26章氢原子的量子理论

氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。

由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。

电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。

我们主要对一些重要的结论进行讨论。

()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。

n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。

量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。

氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。

本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。

1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。

氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。

氢原子的能级也可以根据波函数求得。

具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。

这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。

2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。

这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。

巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。

这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。

除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。

在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。

而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。

3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。

氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。

氢原子的量子力学模型概念在量子力学中，氢原子是一种重要的原子，描述它需要将它的物理原理应用到量子力学理论中。

氢原子的量子力学模型允许人们通过描述电子在能量状态下的运动，来推导出它的特性和性质。

本文将着重讨论氢原子模型的概念，用来解释氢原子在空间和动量空间的分布特性。

首先，要讨论氢原子的量子力学模型，就必须先知道原子的构成。

氢原子由一个质子和一个电子组成，它们由核周围的电磁力或强程度来绑定。

由于电子的电荷，它们会在电场的影响下产生动量。

此外，由于粒子的反离子性，它们在原子核周围会形成一个轨道系统。

因此，它们也会影响原子在空间上的分布特性。

其次，之后要讨论氢原子的量子力学模型，必须从氢原子能量状态开始。

根据量子力学的波函数原理，电子的能量状态表示其在空间的活动情况。

根据该原理，可以确定电子的能量状态，以及其对应的波函数。

当电子处于一定的能量状态时，它就会具有一定的动量特性；而当电子能量状态发生变化时，它们的波函数也会改变，从而影响其在空间和动量空间的分布特性。

再次，在探究氢原子模型的概念时，还需要关注能级在空间中的分布特性。

根据量子力学原理，电子所处的能级在空间中有一定的分布模式。

通常，电子会处于介于原子核和原子轨道的位置，即“环”的位置。

由于电子的运动轨迹有一定的循环特性，这个位置可以分解成电子轨道的半径和角度。

每个能级都有一定的半径，它们都按照一定的规律组合在原子核周围，从而构成空间分布模式。

最后，要解释氢原子模型的概念，就需要介绍动量空间的分布特性。

根据量子力学的精确的规律，可以将氢原子的运动状态分解成氢原子的动量k。

根据Schrdinger方程，氢原子的动量在空间中可以分解为两个分量，即有限的点动量和无限的连续动量。

连续动量k的分布特性取决于氢原子的总能量，而点动量k的分布特性则取决于电子在能量状态上的变化。

因此，要深入理解氢原子模型的概念，就要对电子在能量状态上的变化和它们在动量空间中的分布特性做出精确的说明与描述。

氢原⼦的量⼦理论作业含答案第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=,请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为＿_＿__＿_____，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_____＿___＿_____。

2. 泡利不相容原理是指 _＿_＿_______＿＿＿，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外,还应遵循的物理规律是 ___＿______ 。

3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是:（1) （2) (3) (4) 。

4. 根据量⼦⼒学原理,如果不考虑电⼦⾃旋,对氢原⼦当ｎ确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ ＿个，当n 和l 确定后,对应的总量⼦态数⽬为__ _＿个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾(Z=1９）: 铜（Z=29）: ___ _＿6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个,分别可表⽰为 ____＿_____________＿______＿__。

7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。

8. 类氢离⼦是指_＿___＿__＿__＿______＿，⾥德伯原⼦是指＿__＿______＿__＿＿_。

9. 在主量⼦数为n=２,⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是__＿_____。

10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现,⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束,对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释,只能⽤____＿____来解释。

⼆、计算题11. 如果⽤13．0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦,则: (１）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少?(2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少? （３）如果使处于基态的氢原⼦电离,⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦?12. 写出磷的电⼦排布,并求每个电⼦的轨道⾓动量。