含有圆的组合图形的面积(方与圆)
- 格式:doc
- 大小:374.50 KB
- 文档页数:4
外圆内方圆的面积公式在数学的奇妙世界里,各种图形的面积计算总是引人入胜。
今天,咱们就来好好探讨一下外圆内方圆的面积公式。
首先,咱们得弄清楚啥是外圆内方圆。
简单说,就是一个大圆里面套着一个正方形,正方形的四个顶点都在圆上。
这种组合图形在实际生活和数学问题中可不少见呢!那怎么来计算它的面积呢?咱们分开来看。
先说说圆的面积。
圆的面积公式大家应该都不陌生,那就是 S =πr²,这里的 S 表示圆的面积,π是圆周率,约等于 314159,r 呢则是圆的半径。
再看看正方形。
要计算正方形的面积,就得先知道它的边长。
对于外圆内方的情况,这个正方形的对角线长度正好就是圆的直径。
假设圆的半径是 r,那么直径就是 2r。
因为正方形的对角线把正方形分成了两个全等的等腰直角三角形,根据勾股定理,正方形的边长 a 就可以算出来啦,a²+ a²=(2r)²,也就是 2a²= 4r²,所以 a²= 2r²,那么正方形的面积就是 S 正= a²= 2r²。
接下来,咱们就可以算出外圆内方圆的面积啦。
外圆内方圆的面积=圆的面积正方形的面积,也就是 S =πr² 2r²=(π 2)r² 。
为了更好地理解这个公式,咱们来举个例子。
假设圆的半径 r 是 5 厘米,那么圆的面积就是 314×5²= 785 平方厘米,正方形的面积是2×5²= 50 平方厘米,外圆内方圆的面积就是(314 2)×5²= 285 平方厘米。
可能有人会问了,这个公式有啥用呢?用处可大啦!比如说在建筑设计中,要设计一个圆形花坛中间有一个正方形的雕塑底座,知道了花坛的半径,就能很快算出除去雕塑底座所占面积后,还能用来种花的面积有多少。
在制作圆形的糕点,中间要放上一个方形的夹心,也能通过这个公式算出周边糕点部分的面积。
苏教版五年级下《圆的组合图形面积的计算》《苏教版五年级下〈圆的组合图形面积的计算〉》在我们的数学学习中,图形的面积计算一直是一个重要的部分。
当我们遇到圆与其他图形组合而成的复杂图形时,如何准确、快速地计算出它们的面积,就成为了一项具有挑战性但又十分有趣的任务。
今天,就让我们一起来探索苏教版五年级下《圆的组合图形面积的计算》。
首先,我们要明确什么是圆的组合图形。
简单来说,就是由圆和其他常见图形(如三角形、矩形、梯形等)组合在一起形成的新图形。
比如,一个半圆和一个矩形拼在一起,或者一个圆里面挖去了一个三角形。
那为什么要学习圆的组合图形面积的计算呢?这是因为在我们的日常生活和实际应用中,很多物体的形状并不是简单的单一图形,而是由多种图形组合而成的。
比如,一个圆形花坛周围有一圈矩形的小路,要计算这条小路的面积,就需要用到圆的组合图形面积的计算方法。
接下来,让我们看看计算圆的组合图形面积的基本思路。
第一步,要仔细观察图形,把组合图形分解成我们熟悉的基本图形。
这就像是把一个复杂的大问题分解成一个个小问题,逐个解决。
第二步,分别计算出各个基本图形的面积。
对于圆的面积,我们都知道公式是 S =πr²,其中π通常取 314,r 是圆的半径。
而对于三角形的面积公式是 S = 1/2 ×底 ×高,矩形的面积是 S =长 ×宽,梯形的面积是 S =(上底+下底)×高 ÷ 2 。
第三步,再根据图形的组合方式,把各个基本图形的面积进行相加或者相减,就能得到组合图形的面积。
举个例子,假设有一个图形是由一个正方形和一个半圆组成的。
正方形的边长是 8 厘米,半圆的直径等于正方形的边长。
我们先分别计算正方形和半圆的面积。
正方形的面积= 8×8 = 64 平方厘米。
半圆的半径= 8÷2 = 4 厘米,半圆的面积= 1/2×314×4²= 2512 平方厘米。
1、求左面阴影部分的面积。
(单位:米)提示:环形面积=外圆面积-内圆面积1.已知圆的半径,求面积,用圆周率乘以半径的平方可以得到。
2.已知圆的半径,求面积,用圆周率乘以半径的平方可以得到。
3.最后用外圆的面积-内圆面积得到阴影部分的面积。
答案:3.14×10×10=314平方米3.14×6×6=113.04平方米314 - 113.04=200.96平方米求左面阴影部分的面积。
(单位:米)提示:阴影面积=外半圆面积-内半圆面积1、已知圆的半径,求圆的面积,用圆周率乘以半径的平方可以得到。
再求圆面积的1/2,就用圆的面积乘以1/2。
2、已知圆的半径,求圆的面积,用圆周率乘以半径的平方可以得到。
再求圆面积的1/2,就用圆的面积乘以1/2。
3、最后用外半圆的面积-内半圆面积得到阴影部分的面积。
答案:3.14×72×72×1/2=8138.88平方米3.14×43×43×1/2=2902.93平方米8138.88 - 2902.93=5235.95平方米求左面阴影部分的面积。
(单位:米)提示:阴影部分面积可以用正方形的面积减去圆形的面积。
1、求正方形面积已知正方形的边长,求面积,用边长乘以边长可以得到。
2、求圆面积已知圆的直径,求面积,先用直径除以2得到半径,再用圆周率乘以半径的平方可以得到。
3、求阴影面积,用正方形面积减去圆的面积答案:1、正方形面积32×32=1024平方米2、圆面积32÷2=16米3.14×16×16=803.84平方米3、阴影面积1024- 803.84=220.16平方米求左面阴影部分的面积。
(单位:米)提示:阴影部分面积可以三角形面积减去右空白面积。
三角形面积是长方形面积的一半,右空白面积是长方形面积与半圆面积差的一半。
长方形的长就是圆的直径,宽是圆的半径。
六年级上册数学第五单元集体备课表格式教案(新审定人教版)第五单元《圆》集体备课教案六年级上册设计者:施教者:教学内容含有圆的组合图形的面积(环形)课型新授课教学目标 1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征,掌握计算组合图形的面积的方法,并能准确掌握和计算简单组合图形的面积。
2、通过自主合作,培养学生独立思考、合作探究的意识。
一、探索交流,解决问题 4.导入新课:这节课我们一起来探讨环形的知识。
(板书课题:圆环的面积) 二、创设情境,认识圆环 1.师:我们来欣赏一组美丽的图片。
课件出示圆形花坛、圆形水池外的圆形甬路、奥运五环标志、光盘…… 2.同学们,你们从图中发现了什么?(它们都是环形的) 3.教师拿出环形光盘说明:像这样的图形,我们称它为圆环或环形。
你还知道生活中有哪些环形的物体?它们给我们的生活带来了怎样的变化?三、学习新知 1.画一画,剪一剪,发现环形特点。
(1)画一画。
让学生在硬纸板上用同一个圆心分别画一个半径为10厘米和5厘米的圆。
(2)剪一剪。
指导学生先剪下所画的大圆,再剪下所画的小圆。
3.课件出示例2。
光盘的银色部分是一个圆环,内圆半径是2 cm,外圆半径是6 cm。
圆环的面积是多少?四、巩固练习,拓展提高完成教材68页做一做第2、题。
板书设计或要点圆环的面积圆环面积=外圆面积-内圆面积 S环=πR2-πr2或S环=π×(R2-r2)第五单元《圆》集体备课教案六年级上册设计者:施教者:教学内容含有圆的组合图形的面积(方与圆)课型新授课教学目标 1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征,掌握计算组合图形的面积的方法,并能准确掌握和计算简单组合图形的面积。
2、通过自主合作,培养学生独立思考、合作探究的意识。
教学重点组合图形的认识及面积计算、图形分析教学难点组合图形的认识及面积计算、图形分析教具学具圆规、直尺教学内容个人修改设计一、探索交流,解决问题上一节课我们一起来探讨环形的知识。
圆的组合图形面积姓名:【知识与方法】要解决与圆有关的题目,需要注意以下几点:1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式:圆的面积= 圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=(n是圆心角的度数)2、掌握解题技巧和解题方法:加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。
例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这是最基本的方法:圆面积减去等腰直角三角形的面积,×-2×1=1.14(平方厘米)例2.正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r,因为正方形的面积为7平方厘米,所以=7,所以阴影部分的面积为:7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的面积,所以阴影部分的面积:2×2-π=0.86平方厘米。
解:同上,正方形面积减去圆面积,16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见,我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”,是用两个圆减去一个正方形,π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外:此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径是小圆的3倍,问:空白部分甲比乙的面积多多少厘米?解:两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分)π-π()=100.48平方厘米(注:这和两个圆是否相交、交的情况如何无关)例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2,求)正方形面积为:5×5÷2=12.5所以阴影面积为:π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
圆的组合图形面积姓名:【知识与方法】要解决与圆有关的题目,需要注意以下几点:1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式:圆的面积= 圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=(n是圆心角的度数)2、掌握解题技巧和解题方法:加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。
例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这是最基本的方法:圆面积减去等腰直角三角形的面积,×例2.正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r,因为正方形的面积为7平方厘米,所以=7,所以阴影部分的面积为:7-=7-例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:最基本的方法之一。
用四个例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:同上,正方形面积减去圆面积,16-π(例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见,我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”,是用两个圆减去一个正方形,π(1题中阴影部分的8倍。
例6.如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径是小圆的3倍,问:空白部分甲比乙的面积多多少厘米?解:两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分)π-π((注:这和两个圆是否相交、交的情况如何无关)例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方形下部空白部分面积,割补以后为圆,所以阴影部分面积为:π(例9.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成一个长方形,所以阴影部分面积为:2×3=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:同上,平移左右两部分至中间部分,则合成一个长方形,所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)11、例13.求阴影部分的面积。
组合图形的面积之方与圆教学目标:1.让学生在“方中圆”的问题情境中,发现正方形和圆面积之间的关系,培养学生提出问题的能力,激发学生自主探究的欲望。
2.让学生在探求问题的过程中,利用思维导图进行教学,让学生初步感知组合图形的面积的研究方法,获得探究的基本经验,体验数学之间的密切联系。
3.让学生在数学活动与讨论交流中,培养学生联想类推和独立探究的能力,提高学生解决问题的能力,增强合作的意识,树立学好数学的自信心,提高数学素养。
教学重点:方与圆组合图形的面积的计算方法探究方法教学设计:一、引入问题出示一张正方形和圆形的纸d=10cm r=10cm1,分别求出正方形和圆形的面积?多媒体显示:2,组合图形的面积?生1:知道正方形的面积怎样求出圆的面积?生2:知道圆的面积怎样求出正方形的面积?生3:正方形与圆的面积有什么关系?师:今天这节课,我就和同学们一同探求“方中圆”里,正方形与圆面积的大小关系,相信同学们一定会有很多美妙的发现!【意图:从学生熟悉的图形中,引出问题情境,新异而富有挑战性的问题由学生提出,有利于激发学生探究的欲望。
】二、提出猜想2.除了上面的那种组合,面积不变的情况下,还可以怎么组合呢?(课件演示学生的猜想)2.外方内圆组合图形的面积=正方形的面积-圆形的面积学生比较容易的得出答案。
3.外圆内方组合图形的面积=圆形的面积-正方形的面积学生尝试解题――发现问题――学生讲解自己的思考过程――转化--三角型面积不变,求处半径?师:你们在解题的过程再哪里遇到问题?生:没有办法求出半径?师:谁能说出自己的思维过程?生:添直径转化到三角形中来求出半径。
3,外圆中方内圆(1)学生独立完成(2)一个学生上台讲解。
(3)你发现了什么有趣的事情生1:我发现内圆的面积跟环形的面积相同!生2:特别有趣,内圆的面积等于外圆面积的一半师:这是巧合还是规律学生自己探究举例发现规律这是规律!四、激励研究师:方与圆还有哪些组合的图形的面积?生提出很多的问题,教师一一课件显示师:这些问题都值得我们去思考,你准备选择其中哪个问题去研究?学生自由选择师:我建议你们选择同一个问题的同学组成一个数学研究课题小组,志同道合,众志成诚。
店上联校枣臻小学导案
年级六备课时间课型新授主备人李红梅审核人课时
备课内容含有圆的组合图形的面积(方与圆)
教学目标
1.让学生结合具体情境,认识组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。
2.通过自主合作,培养独立思维,合作探究的意识。
教学
重难
点
组合图形的认识及面积计算、图形分析
教法
指导
引导学生小组合作交流,讨论总结规律方法。
教具
运用
圆规、直尺、多媒体课件
导学流程
一、知识铺垫
生活中我们经常能看到圆形的物体,还常常看到圆和其他图
形组成的图形,像这样有几个简单的图形组合而成的图形叫组合
图形。
组合图形在日常生活中有着广泛的应用,
二、自主探究
1.实践操作
(1)这两种设计有什么联系和区别?
左边的雕窗外面是方的里面是圆的;右边的雕窗外面是
( )的里面是( )的。
都是由( )和( )这两个图形组
成的。
我们可以将上述特征分别概括地称为外( )内
( )、外( )内( )。
(2)用学具组合出这两个图形。
二次备课及
备课诠释
导学流程
2.解决问题
3.回顾反思,理解算法
(1)如果两个圆的半径都是r,结果又是怎样的?结合左图我们一起来算一算。
(2)右图中正方形和圆之间部分的面积怎样算呢?
三、课堂达标
1.圆的周长是6
2.8厘米,求正方形的面积。
2.圆的半径是4分米,求圆和正方形之间部分的面积。
3.求阴影部分面积。
4.正方形的边长是10厘米,求阴影部分的面积。
板书设计
方与圆的面积
d=a r=
左图外方内圆右图外圆内方
S
正
-S圆=2r2-3.14r2=0.86r2 S圆-S正=3.14r2-×2=1.14r2
教后反思
店上联校枣臻小学学案
年级六科目数学课型新授课学习主人学习时间课时
学习内容含有圆的组合图形的面积(方与圆)
学习目标
1.让学生结合具体情境,认识组合图形的特征,掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积的方法。
2.通过自主合作,培养独立思维,合作探究的意识。
学习
重难
点
组合图形的认识及面积计算、图形分析
学法
指导
小组合作交流,讨论总结规律方法学具
运用
学案
学习流程
一、知识铺垫
生活中我们经常能看到圆形的物体,还常常看到圆和其他图形组成的图形,像这样有几个简单的图形组合而成的图形叫组合图形。
组合图形在日常生活中有着广泛的应用,
二、自主探究
1.实践操作
(1)这两种设计有什么联系和区别?
左边的雕窗外面是方的里面是圆的;右边的雕窗外面是( )的里面是
( )的。
都是由( )和( )这两个图形组成的。
我们可以将上述特征分别概括地称为外( )内( )、外( )内
( )。
(2)用学具组合出这两个图形。
学习流程
2.解决问题
3.回顾反思,理解算法
(1)如果两个圆的半径都是r,结果又是怎样的?结合左图我们一起来算一算。
(2)右图中正方形和圆之间部分的面积怎样算呢?
三、课堂达标
1.圆的周长是6
2.8厘米,求正方形的面积。
2.圆的半径是4分米,求圆和正方形之间部分的面积。
3.求阴影部分面积。
4.正方形的边长是10厘米,求阴影部分的面积。