苏教版必修5《2.3.1等比数列的概念》同步作业含答案解析

理课时作业用在学生用书中，此内容单独成丘@~. 11 ........................所以数列｛广｝是以1为首项，J 为公比的等比数列, a n21X[1— (2)5] 31其前5项和为S5= 1= 16.「2[学业水平训练]一、填空题1.等比数列｛a n ｝的公比q=2,首项a 1 = 2,那么S n=.n 、解析：S n=——-——=2n +〔一 2.1 — 2答案：2n +1 —22.(2021苏州高二检测)等比数列｛a n ｝中，a 〔 = 2,前3项和6=26,那么公比q 为 解析：由 S 3= a 1(1+ q+q 2) = 2(1+q+q 2) = 26, 得 q 2+q —12=0,，q=3 或 q=—4.答案: 3.设 3或—4a n = n+2n 1,那么其前10项之和Sio =解析：S 10= 〔1 +2+…+ 10〕+〔1 + 2+4+…+ 29〕 = 55 +210— 1=210 + 54= 1 078.答案：1 078.......... 1 ,,4,｛an ｝是公比为2的等比数列，假设a 〔 + a4+…+ a97=200,那么a3 + a6+…+ a§9 =解析：a 3+a 6+ …+ a 99= a 1q 2+ a 4q 2+ …+a97q 221、，=q (a 〔+ a 4+ …+ a 97)=4x 200= 50.答案：505.等比数列｛a n ｝共2n 项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,那么公比qS^+S^M = - 240, 解析： 1回—S 偶= 80,. S 奇=-80, S 偶=一 S 禺 . q = —= 2.S 奇答案：2160,6.｛a n ｝是首项为 前5项和为.解析：假设q= 1,那么由 1的等比数列，Sn 是｛an ｝的前n 项和，且9s3=4,那么数列｛匕的a n9s 3=S 6得9X3a i = 6a i,那么a i=0,不满足题意，故qw 1.由 9s3=0得 9X - 3 6、a1〔 1 一q 〕 a1〔 1 —q 〕= ,解得q=2. 故 a n= a 1q n 1 = 2n 11 — q O n=〔2〕n 17.用一批砖砌墙，第一层 (底层)用去全部砖块的一半多 1块，第二层用去余下的一半多1块……依此类推，如果到第八层砌完后恰好将砖块全部用完，那么砖块共有 块.解析：设砖块数为S,第i 层的砖块数为a4i=1, 2,…，8).由题意，a 1=|+1, a 2 =S-a 1 一 S . 1 S , 1-2- + 1=4+2，a 8 = 28+27, 且 a 1+a 2+…+ a 8= S.，—一 S S 1 S 1从而 S =〔-+1〕+〔4+2〕+ +〔28+27〕 S S S 1 1=〔2+4+…+28〕+〔1 + 2+ …+ 歹1 - 1=〔1—28〕S+ 2〔1 — 28〕.， 1、 2 〔 1一罚解得 S= -------- 1 ----- = 510.28答案：510 二、解答题8 .在数列｛a n ｝和｛b n ｝中，假设a 1 = 2,且对任意白自然数 n, 3a n+I 一a n=0, b n 是a n 与a n + 1的等差中项，主成列｛b n ｝的前n 项的和T n .11解：由题设可知数列｛a n ｝是首项为2,公比为&的等比数列，那么a n=2〔3〕n 1,又 2bn=an+an + 1= 2 〔3〕 n — 1 + 2 〔3〕n ,. bn=〔3〕n 1+ 〔3〕n =4 〔3〕n .3[1—4)n ] 1n所以 Tn= ----------- 1 ------- = 2[1 — (3)n] .1-39 .数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列，它的前 n 项和为 项为54,它的前2n 项和为6 560,求该数列的首项 a 1和公比q.解：由题意可知 q>0,且qw1(假设q=1,那么有S 2n =2S,与题意不符，故 q*,)那么n 、a a 1 〔1 — q 〕----------------- =80, ① 1 — q/ x 2n 、 a 1 〔1 一 q 〕=6 560.②1 - q1 _ 2n②+①，得—q7=82,解得qn=81.1 — q答案:31 1680,且前n 项中数值最大的 ~ 一 一、，…4 , ， 1 ,,……所以数列｛b n ｝是首项为7,公比为W 的等比数列，又因为q>0,所以q>1.故数列｛a n ｝的前n 项中a n 最大，所以a n=54, 即 a 1q n 1=54.③ai=q-1,将qn=81分别代入①，③，得f13ai= 2q,解得 a1 = 2, q = 3.［高考水平训练］ 一、填空题1 .设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，a n=1 +2 + 22+…+ 2nT,那么S n 的值为9-1 • 1 —2n)n解析：a n =1 + 2+2+…+ 2 - = = 2 — 1,1—2「Sn= a 〔+ a2 + …+ an= (21-1)+(22-1)+ …+(2n — 1)n 、= (2+22+ -+2n )-n= ----------------------------- -n1 —2 = 2n +1 - n-2. 答案：2n+1-n-22 .设等比数列｛a n ｝的公比为q,前n 项和为S n,假设S n+1, S n, S n+2成等差数列，那么q 的 值为.解析：因为S n + 1, Sn, S n + 2成等差数列， 所以 S n —S n+1=S n+2—S n ,即一a n+1 = a n+2 + a n + 1.a n + 2所以 a n+2=— 2a n+1.所以 q = =一2.a n + 1答案：—2 二、解答题3 .某房屋开发商出售一套 50万元的住宅，有两种付款方式： (1)首彳5万元，以后每 过一年付5万元，9年后付清；(2)一次性付款，并可优惠 x%.如果在今后的9年内银行一年 期定期存款税后利率为 2%,按复利计算.问：开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次 性付款？(参考数据 1.029^1.20, 1.0210^1.22, 1.0211^1.24)解：由题意可知 50(1-x%)(1+2%)9< 5X (1.029+ 1.028+…+ 1.02+1),1.0210-1整理得>x%W 小商―〜0.916 7,所以 x%>8.33%.所以一次性付款的优惠率不低于8.33%时可以鼓励购房者一次性付款.4 .数列｛a n ｝中, n+1 一*—2- - a n+1(n C N ).(1)求数列｛a n ｝的通项 (2)求数列｛n 2a n ｝的前(3)假设存在nCN *,使得a nW (n+1)入成立，求实数 入的最小值.n+ 1 小斛.(1) , a 1 + 2a 2 + 3a 3 +…+ na n = ? a n+1,①n. aI + 2a2+ 3a3 + …+ (n — 1)an —1 = 2an, n > 2, ②ai=1, a ［+2a2 + 3a3 + …+ nan= an, n 项和Tn ；n+1n 口.an +1 3n ,、~na n=-2-a n+1—2a n, 即-a- = ---------------------------- (n>2).1 (n= 1),(2)由(1)知，当n>2时, 所以当n=1时，「=1;当 n>2 时，Tn=1 + 4 30+6 31+…+ 2n 3n ① . 3T n=3+4 31+ …+ 2(n-1) 3n 2+2n 3n1,② ①一②，得 T n = 2+ (n-2) 3n 1(n>2).又,「「= 21 = 1也满足上式，1 1 n 1*所以 T n = 2+(n —2) 3 (nC N ).11 a 1 11又 ----- =［及故所求实数 入的最小值为；.f (2) 3 2 23 由，得a 3.'a n= a 2 一 a 2 a2 = ai = 1.a n a n 12Q n =n 3 2(n>2).①一②，得 故 an= * 2 3n 2 (nA 2) nn 2a n= 2n 3n 2.⑶a n w (n+1)入等价于后a n n+ 1由(1)可知，当n>2时,n 2a n 2 3n+ 1 n (n+ 1)设 f(n)n ( n+ 1)—^^(n>2,n€ N )，那么 f(n+1)-f(n) = 2 3 2 (n+ 1) (1 — n)n_ 12 3- 1<0, .： ------------f (n+ 1)。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝ .【解析】 因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【★答案☆】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【★答案☆】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝ ，ac ＝ .【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.【★答案☆】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝ .【导学号：92862049】【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【★答案☆】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ .【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.【★答案☆】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 ． ①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}． 【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【★答案☆】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10.【★答案☆】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝ .【导学号：92862050】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【★答案☆】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)．(1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n .∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于 ．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【★答案☆】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝ .【导学号：92862051】【解析】∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵a n>0，∴a3＋a5＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是．【解析】由a n＝2S n－3，得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，a na n－1＝－1(n≥2)．故{a n}是公比为－1的等比数列，令n＝1，得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故a n＝3·(－1)n－1.【★答案☆】a n＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是()A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =,前3项和326S =,则公比q 为()A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于()A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =() A.64B.66C.2603D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =g ,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=()A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=L ()A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n - D.1(41)3n-二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤， 11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=g,且前n 项和126n S =， 求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案： 1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+9.2710.⎛ ⎝⎭11.由211128n n a a a a -==gg ,又166n a a +=得,1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。

等比数列练习一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若{a n}是等比数列，则的值为(A)(B)(C)(D)(2)已知{a n }是等比数列，且a n >0，，那么a3＋a5的值是(A)5 (B)10 (C)15 (D)20(3)设等差数列{a n}的公差d不为0，．若是与的等比中项，则(A)2(B)4(C)6(D)8(4)等比数列{a n}中，若，，则公比q=(A)1 (B)2 (C) (D)(5)数列{a n}是单调递减的等比数列，若，，则a n=(A)或(B)(C)或(D)二、填空题：(6)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x+7=0的两个根，则(7)等比数列{a n}中a n>0，，则(8)设{a n}为公比的等比数列，若和是方程4x²－8x+3=0的两根，则___.三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

(9)在数列{a n}中，前n项和为S n，已知a1=1.5，a2=2，并且S n+1－3S n＋2S n＋1－1＝0(n≥2,n∈N*)。

(1)求证：数列{a n－1}(n∈N*)为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式。

(10)设数列{a n}和{b n}满足a1=b1=6，，，且数列是等差数列，数列是等比数列；(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由.等比数列答案(1)A(2)A(3)B(4)C(5)D(6)1，1(7)10(8)18(9)解：由S n+1－3S n＋2S n－1＋1＝0得S n+1－S n＝2(S n－S n－1)－1，即，∴，又，，即，∴是首项为，公比的等比数列，∴，∴(10)解：(1)(2)设，当时，是增函数，而，所以，当时，；又，故不存在满足。