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氢原子的量子理论简介详细版

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8.8 氢原子的量子理论

8.8 氢原子的量子理论


L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子是自然界中最简单的原子系统，用薛定谔方
程求解氢原子中电子的能级和本征波函数，是量子力 学创立初期最令人信服的成就。
由于求解过程比较复杂，下面只介绍求解的思路和 步骤，列出结果并讨论物理意义。
原子核的质量比电子的质量大的多，在氢原子中
可近似认为原子核静止而电子运动，因此电子的能 量就代表整个氢原子的能量。
ml = 0
组量子数（n、l、m），有一确 1,
定的波函数描述一个确定的状态。 n = l = 1
2,
将概率密度的空间分布形象
ml = 0
ml =±1
化地作成象云一样的图象，空间 n = l = 2
任何一点上云的密度（图中表示 3,
为明亮程度）与概率密度成正比，
ml = 0
ml =±1
ml =±2
称为电子云图。
r2
1
2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
氢原子的量子力学理论讲义

氢原子的量子力学理论讲义

An integral multiple of wavelengths must fit in the length 2pr, otherwise destructive interference would occur.
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
氢原子的量子理论简介

氢原子的量子理论简介


Sz
ms
h 2π
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
第十五章 量子物理
8
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
ms
1 2
Sz
1 2
h 2π
电子旳自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
ms
1 2
第十五章 量子物理
9
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
5 小结 原子中旳电子旳运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表达.
pdr R 2 r 2dr
π2
Θ sind
2π 2
Φ d
0
0
第十五章 量子物理
13
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
由归一化条件 pdr R 2 r 2dr
0
pdr
0
R
2r 2dr
1
R Cer / r1
C 2e2r / r1 r 2dr 1 0
得
C
4 r13
1/ 2
1/ 2
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取某些特定旳方向，L在外磁场 方向旳投影必须满足量子化条件
Lz
ml
h 2π
ml 0,1,2, l
磁量子数
第十五章 量子物理

物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例如，l 1 时，
h
h
L l(l 1) 2
[物理]26章氢原子的量子理论

[物理]26章氢原子的量子理论


L y ih cos ctg sin L z ih

2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z

2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x

y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介

大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介


可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
氢原子量子理论

氢原子量子理论


d 2u 2µ Ze2 l(l + 1) − 2 u=0 + 2 E+ 2 dr ℏ r r
于是化成了一维问题， 于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势， 称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。 仑势两部分组成。
l(l + 1)ℏ2 Ze2 V(r) = − 2 2µr r
θ r
r
y
1 ∂ 1 ∂2 Ze2 ℏ2 1 ∂ 2 ∂ ∂ ( ) (r )+ (sinθ )+ − ψ− ψ = Eψ r 2µ r 2 ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ 2
x
ϕ 球 坐 标
ˆ ℏ2 L2 Ze ∂ 2 ∂ (r )+ − − 2 2µr 2 r ∂r 2µr ∂r
或： 1 ∂ 1 ∂2 ∂ (sinθ ) + 2 ]Y(θ ,ϕ) = λY(θ ,ϕ) −[ 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂φ
为使 Y(θ,ϕ) 在θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， Y(θ 变化的整个区域(0, π)内都是有限的 内都是有限的， 则必须满足： 则必须满足： λ = ℓ（ℓ + 1), 其中 ℓ = 0, 1, 2, ...
ρ →∞
αeρ / 2 ρ
→∞
ρ →∞
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ ℓ + 1
bnr ≠ 0 所以
bnr ≠ 0 于是递推公式改写为 bnr +1 = 0
因为 分子
nr + l + 1− β = 0
量子数 取值
氢原子的量子力学理论

氢原子的量子力学理论

主量子数决定了电子的能级，是描述电子能量状态的量子数 之一。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的量子理论

氢原子的量子理论

磁量子数 l 可取2l 1个值 中的取向 Ls ml
自 旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家 泡利在汉堡大学提出泡利不相容 原理。 1945年获诺贝尔物理学 奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子 角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏 磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论 量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验 自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,
氢原子中的量子力学

氢原子中的量子力学

氢原子中的量子力学量子力学是物理学中的基础理论之一，它在解释微观世界中的现象和规律方面发挥着重要作用。

氢原子作为量子力学研究的经典模型之一，对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。

本文将对氢原子中的量子力学进行探讨和分析。

1. 氢原子的结构在研究氢原子的量子力学前，我们需要了解氢原子的基本结构。

氢原子由一个质子和一个电子组成，其中质子带正电荷，电子带负电荷。

质子位于氢原子的中心，被一个电子绕着围绕。

氢原子的结构可以用量子力学的波函数来描述。

2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，用于描述微观粒子的行为。

对于氢原子来说，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。

通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子各个能级的波函数和能量。

3. 氢原子的能级和波函数根据薛定谔方程的求解结果，氢原子具有一系列离散的能级。

每个能级对应着不同的能量和波函数。

能级的能量大小与主量子数n有关，主量子数n越大，能级越高。

波函数则用于描述电子在不同能级上的空间分布。

4. 轨道角动量和磁量子数与经典力学不同，量子力学引入了轨道角动量概念。

在氢原子中，电子围绕质子运动形成了各种可能的轨道。

轨道角动量的大小由量子数l决定，而轨道的形状由量子数l和磁量子数m决定。

具体来说，轨道角动量大小为√(l(l+1))ħ，其中ħ为普朗克常数除以2π。

5. 能级跃迁和光谱氢原子的能级之间存在跃迁现象，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或辐射能量。

这种能级跃迁的现象在光谱研究中得到了广泛应用。

通过观察氢原子的光谱，我们可以了解到能级之间的能量差异和波长特性。

6. 精细结构与自旋在考虑相对论效应后，氢原子的能级结构发生了微小的变化，形成了精细结构。

精细结构与电子的自旋状态有关，自旋可以取两个值：向上和向下。

通过考虑自旋，我们可以得到更加精确的氢原子能级和波函数。

7. 氢原子的波函数叠加在量子力学中，波函数可以叠加，形成各种可能的状态。

玻尔的氢原子理论

玻尔的氢原子理论


玻尔的氢原子理论
为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认 为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内， 电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证 原子结构的枣糕式模型，完成了著名的α粒子散射实验.实验发现α粒 子在轰击金箔时，绝大多数α粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但 是大约有1/8 000的α粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的 实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子 都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，α粒 子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一 些穿透过去，一些反弹回来.
玻尔的氢原子理论
二、 原子结构模型
1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原 子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可 是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那 么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子 是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继 续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德 伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？
玻尔的氢原子理论
三、 玻尔的三点基本假设
为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分 立性问题，玻尔提出以下三个假设：
（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动， 但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动， 当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处 于稳定状态，具有一定的能量.不同的轨道，具有不同的能 量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.
玻尔的氢原子理论
可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物 理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这 样一个模型是根本不可能的，原因有以下两个：
氢原子量子力学理论

氢原子量子力学理论


由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：

氢原子的量子理论


1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2

15-9 氢原子的量子理论简介

l s
给定主量子数为n的壳层上，可能有的最多电子数为： 给定主量子数为 的壳层上，可能有的最多电子数为： 的壳层上
2 + 2(2n − 1) Z n = ∑ 2(2l + 1) = n = 2n 2 2 l =0
n −1
l n
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数 5 0 1 2 3 4 6 Zn h i s p d f g 2 8 18 32 50 72
ml = 0,±1,±2...... ± l
p
+
Ml 称为磁量子数，其决定了电 称为磁量子数， 子角动量在空间的可能取向。 子角动量在空间的可能取向。
物理学
第五版
1515-9
氢原子的量子理论简介
l 例如， 例如， = 1 时，
h h L = l (l + 1) = 2 2π 2π
磁量子数 ml =0, ±1 , 相应的
o
1 ms = 2
S = 3 ℏ 2
−
1 ℏ 2
1 ms = − 2
物理学
第五版
1515-9
氢原子的量子理论简介
5 小结 原子中的电子的运动状态可由四个量子 来表示. 数(n, l ,ml , ms) 来表示 主量子数 n 决定电子的能量 角量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向 量子数
第十五章 量子物理
8
物理学
第五版
1515-9
氢原子的量子理论简介
3 电子的分布概率
p(r) r1
p(r) ∝ r2ψ 2
o
r1
r
电子云
量子物理
9
第十五章

《氢原子的量子理论》课件


2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。

近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋

L l(l 1)
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。

氢原子的量子力学描述

氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。

由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。

电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。

我们主要对一些重要的结论进行讨论。

()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。

n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。

§15-8 氢原子的量子理论简介

大学物理
§15-8
氢原子的量子理论简介
§15-8
氢原子的量子理论简介
r
一、氢原子的定态薛定谔方程
氢原子中，电子的势能函数：
e U 4 0 r
2m 2 ( E U ) 0
2
2
+
2 2 2 2m e2 [ 2 2 2 ] 2 ( E ) 0 x y z 4 0 r
磁量子数
说明角动量L在空间有2l + 1个不同取向
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2014年10月17日星期五
大学物理
§15-8
氢原子的量子理论简介
例： l 2
B(z)
Lz 2
m=2 m=1 m=0 m = -1 m = -2
L l (l 1) 2(2 1) 6

LZ ml
(1) 能量是量子化的
4
4
(2) 当 n 时，En 连续值
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§15-8
氢原子的量子理论简介
2.轨道角动量量子化和角量子数 电子绕核运动的轨道角动量必须满足量子化
条件：
h L l (l 1) l (l 1) 2
l 0 , 1, 2 , , (n 1)
球坐标的定态薛定谔方程
采用分离变量法将方程分解为分别与变量 r、、 有关的三个常微分方程
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§15-8
氢原子的量子理论简介
二、量子化条件和量子数
求解方程时，直接可以得到氢原子的量子化条件 1.能量量子化和主量子数
me 1 me 1 En 2 2 2 2 2 2 2 (40 ) n 8 0 n 1 13.6 2 (eV) n n 1, 2 , 3 , , 主量子数 n
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由球坐标 r、、 来代替 x、y、z
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos
o x
z
r

z
x

y
2
y
代入下式
x
2 2

y
2
2

z
2
2
8 m e E 0 2 h 4 0 r
me
2 4
=
1 n
2
E1 n =1,2,3,...为主量子数
其 中 E1
8 0 h
2
1 3 .6 (eV )
第十五章
量子物理
10
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为：
L l ( 1 l ) h 2π ， l (n-1) 0
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 基态径向波函数
R Ce
r / r1
电子出现在体积元dV的概率为：
Ψ
2
dV R
2
Θ
2
Φ
2
r sin d r d d
2
令沿径矢的概率密度为 p ,则电子出现 在距核r r+dr的概率为
pdr R
2
r dr
2

π
2
Θ
sin d
2
2
2
(E
e
2
4 πε0 r
)=
ml
2
sin
2

1
d
Θ sin d
(sin
dΘ d
)
第十五章
量子物理
8
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
得
d Φ d
2 2
ml Φ 0
1 d dΘ d
2
ml sin
2
2


Θ sin d
(sin
2
) l ( l 1)
量子物理
0

2π
2
Φ d
19
0
第十五章
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 2
由归一化条件
2 2
pdr R r dr
R Ce
r / r1
0 p d r 0 R r d r 1


2
C e
2 r / r1
r dr 1
2
得
0
4 C 3 r 1
三 基态径向波函数和电子分布概率
1 氢原子的基态能量
处于基态时 n=1 l=0
代入（15-45）式得径向波函数方程
1 d R dr (r
2
dR dr
)
8 π mr h
2
2
2
(E
e
2
4 πε0r
)0
解为
R Ce
r / r1
第十五章
量子物理
17
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
其中
1
2

r sin ) 0
(sin

)
1
2 2

2 2
r sin

8π m h
2
2
(E
4 πε0 r
第十五章
量子物理
4
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
分离变量法求解,设
(r, , ) R(r )Θ( )Φ( )=RΘΦ
其中 R ( r )、 ( ) 和 ( ) 分别是波函数 在径向部分和角度部分的分量， 代入前（15-43）式化简后得：
氢原子的量子理论简介
5 小结
原子中的电子的运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表示. 主量子数 n 决定电子的能量
角量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
第十五章 量子物理
16
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2
(r
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2 2
R + sin
dr
4 πε0 r
)
d d sin d Φ sin =2 d d d
第十五章 量子物理
6
物理学
第五版
15-9
sin d
2
氢原子的量子理论简介
2
(r
2
dR dr
)
z
LZ
h
h
z
L ħ o ħ
L
2
第十五章
量子物理
13
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
4 电子的自旋和自旋磁量子数 自旋角动量
S s ( s 1)
s 1 2
h 2π
式中自旋量子数
，即 S
3 h 2 2π
自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量:
S z ms
ms 1 2
l 0， 2，， ，n 1) 为角量子数 1， 3 (
例如，n =2时，l =0，1相应的
L0 L
第十五章
2
h 2π
11
量子物理
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向(如z轴），L在 外磁场方向的投影必须满足量子化条件
量子物理
3
2
第十五章
物理学
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15-9
氢原子的量子理论简介
根据

2



1
2 2
x
[ 2

2

2 2
y
)

1


2 2
z
r
r
(r
r
sin
(sin

)
1
2

2 2
(sin )
]
将（15-42）式转化为球坐标
1 r r
2 2
(r
2
r
) e
2 r1
h /( 8 π mE )
2 2
将解代入方程 得
ε0h π me
2 2
8 π 2 me 2 2 r 0 2 4 πε h r1 0
r1
0 . 052 9 nm
2 2
E
h
2
8 π mr 1
13 . 6 eV
第十五章
量子物理
18
Lz ml h 2π ， ml l 0
m l 0 , 1, 2 , l
磁量子数
量子物理
12
第十五章
物理学
第五版
15-9
l 例如， 1 时，
L l (l 1) h 2π
氢原子的量子理论简介
2
h 2π
Lz 0, , 2π 2π
h / 2π
磁量子数 ml =0, 1 , 相应的
(r
2
dR
dr
2
d d ) + 2 sin R dr r sin d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
2
d Φ
2
2
2
r sin d
r sin R
2
R
对上式左右两边同时乘以 sin d
2 2
得： e
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15-9
氢原子的量子理论简介
一 氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数
Ep e
2
4 πε0 r
= 4 πε0
e
2
x +y +z
2
2
2
定态薛定谔方程为

2
8π m h
2
2
(E
e
2
4πε0 r
量子物理
) 0
第十五章
1
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15-9
氢原子的量子理论简介
定态薛定谔方程为
2
(r
2
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2
e
2
R
dr
4 πε0 r
)
sin d d 2 + sin =m l d d 对上式两边同时乘以 1 sin
2
（1 5 -4 4 ） 并移项得：
1 d R dr
(r
2
dR dr
)
8π mr h
1 r
2
d dr
2
(r
2
dR
d d ) + 2 s in R dr r s in d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
d Φ
2
2
r s in d