂直反映面的二次轴。
第四章晶体对称要素组合和国际符号四、关于倒转轴L i n:能够在晶体中出现的L i1、L i2、L i3、L i4、L i6,除L i4是一种独立的对称要素外,其余四种倒转轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替,其关系如下:L i1=C L i2=P L i3=L3C L i6=L3P(P⊥L3)分别说明如下:L i1为旋转360o后反伸,因为图形旋转360o后复原,也就是说等于不旋转而单纯反伸,所以L i1=C。
L i2为旋转180o后反伸,如图,点1围绕L i2旋转180o后,再凭供L i2上的一点反伸与点2重合,但由图可见,凭籍垂直于L i2(过中心)的对称面的反映,也同样可以使点1与点2重合。
因此,L i2=P,L i3为旋转120o后反伸,如图1经L i3的作用可以依次获得1、2、3、4、5、6共6个点,而由点1开始通过L3的作用可获得点1、3、5,再通过C的作用又获得点2、4、6,总共获得6个点,与由L i3所推导出来的完全相同,因此,L i3=L3C;L i6为旋转60o后反伸,从点1开始,旋转60o反伸获得点2,依次类推,可获得点1、2、3、4、5、6共6个点,若将L i6代之以L3P上,由点1开始,经L3的作用可获得点1、3、5,再经过垂直于L3的作用又可获得点2、4、6,与L i6和L i4。
(加讲,判断L i4、L i6的方法)。
五、对称要素的组合在结晶多面体中,可以有一处公款称要素单独存在,也可以有若干个对称要素组合在一起。
经数学上运用群论的方法推导,对称要素的组合服从以下规律,即对称要素缚合定理:定理一:如果有一个对称面包含L n,则必有n个对称面包含L n,即L n2P11→L n np。
此定理也可理解为:对称面的交线必为对称轴,其基转角为相邻=对称面的夹角的二倍(由对称面反推对称轴)。
举例:锆石:有对称面包含L4,则必有4个P包含L4,记为L44P1t;又:两相邻对称面的交线为L,两相邻P的夹角为45o,则L的基转角为45×2=90o,此时对称轴为L4。
对称形的认知知识点对称形是指物体或形状的左右部分对称相等,即两侧镜像对应。
在几何学中,对称形是一个重要的概念,它不仅存在于自然界中的许多物体中,也是人类设计和艺术中常用的元素。
本文将介绍一些关于对称形的知识点,包括对称形的定义、种类和应用。
1. 对称形的定义对称形可以简单地定义为物体或形状的两侧镜像对应,即左右部分在某个轴线上完全一致。
这个轴线称为对称轴。
对称轴可以是水平线、垂直线或者对角线。
对称形的特点是两侧完全对称,左右部分的形状、大小和位置都完全相同。
2. 对称形的种类对称形分为以下几种常见的类型:2.1 平面对称形平面对称形是指物体或形状在一个平面上完全对称。
常见的例子包括正方形、圆形和矩形。
在这些形状中,可以将其分成两个完全相同的部分,左右对称。
2.2 点对称形点对称形是指物体或形状以一个点为中心对称。
常见的例子包括心形和星型。
在这些形状中,以中心点为对称轴,左右和上下部分镜像对应。
2.3 螺旋对称形螺旋对称形是指物体或形状以螺旋线为对称轴的对称形。
螺旋对称形在自然界中常见,比如螺旋壳和许多植物的形状。
2.4 发散对称形发散对称形是指物体或形状以某个点为中心,向外辐射状发展的对称形。
常见的例子包括花朵和象限。
3. 对称形的应用对称形在许多领域都有广泛的应用,包括艺术、设计、建筑和科学。
3.1 艺术和设计对称形在艺术和设计中经常被用来创造美感和平衡感。
许多古代建筑和绘画作品都采用了对称形的设计,例如埃及金字塔和中国的传统建筑。
3.2 建筑对称形在建筑中起到了平衡和稳定的作用。
很多建筑物的立面都采用对称形的设计,例如巴洛克式建筑和古希腊神庙。
3.3 科学对称形在科学研究中也有重要的应用,特别是在对称性和对称破缺的研究中。
对称性在物理学和化学中有广泛的应用,例如对称分析和对称群的研究。
4. 总结对称形作为一种几何学概念,在我们的生活和各个领域中都扮演着重要的角色。
了解对称形的种类和应用,可以帮助我们更好地理解自然界和人类创造的事物。