11-26氢原子的量子理论第26章-例题

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量子力学课后习题答案

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

8.8 氢原子的量子理论

L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也满足量子化条件：
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2d drຫໍສະໝຸດ (r 2dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
dΘ dθ
ml2
sin 2

原子物理学课后习题答案

第一章原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为220121()(1)4sinmZe r Mv θπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

z量子物理-第26章

1 Y 1 2Y (sin ) Y sin Y (sin ) 2 2
l (l 1)
2
1 1 2 Y l (l 1) 2Y (sin ) sin (sin ) 2 2
ˆ2Y l (l 1) 2Y L 角动量量子化 L l (l 1)
26.2.3 电子概率分布
1) 径向函数的节点数 nr 例如 nr为 0（ l =n-1）的态称为圆轨道：1s，2p，3d 3s 曲线有两个节点
n l 1
nr 2
n 1, l 0
2 n , n1 r 极大值位置为曲线 rn n 2 a -- 最概然半径
如基态 1s 态，有
(a) E>0，电子已不再受氢核的束缚，E可取连续值。氢原子处于电离状态。自由电子。 (b) E 0，求解方程（3），并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
me 1 me 1 En 2 2 2 2 2 2 2 32 0 n 8 0 h n
4 4
ˆ 2 2 L2 ˆ z L (sin ) 2 sin sin
ˆ i Lz
2 ˆ L2 2 2 z
由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：
2 1 2 1 1 2 (r ) (sin ) 2 V (r ) E 2 2 2me r r r sin sin (25-14) 式中 r, , 通常采用分离变量法求解，即设
Sz mS
mS — 自旋磁量子数
所以电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
自旋磁矩:
s

e s me
Sz 2em

[物理]26章氢原子的量子理论

L y ih cos ctg sin L z ih

2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z

2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x

y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数并且可得到：能量量子化

量子力学考试题

量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。

（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。

（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。

（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。

（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（i ）无自旋全同粒子。

（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

26 氢原子量子论

1
赖曼系
开始电离，基态电子能量
E1 13.60eV
电离能
E 13.60eV
13.60 E (eV)
（4）电子跃迁时辐射光的频率
Em En 1 1 v Rc( 2 2 ) h n m
2.氢原子中电子的波函数和能级简并度氢原子中电子的稳定状态由一组量子数 n, l, ml 决定，即每组量子数确定一个波函数，描述一个稳定的状态。

l =1
2
l =2
三、氢原子能级与光谱
1.能级
离散值
n 4 3 2
巴耳末系
14
me 1 En 2 2 2 8 0 h n
4
帕邢系
0 0.89 1.51 3.39
（1）能级 En 随 n 的增加而增高；（2）能级间距随 n 增加而减小；（3）当
n E 0
d 2 2 ml 0 2 d
(3)
7
ml2 1 d d sin 2 0 (4) sin d d sin
解方程（3）
z
P
Ae ( ) ( 2 )
iml 由自然周期条件

O
N lm (l m)! 2l 1 (l m)! 4π
正交，归一
1 d 2 dR 2m e2 l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 4 0 r r
10
（1）
把一定的 l 值代入方程（1）求解，分两种情况求解：（1） E > 0，电子已不再受氢核的束缚，E 可取连续值。
L x , L y i L z L y , L z i L x 角动量算符的对易关系 L2 , L x L2 , L y L2 , L z 0 z , L x i L y L

高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合附解析

2015高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合（附解析）2015高考物理二轮氢原子光谱、能级与动量守恒定律的综合（附解析）玻尔理论的基本内容能级假设：氢原子En＝E1n2，n为量子数．跃迁假设：hν＝E末－E初．轨道量子化假设：氢原子rn＝n2r1，n为量子数．4．(1)如图6－15－11所示是氢原子的能级图，氢原子由原子核和一个核外电子组成，电子可看作绕原子核做匀速圆周运动；轨道1(即能级1)上电子运动的半径为R1，轨道2(即能级2)上电子运动的半径为R2，电子的电荷量为e.则电子在轨道1上时的动能为________，氢原子从能级1跃迁到能级2的过程中吸收的能量为________．图6－15－11图6－15－12(2)如图6－15－12所示，在光滑水平地面上，有一质量m1＝4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧，位于小车上A点处的质量为m2＝1.0kg的木块(视为质点)与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力．木块与A点左侧的车面之间有摩擦，与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计．现小车与木块一起以v0＝2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v1＝1.0m/s的速度水平向左运动，取g＝10m/s2.①求小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中小车动量变化量的大小；②若弹簧始终处于弹性限度内，求小车碰撞后与木块相对静止时的速度大小和弹簧的最大弹性势能．解析(1)电子绕原子核做匀速圆周运动，ke2R21＝mv2R1，所以Ek1＝12mv2＝ke22R1；根据玻尔的跃迁理论得：氢原子从能级1跃迁到能级2过程中吸收的能量为E2－E1.(2)①小车与竖直墙壁发生碰撞的过程中，小车动量变化量的大小为Δp＝m1v1－m1(－v0)＝12kgm/s①②小车与墙壁碰撞后向左运动，木块与小车间发生相对运动将弹簧压缩至最短时，二者速度大小相等，此后木块和小车在弹簧弹力和摩擦力的作用下，做变速运动，直至二者再次具有相同速度，此后，二者相对静止．整个过程中，小车和木块组成的系统动量守恒，设小车和木块相对静止时的速度大小为v，根据动量守恒定律有m1v1－m2v0＝(m1＋m2)v②解得v＝0.40m/s③当小车与木块首次达到共同速度v时，弹簧压缩至最短，此时弹簧的弹性势能最大，设最大弹性势能为Ep，根据机械能守恒定律可得Ep＝12m1v21＋12m2v20－12(m1＋m2)v2④Ep＝3.6J⑤答案(1)ke22R1E2－E1(2)①12kgm/s②0.4m/s3.6J5．(2014山东菏泽模拟)(1)根据玻尔理论，某原子的电子从能量为E的轨道跃迁到能量为E′的轨道，辐射出波长为λ的光，以h表示普朗克常量，c表示真空中的光速，则E′等于________．A．E－hλcB．E＋hλcC．E－hcλD．E＋hcλ图6－15－13(2)如图6－15－13所示，在光滑的水平桌面上有一长为L＝2m的木板C，它的两端各有一块挡板，C的质量为mC ＝5kg，在C的中央并排放着两个可视为质点的滑块A与B，其质量分别为mA＝1kg、mB＝4kg，开始时A、B、C均处于静止状态，并且A、B间夹有少许炸药．炸药爆炸使得A以vA＝6m/s的速度水平向左运动，不计一切摩擦，两滑块中任一块与挡板碰撞后就与挡板合成一体，爆炸与碰撞时间不计，求：①当两滑块都与挡板碰撞后，板C的速度多大？②从爆炸开始到两个滑块都与挡板碰撞为止，板C的位移多大？方向如何？解析(1)E－E′＝hν＝hcλ，所以E′＝E－hcλ.故C正确，A、B、D错误．故选C.(2)炸药爆炸，滑块A与B分别获得向左和向右的速度，由动量守恒可知，A的速度较大(A的质量小)，A、B均做匀速运动，A先与挡板相碰合成一体(满足动量守恒)一起向左匀速运动，最终B也与挡板相碰合成一体(满足动量守恒)，整个过程满足动量守恒．①整个过程A、B、C系统动量守恒，有：0＝(mA＋mB＋mC)v，所以v＝0②炸药爆炸，A、B获得的速度大小分别为vA、vB.以向左为正方向，有：mAvA－mBvB＝0，解得：vB＝1.5m/s，方向向右然后A向左运动，与挡板相撞并合成一体，共同速度大小为vAC，由动量守恒，有：mAvA＝(mA＋mC)vAC，解得：vAC＝1m/s此过程持续的时间为：t1＝L2vA＝16s此后，设经过t2时间B与挡板相撞并合成一体，则有：L2＝vACt2＋vB(t1＋t2)，解得：t2＝0.3s所以，板C的总位移为：xC＝vACt2＝0.3m，方向向左．答案(1)C(2)①0②0.3m，方向向左。

玻尔的氢原子理论

玻尔的氢原子理论
为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内，电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证原子结构的枣糕式模型，完成了著名的α粒子散射实验.实验发现α粒子在轰击金箔时，绝大多数α粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但是大约有1/8 000的α粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，α粒子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一些穿透过去，一些反弹回来.
玻尔的氢原子理论
二、原子结构模型
1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？
玻尔的氢原子理论
三、玻尔的三点基本假设
为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分立性问题，玻尔提出以下三个假设：
（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动，但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动，当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处于稳定状态，具有一定的能量.不同的轨道，具有不同的能量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.
玻尔的氢原子理论
可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这样一个模型是根本不可能的，原因有以下两个：

中国石油大学华东量子力学习题及解答综合版-new

12、重要公式:
1) 光电效应方程： 1 2 m vm h 0 eU a eU 0 . 2 U0:逸出电压 2) 康普顿散射： h 0 (1 cos ). m0 c h E k A 反冲电子动能： Ek ( m m0 ) c 2 h ( 0 ). 3) 氢原子巴耳末公式： 1 1 ~ 1 R ( 2 2 ). ( n k ) k n ~ 1 E1 ( 1 1 ). ( n k ) h c k 2 n2
代入数值，得
1
k 2(巴耳末系)
1 1 再由 R( 2 2 )可求得， n 3 2 n
E1 En 2 n 始态 E3 1.51eV ; 终态 E2 3.4eV .
1
17. α 粒子在磁感应强度为 B= 0. 025 T 的均匀磁场中沿半径为 R = 0. 83 cm 的圆形轨道运动。（1）计算其德布罗意波长。（2）若使质量 m = 0. 1 g 的小球以与 α 粒子相同的速率运动，则其波长为多少？（mα =6. 64×10 -27 kg )
h 6. 63 10 34 J s 称为普朗克常量。
2、玻尔氢原子理论三条基本假设：
(1). 定态假设 . ( 2). 跃迁假设： nk 1 En Ek . h
h ( 3). 量子化条件假设L mvr n ： n . 2
3、爱因斯坦光子理论：
氢原子的能量完全由 n 决定。 L l (l 1) .
（2）角量子数 l 0, 1, 2, ..., (n 1).决定电子轨道角动量： (3) 磁量子数 ml 0, 1, 2, ...,l.决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量： Lz ml .

第26章_波粒二象性

（3）谐振子向外辐射或吸收能量前后，其能量也只能是上述诸状态之一。
13
普朗克在1918年获得诺贝尔物理学奖 4. 由普朗克公式可以得出
斯特潘——玻耳兹曼定律 M T 4
5.67 108 W/m2K4
维恩位移定律 mT b m C T
b 2.898103 mK C 5.880 1010 Hz /K
按照光的经典电磁理论：
• 光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！
· 只要光强足够大，就能产生光电效应。
• 光电子逸出金属表面所需的能量，是直接吸收照射到金属表面上的光的能量。当入射光的强度很微弱时，阴极电子需要一定的时间来积累能量克服逸出功。光电效应不可能瞬时发生！
20
光电效应方程
比较得：
1 2
mm2
h
A
h eK
A eU0Leabharlann 当1 2mm2
eK
eU 0
红限频率
0
＜A/h时，不发生光电效应。
A h
爱因斯坦成功解释了光电效应的实验规律
获得1921年诺贝尔物理学奖。
)
好的吸收体也是好的辐射体
6
三、黑体辐射实验定律实验曲线
M 0 (T ) /(W cm2μm1)
0 1 2 3 4 5 / μm
黑体的单色辐出度按波长的分布曲线
7
黑体辐射实验定律 1. 斯特藩-玻耳兹曼定律黑体的辐射出射度与黑体温度的四次方成正比
M0 (T ) T 4
斯特藩-玻耳兹曼常量 5.67 108 W/(m2 K4 )
av 1
Mv f v,T
黑体模型
5
5. 基尔霍夫辐射定律

近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋

L l(l 1)
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲，并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于基态时角动量为零。玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离也与实验符合得很好。
讨论四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后还有2种可能相当于还需一个自由度来表征
• 所以电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们，如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一。

《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题

《量⼦⼒学基础和原⼦、分⼦及晶体结构》习题和思考题《结构化学》课程作业题第⼀部分：《量⼦⼒学基础和原⼦结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。

如何正确对待归量⼦论？2. 电⼦兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒⼦的运动都是量⼦化的，都不能在⼀定程度上满⾜经典⼒学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔⽅程得来的线索。

求解该⽅程时应注意什么？5. 通过⼀维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔⽅程的算符表达式。

你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量⼦⼒学中的算符和⼒學量的关系怎样？8. 求解氢原⼦和类氢离⼦基态和激发态波函数的思想⽅法是怎样的？ 9. 通过氢原⼦薛定谔⽅程⼀般解的讨论明确四个量⼦数的物理意义。

10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电⼦云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电⼦原⼦的结构？作过哪些近似？⽤过哪些模型？试简单说明之。

12. 电⼦的⾃旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原⼦内电⼦运动时，我们是怎样考虑电⼦⾃旋的？*13. 哈特⾥-福克SCF 模型考虑了⼀些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表⽰原⼦的整体状态？光谱项、光谱⽀项各代表什么含义？洪特规则、选择定则⼜是讲的什么内容？15. 原⼦核外电⼦排布的规律是什么？现在哪些问题你⽐过去理解得更加深⼊了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想⽅法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原⼦光谱是⽤波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为⼤于2的正整数，试⽤⾥德伯常数H R ~求出c 值。

17. 试计算氢原⼦中电⼦处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。

氢原子的量子理论-作业(含答案)

第26章氢原子的量子理论习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω内的概率为_______________。

2. 泡利不相容原理是指______________，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是__________。

3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分别是：(1)(2)(3)(4)。

4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为__个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为____个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律：钾（Z=19）:铜（Z=29）: _____6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为____________________________。

7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。

8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。

9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。

10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。

二、计算题11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12. 写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。

高中物理氢原子光谱和玻尔的原子模型课后习题答案及解析

高中物理氢原子光谱和玻尔的原子模型课后习题答案及解析练习与应用1．什么是线状谱，什么是连续谱？原子的发射光谱是怎样的光谱？不同原子的发射光谱是否有可能相同？解析：线状光谱是原子中电子的两个束缚态能级之间跃迁所产生的发射或吸收光谱，因为能级之间的间隔是确定的并且是离散的，表现出尖锐的光谱线，叫做线状光谱；连续光谱是原子中处于束缚态的电子跃迁到自由散射态或者相反所产生的发射或吸收光谱，因为没有确定的能级间隔，表现出宽泛的，不确定的光谱带，叫做连续光谱；原子的发射光谱是线状光谱。

且不同原子的发射光谱一定不同，这个特点是判断元素种类的依据之一。

2．参考图4.4-6，用玻尔理论解释，当巴耳末公式n＝5 时计算出的氢原子光谱的谱线，是哪两个能级之间的跃迁造成的？解析：巴耳末公式n=5时计算出的氢原子光谱的谱线是量子数为5的能级跃迁到量子数为2的能级形成的。

3．根据巴耳末公式，指出氢原子光谱在可见光范围内波长最长的前两条谱线所对应的n，它们的波长各是多少？氢原子光谱有什么特点？答案：n=3时，λ=6.5×10 -7 m ，n=4时，λ=4.8×10 -7 m ，氢原子光谱是由一系列不连续的谱线组成的.4．如果大量氢原子处在n＝3的能级，会辐射出几种频率的光？其中波长最短的光是在哪两个能级之间跃迁时发出的？解析：3种频率的光，波长最短的光是从n=3的能级跃迁到n=1的能级时发出的光大量原子处在n=3的能级上，能辐射3种频率的光．波长最短的光是从n=3的能级跃迁到n=1的能级时发出的光5．请用玻尔理论解释：为什么原子的发射光谱都是一些分立的亮线？解析：根据玻尔理论，原子从高能级向低能级跃迁时，能量以光子的形式释放出去。

释放的光子能量为跃迁时两能级间能量差，由于原子能级分立而不连续，所以光子能量分立，发射光谱都是一些分立的亮线。

6．要使处于n＝2的激发态的氢原子电离，它需要吸收的能量为多大？氢原子基态能量E1=-13.6eV，由En=E1n2得：E2=E14=-3.4eV，所以要使处于n=2的激发态的氢原子电离，它至少需吸收的能量为3.4eV，吸收的能量等于3.4eV，正好电离，吸收的能量大于3.4eV，氢原子电离，而且还剩余一部分能量以电子的动能形式存在。

2大学物理量子力学的氢原子理论四个量子数 (1)

综上
电子状态：由 n, l, ml , m四s 个量子数决定。
轨道能量：由 n, l两个量子数决定。
(1) 主量子数 n ： n =1,2,3,… 决定电子能量的
大小
(2) 角量子数 l : l =0,1,2,…, n-1。决定电子轨道
角动量的大小。
(3) 磁量子数 m：l ml 0 ,1,2, ,l
2
2
采用分离变量法求解，令
(r,,) R(r) （）（）
（1）径向波函数方程
1 r2
d dr
(
r2
dR dr
)

2me 2
E

e2
4
0r

l(
l 1)
r2
R

0
（2）轨道角动量波函数方程
1
sin
d
d
(sin
d d
1 2
,
1 2
状态数为14, n大于等于4.
例：试问氢原子处于 n=2 能级有多少个不同的状态？并列出各个状态的量子数。
解：n=2 时的状态数为 2n2 个8。 l 可能取
值为 0，1两个值。
当 l 0 时， ml 0,
1 ms 2
or
1 ms 2
当 l 1 时，可能有
第六节
量子力学的氢原子理论
一、氢原子的定态薛定谔方程
势能分布
U (r) e2
4 0 r
属定态问题，符合定态薛定谔方程
h2

2me
2
U (r)

E
球坐标中的拉普拉斯算符：
2

1 r2

第二章玻尔氢原子理论习题

第二章玻尔氢原子理论1.选择题:(1)若氢原子被激发到主量子数为n 的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：A ．n-1B .n(n-1)/2C .n(n+1)/2D .n(2)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：A.R/4 和R/9B.R 和R/4C.4/R 和9/RD.1/R 和4/R(3)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：A ．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e(4)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：A ．13.6V 和10.2V;B –13.6V 和-10.2V; C.13.6V 和3.4V; D. –13.6V 和-3.4V(5)由玻尔氢原子理论得出的第一玻尔半径0a 的数值是：A.5.291010-⨯mB.0.529×10-10mC. 5.29×10-12mD.529×10-12m(6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：A.可能出现10条谱线，分别属四个线系B.可能出现9条谱线，分别属3个线系C.可能出现11条谱线，分别属5个线系D.可能出现1条谱线，属赖曼系(7)欲使处于激发态的氢原子发出αH 线，则至少需提供多少能量（eV ）?A.13.6B.12.09C.10.2D.3.4(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？A.1B.6C.4D.3(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为:A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.57eV(10)用能量为12.7eV 的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）；A ．3 B.10 C.1 D.4(11)有速度为1.875m/s 106⨯的自由电子被一质子俘获,放出一个光子而形成基态氢原子,则光子的频率（Hz ）为:A ．3.3⨯1015； B.2.4⨯1015 ； C.5.7⨯1015； D.2.1⨯1016.(12)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：A.1/10倍B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍(13)玻尔磁子B μ为多少焦耳／特斯拉？A ．0.9271910-⨯ B.0.9272110-⨯ C. 0.9272310-⨯ D .0.9272510-⨯（14）已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的“正电子素”那么该“正电子素”由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：A．3R/8 B.3∞R/4 C.8/3∞R D.4/3∞R∞(15)象μ-子（带有一个单位负电荷）通过物质时，有些在核附近的轨道上将被俘获而形成μ-原子，那么μ-原子基态轨道半径与相应的电子轨道半径之比为（μ-子的质量为m=206m e）A.1/206B.1/(206)2C.206D.2062(16)电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：A.-3.4eVB.+3.4eVC.+6.8eVD.-6.8eV(17)根据玻尔理论可知，氦离子H e+的第一轨道半径是：A．2a B. 40a C. 0a/2 D. 0a/4(18)一次电离的氦离子H e+处于第一激发态（n=2）时电子的轨道半径为：A.0.53⨯10-10mB.1.06⨯10-10mC.2.12⨯10-10mD.0.26⨯10-10m(19)假设氦原子（Z=2）的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以eV为单位至少需提供的能量为：A．54.4 B.-54.4 C.13.6 D.3.4(20）在H e+离子中基态电子的结合能是：A.27.2eVB.54.4eVC.19.77eVD.24.17eV(21)夫—赫实验的结果表明：A电子自旋的存在；B原子能量量子化C原子具有磁性；D原子角动量量子化(22）夫—赫实验使用的充气三极管是在：A.相对阴极来说板极上加正向电压,栅极上加负电压；B.板极相对栅极是负电压,栅极相对阴极是正电压；C.板极相对栅极是正电压,栅极相对阴极是负电压；D.相对阴极来说板极加负电压,栅极加正电压(23）处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后,其轨道半径增为原来的A．4倍 B.3倍 C.9倍 D.16倍λ=1026Å的光子后电子的轨道磁矩为原来的（）(24）氢原子处于基态吸收1倍：A．3； B. 2； C.不变； D.92．简答题:（1）19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？（2）用简要的语言叙述玻尔理论，并根据你的叙述导出氢原子基态能量表达式.（3）写出下列物理量的符号及其推荐值（用国际单位制）：真空的光速、普朗克常数、玻尔半径、玻尔磁子、玻尔兹曼常数、万有引力恒量.（4）解释下列概念：光谱项、定态、简并、电子的轨道磁矩、对应原理.（5）简述玻尔对原子结构的理论的贡献和玻尔理论的地位与不足.(6) 波尔理论的核心是什么?其中那些理论对整个微观理论都适用?(7) 为什么通常总把氢原子中电子状态能量作为整个氢原子的状态能量?(8) 对波尔的氢原子在量子态时,势能是负的,且数值大于动能,这意味着什么?当氢原子总能量为正时,又是什么状态?(9)为什么氢原子能级,随着能量的增加,越来越密?（10）分别用入射粒子撞击氢原子和氦粒子,要使它们在量子数n 相同的相邻能级之间激发,问在哪一种情况下,入射粒子必须具有较大的能量?（11）当原子从一种状态跃迁到另一种状态时,下列物理量中那些是守恒的? 总电荷,总电子数,总光子数,原子的能量,总能量,原子的角动量,原子的线动量,总线动量.（12）处于n=3的激发态的氢原子(a)可能产生多少条谱线?(b)能否发射红外线?(c)能否吸收红外线?(13) 有人说:原子辐射跃迁所相应的两个状态能量相差越大,其相应的辐射波长越长,这种说法对不对?(14) 具有磁矩的原子在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同?(15) 要确定一个原子的状态,需要哪些量子数?3．计算题:(1)单色光照射使处于基态的氢原子激发,受激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出10条谱线.问:①入射光的能量为多少？②其中波长最长的一条谱线的波长为多少？（hc=12400eV ·Å）(2)已知一对正负电子绕共同质心转动会形成类似氢原子结构-正电子素.试求：①正电子素处于基态时正负电子间的距离；②n=5时正电子素的电离能（已知玻尔半径0a =0.529Å）.(3)不计电子自旋当电子在垂直于均匀磁场B 的平面内运动时,试用玻尔理论求电子动态轨道半径和能级（提示： B v m E e n⋅-=ϕμ221 ; n me 2 =ϕμ n p =ϕ） (4)氢原子巴尔末系的第一条谱线与He +离子毕克林系的第二条谱线(6→4)两者之间的波长差是多少?(R H =1.09678×10-3 Å, R He =1.09722×10-3 Å) (5)设氢原子光谱的巴耳末系的第一条谱线αH 的波长为αλ,第二条谱线βH 的波长为βλ,试证明:帕邢系的第一条谱线的波长为βαβαλλλλλ-=(6) 一个光子电离处于基态的氢原子,被电离的自由电子又被氦原子核俘获,形成处于2=n 能级的氦离子He +,同时放出波长为500nm 的光子,求原入射光子的能量和自由电子的动能,并用能级图表示整个过程.(7) 在天文上可观察到氢原子高激发态之间的跃迁,如108=n 与109=n 之间,请计算此跃迁的波长和频率.(8) He +离子毕克林系的第一条谱线的波长与氢原子的巴耳末系αH 线相近. 为使基态的He +离子激发并发出这条谱线,必须至少用多大的动能的电子去轰击它?(9) 试用光谱的精细结构常数表示处于基态的氢原子中电子的速度、轨道半径、氢原子的电离电势和里德伯常数.(10) 计算氢原子中电子从量子数为n 的状态跃迁到1-n 的状态时所发出谱线的频率.(11) 试估算一次电离的氦离子He +、二次电离的锂离子Li ++的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

大学物理练习题氢原子理论薛定谔方程

大学物理练习题氢原子理论薛定谔方程练习二十三氢原子理论薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为?0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A ) 2.56eV 。

(B ) 3.41eV 。

(C ) 4.25eV 。

(D ) 9.95eV 。

2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A ) 9/8。

(B ) 19/9。

(C ) 27/20。

(D ) 20/27。

3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：(A ) 5/2。

(B ) 5/3。

(C ) 5/4。

(D ) 5。

4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(A ) 增大D 2倍。

(B ) 增大2D 倍。

(C ) 增大D 倍。

(D ) 不变。

5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。

应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：(A ) ?/(ma 2)。

(B ) ?2/(2ma 2)。

(C ) ?2/(2ma )。

(D ) ?/(2ma 2)。

6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ(A ) 只需满足归一化条件。

(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。

(C ) 只需满足连续与归一化条件。

(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。

7. 反映微观粒子运动的基本方程是(A ) 牛顿定律方程。

(B ) 麦克斯韦电磁场方程。

(C ) 薛丁格方程。

(D ) 以上均不是。

8. 已知一维运动粒子的波函数为()()??==?0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =(A)k1。

(B) 1/k2。

(C)k。

(D) 1/k。

9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出(A) 一种波长的光。

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