拉格朗日方程-刚体动力学-振动知识题课

船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。

141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。

完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。

不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。

具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。

151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。

梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。

的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。

三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。

现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。

（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。

即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。

将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。

现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。

现仅讨论与路径无关的情况。

这对于理解物体运动的本质是很有意义的。

如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。

由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。

显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。

如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。

势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。

在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。

现我们来看两者的关系。

首先来定义势能的概念。

所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。

显然，势能具有相对的意义。

选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。

拉格朗日动力学方程例题拉格朗日动力学方程是描述质点、刚体或连续体运动的重要数学工具。

它是由拉格朗日于18世纪提出的，可以从动能和势能的差异来推导出物体的运动方程。

在此，我们将介绍一个拉格朗日动力学方程的例题，并解答该问题。

例题：一个质量为m的质点在一维势场V(x)中运动。

质点的拉格朗日量L定义为L = T - V，其中T表示质点的动能。

现在假设势场V(x)满足V(x) = kx^2，其中k为常数。

求质点的运动方程。

解答：首先，我们需要计算质点的动能T。

根据动能的定义，T = (1/2)mv^2，其中v表示质点的速度。

由速度与位置的关系可得，v = dx/dt，其中x表示质点的位置，t表示时间。

因此，动能可以写为T = (1/2)m(dx/dt)^2。

接下来，我们将拉格朗日量L表示为动能和势能之差。

由题目中给出的势能表达式可得，V(x) = kx^2。

将动能和势能带入拉格朗日量的定义中可得：L = (1/2)m(dx/dt)^2 - kx^2。

根据拉格朗日动力学方程的定义，我们需要计算质点的广义力F。

广义力F可以通过势能对位置的偏导数来表示，即F = -dV/dx。

将势能表达式V(x)带入可得，F = -d(kx^2)/dx = -2kx。

综上所述，我们得到了质点的运动方程。

根据拉格朗日动力学方程的定义，F = d/dt(dL/d(dx/dt)) - dL/dx = 0。

代入我们计算得到的动能和势能的表达式，可得：d/dt(m(dx/dt)) + kx = 0化简上述方程，我们可以得到：m(d^2x/dt^2) + kx = 0这就是质点在一维势场V(x)中的运动方程。

它表示了质点受到的恢复力和质量的关系。

通过求解这个二阶微分方程，我们可以得到质点的具体运动规律。

三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。

四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。

求平衡时αβ与之间的关系。

（用刚体平衡方程求解）。

三. 解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能22
1kx V = =-=V T L 2'21x m -22
1kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得： 0''=+kx x m 0''=+
∴x m k x 令m
k w =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。

k
m W T ππ22==∴
四. 解：αβ
cos 0(1)
0sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi
B i
T mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑
)
1()2((3)N tg N mg tg mg ββ==得：。

代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙= 即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=。

习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。

已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。

如不计胶带质量，试求A 物的加速度。

图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a r m M M D C 323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rsM M M B A D C 0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m r ra m ra m Mrm m m grm m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。

若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。

图15-8θωsin 211I l m F = )cos 1(θ-=kl F动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r Fθθcos δsin δ21r r = θtan δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。

如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。

图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O ra m r a r m M 222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rrra m r a m r a m F DE DE DE 08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。

三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。

四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。

求平衡时αβ与之间的关系。

（用刚体平衡方程求解）。

三. 解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能22
1kx V = =-=V T L 2'21x m -22
1kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得： 0''=+kx x m 0''=+
∴x m k x 令m
k w =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。

k
m W T ππ22==∴
四. 解：αβ
cos 0(1)
0sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi
B i
T mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑
)
1()2((3)N tg N mg tg mg ββ==得：。

代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙= 即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=。