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![[物理]26章氢原子的量子理论](https://img.taocdn.com/s1/m/3ea73ff176eeaeaad1f33078.png)
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子的能级:1、氢原子的能级图2、光子的发射和吸收①原子处于基态时最稳定，处于较高能级时会自发地向低能级跃迁，经过一次或几次跃迁到达基态，跃迁时以光子的形式放出能量。
②原子在始末两个能级E m和E n（m>n）间跃迁时发射光子的频率为ν，：hυ=E m-E n。
③如果原子吸收一定频率的光子，原子得到能量后则从低能级向高能级跃迁。
④原子处于第n能级时，可能观测到的不同波长种类N为：。
⑤原子的能量包括电子的动能和电势能（电势能为电子和原子共有）即：原子的能量E n=E Kn+E Pn。
轨道越低，电子的动能越大，但势能更小，原子的能量变小。
电子的动能：，r越小，E K越大。
⑥电离：就是从外部给电子以能量，使其从基态或激发态脱离原子核的束缚而成为自由电子。
例1.对于基态氢原子，下列说法正确的是（）A．它能吸收12.09ev的光子B．它能吸收11ev的光子C．它能吸收13.6ev的光子D．它能吸收具有11ev动能的电子部分能量A、基态的氢原子吸收12.09eV光子，能量为-13.6+12.09eV=-1.51eV，可以从基态氢原子发生跃迁到n=3能级，故A正确；B、基态的氢原子吸收11eV光子，能量为-13.6+11eV=-2.6eV，不能发生跃迁，所以该光子不能被吸收．故B错误；C、基态的氢原子吸收13.6eV光子，能量为-13.6+13.6eV=0，发生电离，故C正确；D、与11eV电子碰撞，基态的氢原子吸收的能量可能为10.2eV，所以能从n=1能级跃迁到n=2能级，故D正确；故选：ACD例2.氢原子的能级图如图所示．欲使一处于基态的氢原子释放出一个电子而变成氢离子，该氢原子需要吸收的能量至少是（)D．27.20eV A．13.60eVB．10.20eV C．0.54eV例3.氢原子的部分能级如图所示，下列说法正确的是（）A．大量处于n=5能级氢原子向低能级跃迁时，可能发出10种不同频率的光B．大量处于n=4能级的氢原子向低能级跃迁时，可能发出的最长波长的光是由n=4直接跃到n=1的结果C．大量处于n=3能级的氢原子向低能级跃迁时，可能发出的不同频率的光中最多有3种能使逸出功为2.23ev的钾发射光电子D．处于基态的氢原子可以吸收能量为10.5ev的光子而被激发A、根据C52==10知，这些氢原子可能辐射出10种不同频率的光子．故A正确；B、氢原子由n=4向n=1能级跃迁时辐射的光子能量最大，频率最大，波长最短，故B错误；C、氢原子由n=3能级的氢原子向低能级跃迁时，n=3→n=1辐射的光子能量为13.6-1.51eV=12.09eV，n=3→n=2辐射的光子能量为3.40-1.51=1.89eV，n=2→n=1辐射的光子能量为13.6-3.40=10.20eV，1.89＜2.23不能发生光电效应，故有两种光能使逸出功为2.23ev的钾发射光电子，故C错误；D、只能吸收光子能量等于两能级间的能级差的光子，n=1→n=2吸收的光子能量为13.6-3.40=10.20eV，n=1→n=3吸收的光子能量为13.6-1.51eV=12.09eV，故能量为10.5ev的光子不能被吸收，故D错误．故选：A．例4.如图为氢原子能级示意图的一部分，已知普朗克常量h＝6.63×10－34J·s，则氢原子（）A．从n=4能级跃迁到n=3能级比从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出电磁波的波长长B．从n=5能级跃迁到n=1能级比从n=5能级跃迁到n=4能级辐射出电磁波的速度大C．一束光子能量为12.09eV的单色光照射到大量处于基态的氢原子上，受激的氢原子能自发地发出3种不同频率的光，且发光频率的最大值约为2.9×1015HzD．一束光子能量为15eV的单色光照射到大量处于基态的氢原子上，能够使氢原子核外电子电离试题分析：从n=4能级跃迁到n=3能级比从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出电磁波的能量要小，因此根据可知，因此A说法正确；从n=5能级跃迁到n=1能级比从n=5能级跃迁到n=4能级辐射出电磁波的速度一样都是光速，B错。
第26章 氢原子的量子理论 习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。
3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。
4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有 个，分别可表示为____________________________。
7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用 。
8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。
9.在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。
10.1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。
二、计算题11.如果用13.0 eV的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12.写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
13. 已知氢原子处于状态()()()()()211021 1 11,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z 分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14. 若氢原子处于基态，求在0r a ≥区域发现电子的概率。
试问：若在半径为0r 的球发现电子的概率为0.9，则该半径多大？15. 证明：若氢原子处于角动量L =,z L =±描写的状态，则在该状态下，在45oθ=和135oθ=发现电子的概率最大。
16. 如果假定电子是直径为15110m d -=⨯的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。
已知电子的质量是319.10910kg -⨯。
17. 试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18. 给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？19. 电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。
20. 什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？21. 试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？【参考答案】一、填空题1. ()22d ()d nl P r r R r r r =，()2d (,)lm P Y d θθϕΩ=Ω2. 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3. (1)主量子数n ，可取1,2,3,4… (2)角量子数l ，取值围0~(n-1) (3)磁量子数m ，取值围-l~+l (4)自旋量子数s ，取值围+1/2和-1/2 4. n 2， 2l+15. 2262611,2,2,3,3,4s s p s p s 226216101,2,2,3,3,,34s p s s p s d6. 10个， (3,2,0, ±1/2), (3,2, ±1, ±1/2), (3,2, ±2, ±1/2)7. 电磁相互作用8. 原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1 原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级 9. n 2=410. 电子自旋的角动量空间取向量子化二、计算题11. 解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为()113.0eV 13.613.0eV 0.6eV E E =+=-+=-。
根据氢原子能级公式()21220014n E e E s a n nπε=-= 将1E 代入可得，4.8n ==≈ 所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。
（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：对于41→的跃迁，()()34871941 6.626103100.975101/16113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于42→的跃迁，()()34871942 6.62610310 4.86101/161/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于43→的跃迁，()()34871943 6.6261031018.8101/161/913.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于31→的跃迁，()()34871931 6.62610310 1.03101/9113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于32→的跃迁，()()34871932 6.62610310 6.56101/91/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯对于21→的跃迁，()()34871921 6.62610310 1.21101/4113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ （3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eV E =。
12. 解： P 的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s 22s 22p 63s 23p 3。
1s ，2s 和3s 的6个电子0l =)0=。
2p 和3p 电子的9个电子1l =，)2=，该轨道角动量在z 方向的投影可以为0,,m =-。
13. 解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。
氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量1213.6eV 3.4eV 44E E -===-，其概率为1. 氢原子的角动量平方由l 决定，其表达式为()21l l +，从而该氢原子的角动量平方为()22212L l l =+=，其概率为1.氢原子的角动量z 分量由m 决定，其表达式为m，从而其可能取值为：())21220, 1/21/4, 23/4⎧==⎪⎨-==⎪⎩概率为P 概率为P 平均值为z 01/43/43/4L =⨯-⨯=-。
14. 解：氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为()()0022/2/10103/23024r a r a P r R r e ea a --===。
电子处于半径为0r 球的概率为()()020010002000221exp 2/1r r r P P r dr r a a a ⎛⎫==--++ ⎪⎝⎭⎰。
从而电子处在02r a ≥的概率为1减去电子处在半径为02a 球的概率，即()020020024004813exp 4/10.24r a a a P a a a a e ≥⎛⎫=-++=≈ ⎪⎝⎭(2) 求解超越方程()20000200221exp 2/10.9r r r a a a ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，可得002.66r a ≈15. 证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：()2,115,sin cos 8i Y e ϕθϕθθπ±±=在(),θϕ对应的立体角d Ω发现电子的概率为()()22222,11515,sin cos sin 2832P d Y d d d θθϕθθθππ±Ω=Ω=Ω=Ω 可见，当/4,3/4θππ=时有极大值。
16. 解：电子自旋的角动量的大小为/2L =， 球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221510J mR md ==，则其绕轴转动的角速度是22/251/10L J md md ω===表面最大的线速度是3411311555 6.62610/27.310m/s 249.10910110v d md ω---⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ 讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。
电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。
17. 解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm λλ==，两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P 能级高/低B B μ，能级差为2134892231121116.62610 2.99710588.995589.592103.4410J 2.1510eVB E B hv hc μλλ----⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭=⨯=⨯又242.2710J/T 2B eem μ-==⨯ 从而电子受到的磁场为()22243.441018.6T 229.2710B EB μ--⨯===⨯⨯ 三、问答题18. 氢原子中，电子处在原子核的有心力场作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解： （1） 氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n ； （2） 氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l ；（3） 电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m 。
能级简并是指对于任意能量E n ，有一个主量子数n ，但（n,l,m ）的组合总计有n 2个，相应的有n 2个波函数，它描述了电子处于同一能级E n 时的n 2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量E n ，这种情况称为能级的简并。
19. 案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。
案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。
20. 全同粒子是指静质量，电荷，自旋等禀属性完全相同的同类微观粒子。
