人教版高中数学必修5同步练习,基本不等式(二)

《均值不等式》同步训练题一、知识点总结1、 (1)若，则R b a ∈,ab b a 222≥+(2)若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,222b a ab +≤b a =2、 (1) 若，则；(2) 若，则 *,R b a ∈abb a 2≥+*,R b a ∈ab b a ≥+2(3)若，则(当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab b a =3、 若，则(当且仅当时取“=”）0x >12x x+≥1x =若，则(当且仅当时取“=”）0x <12x x+≤-1x =-若，则(当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或b a =4、若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b ab a +≤+b a =5、20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+二、基础训练题1、下列不等式的证明过程正确的是（ ）A. 若，，B. 若，，则a b ∈R 2=⋅≥+b a a b b a a b a b ∈+R ba b a lg lg 2lg lg ⋅≥+C. 若，则 D. 若，则0<x 4-424=⋅-≥+xx x x 0<x 222222=⋅>+--x x x x 2、设且，则、、、中最大的是 b a <<01=+b a 21b ab 222b a +3、正数满足，求证：c b a ,,1=++c b a abc c b a 8)1)(1(-1≥--）（4、已知.求证：（1）； 0,0a b >>22a b a b b a+≥+5、已知，都是正数，如果＝1，那么+的最小值为a b ab a b 6、函数y ＝x ＋(x ＞0)的值域为 1x 7、已知，则的最小值等于 0>x xx 432++8、函数取得最小值时的实数 22821)(xx x f ++==x 9、设0＜x ＜1，则取得最大值时， _________，的最小值为)33(x x y -==x y _________10、已知，函数的最大值. _________ 01x <<y =11、设，函数的最大值_________ 230<<x )23(4x x y -=12、，函数_________ 203x <<y =13、函数（）的最大值为_________ xx y 432--=0>x 14、设实数满足，则取得最小值时对应的_________ x 1->x 11++=x x y =x 15、函数的最小值为_________ 231,(0)x x y x x++=>16、函数的最小值为_________ 12,33y x x x =+>-17、若函数f(x)＝x ＋(x>2)在x ＝处取最小值，则＝________；＝________1x －2a b a b 18、已知，则的最大值为_________ 45<x 54124)(-+-=x x x f 19、已知,则f(x)= 有最_______值为_________ 5x 2≥24524x x x -+-20、的值域为_________ 2710(1)1x x y x x ++=>-+21、设x >－1，则函数的最小值是________1)3)(5(+++=x x x y 22、已知实数满足，则的最大值为_______,x y 221x xy y -+=x y +23、若，，且，则的最小值为 ； 的最小值为 0>x 0>y 131=+yx y x 3+xy 24、已知正数满足，则的最小值为_______y x ,12=+y x y x 11+25、已知x>0，y>0，且＋＝4，则x ＋2y 的最小值是_______2x 1y26、，则的最小值是_______140,0,1x y x y>>+=若且x y +27、已知正数x 、y 满足，则的最小值是_______211x y +=2x y +28、已知，且，则的最小值_______,a b R +∈322a b +=11a b +29、已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则＋的最小值为_______2a 1b30、若两个正实数x 、y 满足，且不等式有解，则实数m 的取141x y +=234y x m m +-＜值范围是_______31、已知， ， ，则的最小值是_______0x >0y >2280x xy y ++-=2x y +32、实数x ，y 满足x+y﹣4=0，则 x 2+y 2的最小值是_______33、设，且，则的最小值是_______R y x ∈,4=+y x y x 55+34、设，，则的最小值_______+∈R y x ,2=++xy y x y x +三、强化训练题1、下列不等式一定成立的是（ ）A. B. （）x x lg )41lg(2>+）（0>x 2sin 1sin ≥+x x Z k k x ∈≠,πC. （） D. （）x x 212≥+R x ∈1112>+x R x ∈2、求证：.（）149a b a b+≥+0,0>>b a 3、已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是_________ 4、已知，则的最小值是 62=+y x yx 42+5、函数y ＝log 2(x >1)的最小值为_________ (x ＋1x －1＋5)6、不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是_______8201x m x ++>-(1,)x ∈+∞m 7、已知，则的最小值是_______0,0,lg2lg4lg2x y x y >>+=11x y+8、已知， ，，不等式恒成立，则的取值范0x >0y >141x y+=280m m x y ---<m 围是_______9、已知正实数满足，则的最小值为_______z y x ,,032=+-z y x xz y 2。

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数 (1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝34时取等号)． 3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值52 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立． 4．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( ) A ．2 B.52C ．1D ．不存在答案 B解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4∵x 2＋4≥2，而1x 2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y ＝x ＋1x在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数． ∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52. 5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112答案 B解析 ∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2)2. ∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号．6．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C 解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥ 2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9. 8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________．答案 9解析 ∵a ＋b －ab ＋3＝0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.令ab ＝t ，则t 2≥2t ＋3.解得t ≥3(t ≤－1舍)．即ab ≥3.∴ab ≥9.当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么 y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)． 当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．10．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 答案 8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立． 故1m ＋2n的最小值为8. 三、解答题11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 ∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y. ∵x >0，y >0，∴y x ＋9x y ≥2 y x ·9x y＝6. 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时，取等号． 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得x ＝y y －9， ∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1 ＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2 (y －9)·9y －9＋10＝16， 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y ＝1，则x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x， 即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)． 由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．能力提升13．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M,0∈MB ．2∉M,0∉MC ．2∈M,0∉MD ．2∉M,0∈M答案 A解析 ∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k 2. ∵k 4＋41＋k 2＝(1＋k 2)2－2(1＋k 2)＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k 2－2≥25－2. ∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}，∴2∈M,0∈M .14．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______．答案 2解析 ∵x ＋y 2≤ x ＋y 2成立， ∴x ＋y ≤2·x ＋y ，∴a ≥ 2.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

基本不等式【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.a +b2的证明 方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b+≤的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释： 1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a b+≥a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而(3)(2)2-+-≥的.2．两个不等式：222a b ab +≥与2a b+≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b 取等号，其含义是2a ba b +=⇒=；仅当a=b 取等号，其含义是2a ba b +=⇒=.综合上述两条，a=b 是2a b+=. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【典型例题】类型一：对公式222a b ab +≥及2a b+≥ 例1.下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x+≥ B ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。

第2课时 基本不等式的应用1．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．202．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．C ．D ．83．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤21 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤34．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )A ．1 000元B ．2 000元C ．2 720元D ．4 720元5．设a ＞0，b ＞0.3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．146．已知a ，b 均为正数，如果ab ＝1，那么a ＋b 的最小值为__________．7．某公司租地建仓库，每月租金y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1与y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．8．某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．这种汽车使用__________年时，它的年平均费用最少．9．某工厂生产某种化工产品，当年产量在150吨到250吨之间时，其年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y ＝2130400010x x -+，求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求出每吨的最低平均成本．10．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网．(精确到0.1米)参考答案1. 答案：A p 2＋q 2≥2pq ＝200，当且仅当p ＝q ＝10或p ＝q ＝－10时等号成立．2. 答案：B 2a ＋2b≥===2a ＝2b ，即a ＝b ＝32时，等号成立． 3. 答案：C 取a ＝1，b ＝1，则ab ＝1，排除A 项；取a ＝0，b ＝2，则ab ＝0，a 2＋b 2＝4，排除B ，D 两项，故选C ．4. 答案：B 设水池底面一边长为x m ，则另一边为4x m ， 总造价y ＝4×180＋164x x ⎛⎫+⎪⎝⎭×80 ＝4320x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋720≥1 280＋720＝2 000， 当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号． 5. 答案：B 因为3a ·3b ＝2＝3，所以a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0，所以11a b +＝(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝224b a a b +++=≥， 当且仅当b a a b=，即a ＝b ＝12时，等号成立． 6. 答案：2 ∵a ，b 均为正数，∴a ＋b≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 7. 答案：5 设仓库建在离车站d 千米处，设y 1＝1k d，y 2＝k 2d ， 由y 1＝2＝110k ，得k 1＝20，∴y 1＝20d. 由y 2＝8＝10k 2，得k 2＝45，∴y 2＝45d . ∴y 1＋y 2＝20485d d +=≥， 当且仅当2045d d =，即d ＝5时，费用之和最小． 8. 答案：10 设汽车使用x 年时，它的年平均费用最少．由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x 年时总的维修费用为0.20.22x x +万元． 设汽车的年平均费用为y 万元， 则y ＝20.20.2100.9100.12x x x x x x x+++++=＝1011310x x +++=≥， 当且仅当1010x x =，即x ＝10时，y 取得最小值． 9. 解：设每吨平均成本为M (万元)，则M ＝213040004000103010x x x x x-+=+-≥30＝40－30＝10， 当且仅当1400010x x=， 即x ＝200时，等号成立．所以，年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低平均成本为每吨10万元．10. 解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，设一边长是x 米， 则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x . 令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36， 故x 的取值范围是[8,36]． (2)由基本不等式，得y ＝288x x +≥. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y min＝≈34.0，故最少需要约34.0米铁丝网．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.专题五《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 二．填空题11. 1212.3600 13.212-14.对三、解答题15．ab16.略17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c=。

3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）1.若2.3.1a ⎛ ⎝4.设5.是.6.()f t 前7．（bc a +的最大)，52元，. )x .3.4()002a ba b+≤≥≥，（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3． 4． 5. 6.二、解答题7.8.9.10.3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）参考答案1.4 解析：222111()()120f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令12t x x=+≤-，则2()2(2)g t t t t =--≤-，当2t =-时，()g t 有最小值4. 2.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：π),()π<2π).x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当0,πx ∈［］时，令cos [11]t x =∈-，，构造函数2154t g t t-=+（），整理，得1591()544644g t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=-++⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦5388+≤-5184+=，所以1()02f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，. 同理，当(π,2π]x ∈时，1()02f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，()f x =02πx ≤≤）的值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.≥解析：∵,,a b c +∈R 且1a b c ++=，∴11(1)(1)(1)()1(1())11a b c b c a a b c c a b abc abc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝---+++=⎭⎝⎭≥8=，当且仅当13a b c ===时取等号.4.4 解析：22111111()224()()()a a ab ab a a b ab ab a a b ab a a b a a b ab++=-+++=-+++≥+=---，当且仅当()1a a b -=且1ab =，即a，b 时取等号. 5.26-∞-+∞U （，，）］［解析：∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，∴2()4()12a b a b +-+-0≥，即[()6][()2]0a b a b +-++≥，∴6a b +≥或2a b +≤-，∴a b +的取值范围是26-∞-+∞U （，，）］［.6.18解析：平均销售量2()1011066118y f t t t t t t t==+++≥+=.当且仅当16t t=，即4130t =∈，［］时等号成立，即平均销售量最少为18盒.7.证明：∵,,a b c 都是正数，∴,,bc ca aba b c都是正数. ∴2bc caa bc +≥，当且仅当a b =时等号成立， 2ca ab b c a +≥，当且仅当b c =时等号成立， 2ab bcc ab +≥，当且仅当ac =时等号成立. 三式相加，得22bc ca ab c ba a cb ⎛⎫++⎪⎝⎭≥++（），即bc ac ab a b c ++a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 8．解：∵ 503x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴530x ->.∴222235325()2(53)3326x x f x x x +-⎛⎫=-=≤•= ⎪⎝⎭.当且仅当353x x =-，即56x =时，等号成立.故()f x 的最大值为256. 9.解：因为00x y >>，，且21x y +=，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=212y x++x y +≥33++当且仅当2y x =xy且21x y +=，即1x =，1y =时，取得等号.所以1x +1y的最小值为3+. 10.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x 元. 由题意得36()420x f x k x •=+•.由4x =，()52f x =，得161805k ==. ∴*1444(03)()6,N <<x x f x x x=∈+.(2)由(1)知*1444(3))(06,x x x x x f =+∈<N <，∴()48f x ≥. 当且仅当1444xx =，即6x =时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

不等式（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘):(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象、c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程!()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根02>++c bx ax ⎫⎧b{}21x x x x x ><或的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

基本不等式 同步练习(二)选择题1、设a ，b 是正实数，b a B b a A +=+=，，则A 、B 的大小关系是（ ）A 、B A ≥ B 、B A ≤C 、B AD 、B A2、设a ，b ，c ，d ，m ，n 均为正实数，nd m b nc ma q cd ab p +⋅+=+=，，则（ ）A 、q p ≤B 、q p ≥C 、q pD 、q p3．若0,0>>b a ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．22222b a b a ab b a ab +≤+≤+≤ B ．22222b a ab b a ab b a +≤≤+≤+ C ．b a ab +2≤ab ≤2b a +≤222b a + D ．ab ≤2b a +≤222b a +≤b a ab +2 填空题4、下列不等式证明过程：①若R b a ∈，，则22=⋅≥+ba ab b a a b ； ②若R y x ∈，，则y x y x lg lg 2lg lg ≥+； ③若R y x ∈，，则yx y x y x 4244⋅≥+=+；④若R b a ∈，，0 ab ，则22)(-=-⋅--≤-+--=+ba ab b a a b b a a b 。

其中正确的序号是 。

5、若正数b a ，满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。

6、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为 元。

解答题7、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2228、已知y x ,都是正数，求证：1︒ 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 22︒ 如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s9.①求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x②求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x10、若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 答案：1、C2、A3、C4、④5、[9,+∞]6、1760元7、∵ab b a 222>+ bc c b 222>= ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++2228、∵+∈R y x , ∴ xy y x ≥+21︒当xy p = (定值)时，p y x ≥+2 ∴y x +p 2≥∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有=+min )(y x p 2 2︒当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤ ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =9、①∵10<<x ∴01>-x ∴当x x -=12即32=x 时 274)3122(4)1(2243=-++⋅≤-⋅⋅=x x x x x x y 即32=x 时274max =y ②∵10<<x ∴1102<-<x∴)1)(1(221)1(2222222x x x x x y --⋅⋅=-= 274)3)1()1(2(213222=-+-+≤x x x ∴当33,1222=-=x x x 时274max 2=y 932max =y 10、∵1->x ∴01>+x 011>+x ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x。

高中数学课时作业32基本不等式2新人教版必修5(第二次作业)1．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10 答案 C2．在算式“30－△＝4×□”中的△，□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(□，△)应为( )A ．(4,14)B ．(6,6)C ．(3,18)D ．(5,10) 答案 D3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 v ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab .因为2ab a ＋b －a ＝2ab －a 2－ab a ＋b ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，所以2aba ＋b>a ，即v >a .故选A 项． 4．已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，94]5．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________． 答案26．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________． 答案 [6，＋∞)答案 原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤(x ＋y2)2(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤x ＋y24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0. 解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)． 所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．7．已知a >0，b >0，且a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．答案324解析 a 1＋b 2＝2×a 1＋b 22≤2×12[a 2＋(1＋b 22)2] ＝22(1＋12)＝324，当且仅当a ＝32，b ＝22时等号成立． ∴a 1＋b 2的最大值为324.8．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值．解析 ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，∴当x ＝23时，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.9．设x ，y 都是正数且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值；解析 (1)2x ＋y ＝32x ＋y 3＝13(1x ＋2y)(2x ＋y ) ＝13(y x ＋4x y ＋4)≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2.∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.10．设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1. 于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.11．求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析 令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1.∴y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝t －12＋3t －1＋3t＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1t＋1.∵t ≥1，∴t ＋1t≥2t ·1t ＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立，∴当x ＝0时，函数取得最小值3.讲评 把已知函数解析式通过通分、拆项等方法，转化成满足基本不等式的条件的形式再求最值，是常用的方法．12．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3. 解析b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc －3 ＝(b a ＋a b)＋(c a ＋a c)＋(c b ＋b c)－3， ∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 同理c a ＋a c≥2，c b ＋b c≥2. ∴(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥6.∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)>6. ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 13.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x (单位m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用． 解析 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360. 由已知ax ＝360，得a ＝360x .∴y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2255×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且令当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元． 14.如右图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件得 4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272.即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝182x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，y >0，∴0<y <6.∴S ＝xy ＝(9－32y )y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3)y ≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3yxy ＝24.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二 由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y ＋y )≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立时，则a 的取值范围是________．答案 [15，＋∞)解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x≤12＋3＝15. ∴a ≥15.2．已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解析 方法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c，且a >b >c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －c 2a －b b －c.∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤[a －c 2a －b b －c ]min .又∵a －c 2a －b b －c≥a －c2[a －b ＋b －c2]2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 方法二 ∵a >b >c ，∴a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的建房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48(x ＋225x)．当x ＋225x取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30.当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．(2013·北京)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 D解析 A 项中，若c 小于等于0则不成立；B 项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 项中，若a ，b 均为负数则不成立．故选D 项．2．(2013·福建)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x＋2y＝1≥22x ＋y ，∴(12)2≥2x ＋y ，即2x ＋y ≤2－2.∴x ＋y ≤－2. 3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg2}B ．{x |－1<x <－lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2} 答案 D解析 由题意知－1<10x <12，所以x <lg 12＝－lg2，故选D 项．4．(2013·江西)下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 A解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2<1<x 3，①或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x 2>1>x 3，②①无解，解②得x <－1.故选A 项．5．(2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16 答案 C解析 画出可行域，如图．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝82y －x ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝4.即A 点坐标为(4,4)．由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.故选C 项．6．(2013·湖北)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元 答案 C解析 设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N )，则x ，y 需满足⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900y －x ≤7x ＋y ≤21x ∈N ，y ∈N ，设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图阴影部分所示，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C 项．7．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．6 答案 C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．8．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 ∵x 2＋1≥2|x |⇔x 2－2|x |＋1≥0，∴当x ≥0时，x 2－2|x |＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立； 当x <0时，x 2－2|x |＋1＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0成立． 故x 2＋1≥2|x |(x ∈R )一定成立．9．(2012·重庆)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)答案 A解析 不等式可化为{ x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0.解不等式组得－12<x ≤1，故选A 项．10．(2012·新课标全国)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3) 答案 A解析 由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C 坐标为(1＋3，2)，将目标函数化为斜截式为y ＝x ＋z ，结合图形可知当y ＝x ＋z 经过点C 时z 取最小值，此时z min ＝1－3，当y ＝x ＋z 过点B 时z 取到最大值，此时z max ＝2，综合可知z 的取值范围为(1－3，2)．11．(2012·福建)若函数y ＝2x图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 答案 B解析 由约束条件作出其可行域如图所示．由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图像与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m .12．(2012·辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤100≤x ＋y ≤200≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 答案 D解析 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D 项．13．(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩 年种植 成本/亩每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50 答案 B解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩、y 亩，则总利润为z 万元，则z 关于x ，y 的关系式为z ＝4x ×0.55－1.2x ＋6y ×0.3－0.9y ＝x ＋0.9y ，且x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54.画出行域，如图所示：设l 0：y ＝－109x ，将l 0上下平移可知，当直线z ＝x ＋0.9y 过点A (30,20)(注：可联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －50＝0，1.2x ＋0.9y －54＝0，解得点A的坐标)时，z 取得大值，因此当总利润z 最大时，x ＝30，y ＝20，即黄瓜的种植面积为30亩，韭菜的种植面积为20亩．14．(2012·福建)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125D ．2 答案 B解析 画出不等式组所表示的平面区域Ω1如图所示，观察图形可知，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故D 关于直线3x －4y －9＝0对称的点D ′(D ′在Ω2内)的距离|DD ′|最小，D 到直线3x ＋4y －9＝0的距离为|3－4－9|5＝2，故|AB |max ＝|DD ′|＝4.15．(2013·四川)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，a ＝36.16．(2013·广东)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 x 2＋x －2<0即(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，故原不等式的解集为{x |－2<x <1}． 17．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵函数f (x )为奇函数，且x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，x ，x ＝0，－x 2－4x ，x <0，∴原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .由此可解得x >5或－5<x <0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．18．(2013·新课标全国)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案 3解析 画出可行域如图阴影部分所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.19．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 画出可行域如图阴影部分所示．由可行域知，最优解可能在A (0,2)或C (4,4)处取得．若在A (0,2)处取得不符合题意；若在C (4,4)处取得，则4k ＋4＝12，解得k ＝2，此时符合题意．20．(2013·大纲全国)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 [12，4]解析作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知k BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4.21．(2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 不等式|kx －4|≤4可化为－2≤kx －4≤2，即2≤kx ≤6，而不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.22．(2012·江西)不等式x 2－9x －2>0的解集是________．答案 (－3,2)∪(3，＋∞)解析 不等式x 2－9x －2>0可化为(x －2)·(x －3)·(x ＋3)>0，由穿根法(如图)，得所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)．23．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c <0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ， ②m m ＋6＝b －c . ③由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④ 由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ， 解得c ＝9.。

§3.4 基本不等式：ab≤a ＋b 2(二)基础过关1.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A.4B.2C.1D.14解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号. 答案 A2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A.2 2B.4 2C.16D.不存在解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2. 当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.答案 B3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.答案 B4.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________.解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案 145.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 306.已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围.解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立.所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的取值范围是(0，18].7.已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a 时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升8.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) A.12B.－12C.1D.－1解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立.答案 A9.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12C.2D.4解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立.答案 D10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立.答案 511.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时取等号. 答案 412.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x (x ∈N *，x ≤16)年末可以以(80－5x )万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x 年末所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值；(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由.解 (1)y ＝22x ＋(80－5x )－100－(2＋4＋…＋2x )＝－20＋17x －12x (2＋2x )＝－x 2＋16x －20＝－(x －8)2＋44(x ≤16，x ∈N *)，由二次函数的性质可得，当x ＝8时，y max ＝44，即有总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为y x ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，设f (x )＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，x ＞0， 由x ＋20x ≥2x ·20x ＝45，当x ＝25时，取得等号.由于x 为整数，且4＜25＜5，f (4)＝16－(4＋5)＝7，f (5)＝7，即有x ＝4或5时，f (x )取得最大值，且为7万元.故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.创新突破13.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解 (1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22≥21ab (a ＝b 时等号成立).即ab≥12(a＝b时等号成立).∵a2＋b2≥2ab≥2×12＝1(a＝b时等号成立).∴a2＋b2的最小值为1.(2)∵1a＋1b＝22，∴a＋b＝22ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3即(22ab)2－4ab≥4(ab)3.即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，∵a，b为正实数，∴ab＝1.。