圆(一)M

10 + 3 − + = 0
= 12
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
本例也可以设成圆的
标准方程，请同学们
自己完成。
（三）典型例题
【变式探究】
若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，
且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【类题通法】用待定系数法求圆的方
≤
，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤
.
7
7
7
（三）典型例题
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
8 + 2 + 2 + = 0
= −8
由题意得 34 + 5 + 3 + = 0 ,得 = −2
=
= −12
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
接关系，一般采用圆的一般方程，再
用待定系数法求出参数D，E，F.
（三）典型例题
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径
为 2，求圆的一般方程．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
1
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝2|MB|，
1
4
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(x－2)2＋y2＝ [(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，

7.6 圆的方程课时安排3课时从容说课圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.●课题§7.6.1 圆的方程（一）●教学目标（一）教学知识点圆的标准方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的标准方程；2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.培养学生的思维素质；3.提高学生的思维能力.●教学重点已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.●教学难点根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.●教学方法引导法引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.●教具准备投影片两张第一张：§7.6.1 A第二张：§7.6.1 B例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01 m）.●教学过程Ⅰ.课题导入我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？Ⅱ.讲授新课（打出投影片§7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.［师］整理此式，可得到……［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2.［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……［生］x 2+y 2=r 2.［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.下面，我们看一些例子.［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.解：已知圆心是C （1，3），∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.由点到直线距离公式，可得r =516)4(3734132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=25256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此直线斜率即可.解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴k =-11k . ∵k 1=00x y .∴k =-00y x .∴经过点M 的切线方程是：y -y 0=-00y x (x -x 0),整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又∵点M （x 0,y 0)在圆上，∴x 02+y 02=r 2.∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.可看出上面方程也同样适用.（打出投影片§7.7.1 B)［例3］这是一实际应用例子.分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52∴圆方程为：x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y ＞0∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.Ⅲ.课堂练习［生］课本P 77,练习1，2，3，4.1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；解：x 2+y 2=9.（2）圆心在点C （3，4），半径是5；解：（x -3）2+(y -4)=5.(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=252.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求圆的方程.解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =14347022=+.∴圆方程为：x 2+y 2=196.3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解：利用例2结论可得：切线方程为2x +6y =10.4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求：（1）斜率等于1的切线的方程.（2）在y 轴上截距是2的切线的方程.解：（1）设切点坐标为M (x 0,y 0)则k OM =-1=0x y又∵x 02+y 02=1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222222220000y x y x 或∴切线方程为y ＋22=x -22或y -22=x +22即:y =x ±2.（2）设切点M （x 0,y 0），切线与y 轴交点B （0，2）则：k OM ·k BM =-1 即00002x y x y -⋅=-1x 02+y 02-2y 0=0又∵x 02+y 02=1(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ［例3］ ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +2.Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2.最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 81习题7.6 1,2,3,4.(二）1.预习内容：课本P 77～792.预习提纲：（1）圆的一般方程有何特点？（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？●板书设计§7．6．1 圆的方程（一）一、圆的标准方程［例1］［例2］。

知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.

圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。