人教版高中数学 必修五同步练习及答案2-5-1 同步检测
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人教A高中数学必修5同步训练1.在等比数列{a n}中a1=8,q=12,a n=12,则S n等于( )A.31 B.31 2C.8 D.15 答案:B2.数列12,14,18,…地前10项和等于( )A.11024B.511512C.10231024D.1512答案:C3.在等比数列{a n }中,q =12,S 5=2,则a 1等于________.答案:32314.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,求数列{a n }地前4项之和.解:⎩⎪⎨⎪⎧a 2=9a 5=243,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =9a 1q 4=243,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3q =3.所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =3(1-34)1-3=120.一、选择题1.已知S n 是等比数列{a n }地前n 项和,a 5=-2,a 8=16,则S 6等于( )A.218 B .-218C.178D .-178解析:选 A.设公比为q ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4=-2,a 1q 7=16,解得q =-2,a 1=-18.所以S 6=a 1(1-q 6)1-q =218.2.在等比数列{a n }中,公比q =-2,S 5=44,则a1地值为( )A.4 B.-4C.2 D.-2解析:选A.S5=a1(1-q5) 1-q,∴44=a1[1-(-2)5]1-(-2),∴a1=4,故选A.3.设S n为等比数列{a n}地前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=( )A.11 B.5C.-8 D.-11解析:选D.由8a2+a5=0,得8a1q+a1q4=0,所以q=-2,则S5S2=a1(1+25)a1(1-22)=-11.4.1+2+2+22+…+128地值是( ) A.128+64 2 B.128-64 2C.255+127 2 D.255-127 2答案:C5.若等比数列{a n}地前n项和为S n=32n+m(n∈N*),则实数m地取值为( )A.-32B.-1C.-3 D.一切实数解析:选C.a1=S1=32+m,又a1+a2=34+m,所以a2=-34 .又a1+a2+a3=38+m,所以a3=-38.所以a22=a1a3,即916=(32+m)(-38),解得m=-3.6.已知{a n}是首项为1地等比数列,S n是{a n}地前n项和,且9S3=S6,则数列{1a n}地前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析:选C.若q =1,则由9S 3=S 6得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q,解得q =2.故a n =a 1qn -1=2n -1,1a n =(12)n -1. 所以数列{1a n }是以1为首项,12为公比地等比数列,其前5项和为S 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.二、填空题7.设等比数列{a n }地前n 项和为S n .若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=__________.解析:设等比数列地公比为q,则由S6=4S3知q≠1.∴S6=1-q61-q=4(1-q3)1-q.∴q3=3.∴a1q3=3.答案:38.等比数列地公比为2,前4项之和等于10,则前8项之和等于________.解析:S8-S4=q4·S4=24·10=160,S8=170.答案:1709.等比数列{a n}地公比q>0.已知a2=1,a n+2+a n+1=6a n,则{a n}地前4项和S4=__________.解析:∵{a n}是等比数列,∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n-1,∴q 2+q -6=0.又∵q >0,∴q =2. ∴S 4=a 1(1-q 4)1-q =12(1-24)1-2=152.答案:152三、解答题10.在等比数列{a n }中,a 3=-12,前3项和S 3=-9,求公比q .解:法一:由已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 3=a 1·q 2=-12, ①S 3=a 1(1+q +q 2)=-9. ②②÷①得1+q +q2q2=34,即q 2+4q +4=0. 所以q =-2.法二:a3,a2,a1成等比数列且公比为1q .所以S3=a3+a2+a1=a3[1-(1q)3]1-1q=-12(q3-1)q2(q-1)=-9.所以q2+4q+4=0,即(q+2)2=0.所以q=-2.11.等比数列{a n}地前n项和为S n,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{a n}地公比q;(2)若a1-a3=3,求S n.解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-12.(2)由已知可得a1-a1(-12)2=3,故a1=4.从而S n=4[1-(-12)n]1-(-12)=83[1-(-12)n].12.一个等比数列地首项为1,项数是偶数,其奇数项地和为85,偶数项地和为170,求此数列地公比和项数.解:设该等比数列有2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列性质可得S偶S奇=17085=2=q.又∵S奇+S偶=a1(1-q2n)1-q=255,a1=1,∴2n=8.∴此数列地公比为2,项数为8.。
高中同步测试卷(二)单元检测 余弦定理及其应用 (时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,a =2,b =5,c =6,则cos B 等于( ) A.58 B.6524 C.5760D .-7202.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A =π3,a =3,b =1,则c 等于( )A .1B .2 C.3-1 D. 3 3.在△ABC 中,已知a 2=b 2+bc +c 2,则A =( ) A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π34.在△ABC 中,三边长分别为5,6,8,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .非钝角三角形 5.在△ABC 中,AB =3,BC =13,AC =4,则边AC 上的高为( ) A.322 B.323 C.32 D .3 36.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(2b -c )cos A =a cos C ,则A 的度数是( )A .30°B .45°C .60°D .120°7.△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC →的值为( ) A .19 B .14 C .-18D .-198.△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c-a ),若p ∥q ,则C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π39.△ABC 是不等边三角形,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,a 是最大的边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2,π B.⎝⎛⎭⎫π4,π2C.⎝⎛⎭⎫π3,π2D.⎝⎛⎭⎫0,π2 10.△ABC 的三边长是三个连续整数,且最大角是最小角的2倍,则此三角形的三边长为( )A .5,6,7B .4,5,6C .3,4,5D .2,3,4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)11.若△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2-3ab ,则此三角形的最大内角的度数为________. 12.在△ABC 中,若b =1,c =3,A =π6,则a =________,sin B =________. 13.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin Bsin C=________. 14.如图,在△ABC 中,AB =AC =2,BC =23,点D 在BC 边上,∠ADC =45°,则AD 的长度等于________.三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)在△ABC 中, (1)若b =3,c =1,A =60°,试求a ; (2)若a =3,b =1,c =2,试求A .16.(本小题满分10分)在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,求边c的长.17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2-(b-c)2=(2-3)bc,sin A sin B=cos2C2,BC边上的中线AM的长为7.求角A和角B的大小.18.(本小题满分10分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足sin(2A+B)sin A=2+2cos(A+B).(1)证明:b=2a;(2)若c=7a,求角C的大小.附加题19.(本小题满分10分)在△ABC 中,AB =2,cos C =277,D 是AC 上一点,AD =2DC 且cos ∠DBC =5714.求: (1)∠BDA 的大小; (2)AD →·CB →.20.(本小题满分10分)在△ABC 中,AC =2,BC =1,cos C =34.(1)求AB 的值; (2)求sin(2A +C )的值.参考答案与解析1.[导学号99450020] 【解析】选A.由余弦定理得cos B =22+62-522×2×6=1524=58.2.[导学号99450021] 【解析】选B.由余弦定理得3=1+c 2-2×c ×1×cos π3, 即c 2-c -2=0,解得c =2或c =-1(舍去), 故c =2.3.[导学号99450022] 【解析】选C.由a 2=b 2+bc +c 2得, b 2+c 2-a 2=-bc =2bc cos A ,解得cos A =-12,A =2π3.4.[导学号99450023] 【解析】选C.设边长为8的边所对的角为θ, 则cos θ=52+62-822×5×6=-120<0,所以π2<θ<π,所以△ABC 是钝角三角形. 5.[导学号99450024] 【解析】选B.由余弦定理可得 cos A =AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB =42+32-(13)22×3×4=12.∴sin A =32,则AC 边上的高h =AB ·sin A =3×32=323. 6.[导学号99450025] 【解析】选C.由余弦定理得, (2b -c )·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+b 2-c 22ab ,化简得b 2+c 2-a 2-bc =0, 即b 2+c 2-a 22bc =12,∴cos A =12.又0<A <180°,∴A =60°.7.[导学号99450026] 【解析】选D.由余弦定理得cos B =AB 2+BC 2-CA 22AB ·BC =72+52-622×7×5=1935,∴AB →·BC →=-BA →·BC →=-|BA →||BC →|cos B =-7×5×1935=-19.8.[导学号99450027] 【解析】选B.∵p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ), 又p ∥q ,∴(a +c )(c -a )=b (b -a ), 即a 2+b 2-c 2=ab .由余弦定理,可得cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12.又∵0<C <π,∴C =π3. 9.[导学号99450028] 【解析】选C.由A >B 且A >C ,A +B +C =π得,3A >π,A >π3.又cos A =b 2+c 2-a 22bc >0,故A <π2,即角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3,π2.10.[导学号99450029] 【解析】选B.依题意,设该三角形的三边长分别为k -1,k ,k +1,有k ∈N *,且这三边所对的角分别为A ,B ,C ,则有C =2A ,sin C =sin 2A =2sin A cos A ,则c =2a cos A .∴k +1=2(k -1)·k 2+(k +1)2-(k -1)22·k ·(k +1)解得k =5,则此三角形三边长分别为4,5,6.11.[导学号99450030] 【解析】由题设,可得a 2+b 2-c 2=-3ab , ∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =-32,∴C =150°,∴三角形的最大内角为150°.【答案】150°12.[导学号99450031]【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=12+(3)2-2×1×3cos π6=1,所以a=1,所以a=b.所以A=B=π6,所以sin B=12.【答案】11213.[导学号99450032]【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即49=b2+25+5b,解得b=3或b=-8(舍去),所以sin Bsin C=bc=35.【答案】3514.[导学号99450033]【解析】∵AB=AC=2,BC=23,∴由余弦定理得,cos C=AC2+BC2-AB22AC·BC=22+(23)2-222×2×23=32.又∵C∈(0°,180°),∴C=30°.在△ADC中,由正弦定理得ACsin∠ADC=ADsin C,即AD=AC·sin Csin∠ADC=2×sin 30°sin 45°=2×1222= 2.【答案】 215.[导学号99450034]【解】(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=32+12-2×3×1×cos 60°=7,所以a=7.(2)由余弦定理的推论,得cos A=b2+c2-a22bc=12+22-(3)22×1×2=12.又0°<A<180°,所以A=60°.16.[导学号99450035]【解】由题意,得a+b=5,ab=2,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25-4=21.∴c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab=21-2=19.∴c=19,∴边c的长为19.17.[导学号99450036]【解】由a2-(b-c)2=(2-3)bc,得a2-b2-c2=-3bc,∴cos A=b2+c2-a22bc=32.又0<A<π,∴A=π6.由sin A sin B=cos2C2,得12sin B=1+cos C2,即sin B =1+cos C , 则cos C <0,即C 为钝角, ∴B 为锐角,且B +C =5π6, 则sin(5π6-C )=1+cos C ,化简得cos(C +π3)=-1, 解得C =2π3,∴B =π6. 18.[导学号99450037] 【解】(1)证明:由已知得, sin(2A +B )=2sin A +2cos(A +B )sin A , 即sin(A +π-C )=2sin A -2sin A cos C , sin(C -A )=2sin A -2sin A cos C , sin C cos A +cos C sin A =2sin A , sin(A +C )=2sin A ,sin B =2sin A , 由正弦定理知b =2a .(2)由余弦定理知cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+4a 2-7a 22a ·2a=-12,所以C =120°.19.[导学号99450038] 【解】(1)∵cos ∠DBC =5714,cos C =277, ∴sin ∠DBC =2114,sin C =217,∴cos ∠BDA =cos(∠DBC +C ) =5714×277-2114×217=12,∴∠BDA =π3. (2)设DC =x ,则AD =2x ,AC =3x . 又设BC =a ,则在△DBC 中, 由正弦定理得x sin ∠DBC =asin ∠BDC,∴a =7x .在△ABC 中,由余弦定理得, 4=(3x )2+(7x )2-2×3x ×7x ×277,∴x =1,∴|AD →|=2,|BC →|=7,∴AD →·CB →=|AD →||CB →|cos(π-C )=2×7×⎝⎛⎭⎫-277=-4. 20.[导学号99450039] 【解】(1)由条件可以直接利用余弦定理求出AB 的值,即AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C =4+1-2×2×1×34=2,∴AB = 2.(2)由cos C =34,且0<C <π,得sin C =1-cos 2C =74.由正弦定理得AB sin C =BC sin A ,解得sin A =BC sin C AB =148,所以cos A =528. 由倍角公式得sin 2A =2sin A ·cos A =5716,且cos 2A =1-2sin 2A =916,故sin(2A +C )=sin37 2A cos C+cos 2A sin C=8.。
第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.在△ABC 中,若BC =2,AC =2,B =45°,则角A 等于( )(A)60°(B)30°(C)60°或120° (D)30°或150°2.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3,cos C =-41,则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53.在△ABC 中,已知32sin ,53cos ==C B ,AC =2,那么边AB 等于( )(A )45(B)35(C)920(D)5124.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知B =30°,c =150,b =503,那么这个三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形5.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,如果A ∶B ∶C =1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2(C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,B =45°,C =75°,则b =________.7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=23,c =4,则A=________.8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2cos B cos C=1-cos A,则△ABC形状是________三角形.9.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,B=60°,则c=________.10.在△ABC中,若tan A=2,B=45°,BC=5,则AC=________.三、解答题11.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=4,C =60°,试解△ABC.12.在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=13.(1)求角B的大小;(2)若D是BC的中点,求中线AD的长.13.如图,△OAB的顶点为O(0,0),A(5,2)和B(-9,8),求角A的大小.14.在△ABC中,已知BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长;(3)求△ABC的面积.测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b 2+c 2-a 2=bc ,则角A 等于( ) (A)6π(B)3π(C)32π(D)65π2.在△ABC 中,给出下列关系式:①sin(A +B )=sin C ②cos(A +B )=cos C ③2cos 2sin C B A =+其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)33.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a =3,sin A =32,sin(A +C )=43,则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)8274.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =3,b =4,sin C =32,则此三角形的面积是( ) (A)8(B)6(C)4(D)35.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,且sin A =2sin B cos C ,则此三角形的形状是( )(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =2,B=45°,则角A =________.7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3,c =19,则角C =________.8.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b =3,c =4,cos A =53,则此三角形的面积为________.9.已知△ABC 的顶点A (1,0),B (0,2),C (4,4),则cos A =________. 10.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且a =3,b =4,C =60°.(1)求c ; (2)求sin B .12.设向量a ,b 满足a ·b =3,|a |=3,|b |=2.(1)求〈a ,b 〉; (2)求|a -b |.13.设△OAB 的顶点为O (0,0),A (5,2)和B (-9,8),若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长; (2)求△OAB 的面积.14.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B >sin 2C ,求证:C 为锐角.(提示:利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,其中R 为△ABC 外接圆半径)Ⅱ 拓展训练题15.如图,两条直路OX 与OY 相交于O 点,且两条路所在直线夹角为60°,甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点,| OA |=3km ,| OB |=1km ,两人同时都以4km/h 的速度行走,甲沿XO 方向,乙沿OY 方向. 问:(1)经过t 小时后,两人距离是多少(表示为t 的函数)? (2)何时两人距离最近?16.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值; (2)若b =13,a +c =4,求△ABC的面积.第二章 数列 测试三 数列 Ⅰ 学习目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数.2.理解数列的通项公式的含义,由通项公式写出数列各项.3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.数列{a n }的前四项依次是:4,44,444,4444,…则数列{a n }的通项公式可以是( )(A)a n =4n(B)a n =4n (C)a n =94(10n -1)(D)a n =4×11n2.在有一定规律的数列0,3,8,15,24,x ,48,63,……中,x 的值是( )(A)30(B)35(C)36(D)423.数列{a n }满足:a 1=1,a n =a n -1+3n ,则a 4等于( )(A)4(B)13(C)28(D)434.156是下列哪个数列中的一项( )(A){n 2+1}(B){n 2-1}(C){n 2+n }(D){n 2+n -1}5.若数列{a n }的通项公式为a n =5-3n ,则数列{a n }是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对二、填空题6.数列的前5项如下,请写出各数列的一个通项公式:(1)n a ,,31,52,21,32,1 =________;(2)0,1,0,1,0,…,a n =________. 7.一个数列的通项公式是a n =122+n n .(1)它的前五项依次是________; (2)0.98是其中的第________项.8.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=3a n +1,则a 4=________. 9.数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *),则a 3=________.10.数列{a n }的通项公式为a n =2n 2-15n +3,则它的最小项是第________项. 三、解答题11.已知数列{a n }的通项公式为a n =14-3n .(1)写出数列{a n }的前6项; (2)当n ≥5时,证明a n <0. 12.在数列{a n }中,已知a n =312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10,a n +1,2n a ;(2)7932是否是此数列中的项?若是,是第几项? 13.已知函数xx x f 1)(-=,设a n =f (n )(n ∈N +).(1)写出数列{a n }的前4项;(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列?为什么?测试四 等差数列 Ⅰ 学习目标1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等差数列的前n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.数列{a n }满足:a 1=3,a n +1=a n -2,则a 100等于( )(A)98(B)-195(C)-201(D)-1982.数列{a n }是首项a 1=1,公差d =3的等差数列,如果a n =2008,那么n 等于( )(A)667(B)668(C)669(D)6703.在等差数列{a n }中,若a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )(A)15(B)30(C)31(D)644.在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数,使它们与a ,b 组成等差数列,则该数列的公差为( )(A)na b -(B)1+-n a b(C)1++n a b(D)2+-n a b5.设数列{a n }是等差数列,且a 2=-6,a 8=6,S n 是数列{a n }的前n 项和,则( )(A)S 4<S 5 (B)S 4=S 5(C)S 6<S 5(D)S 6=S 5二、填空题6.在等差数列{a n }中,a 2与a 6的等差中项是________.7.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 2=5,a 3+a 4=9,那么a 5+a 6=________. 8.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若S 17=102,则a 9=________. 9.如果一个数列的前n 项和S n =3n 2+2n ,那么它的第n 项a n =________. 10.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=2,a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),设{a n }的前n项和是S n ,则S 10=________. 三、解答题11.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S 4=24.求数列{a n }的通项公式.12.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.13.数列{a n}是等差数列,且a1=50,d=-0.6.(1)从第几项开始a n<0;(2)写出数列的前n项和公式S n,并求S n的最大值.Ⅲ拓展训练题14.记数列{a n}的前n项和为S n,若3a n+1=3a n+2(n∈N*),a1+a3+a5+…+a99=90,求S100.测试五等比数列Ⅰ学习目标1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等比数列的前n项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题1.数列{a n}满足:a1=3,a n+1=2a n,则a4等于( )(A)3(B)24 (C)48 (D)5482.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a 5等于( )(A)33(B)72(C)84(D)1893.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于( )(A)4(B)23(C)916(D)34.在等比数列{a n }中,若a 2=9,a 5=243,则{a n }的前四项和为( )(A)81(B)120(C)168(D)1925.若数列{a n }满足a n =a 1q n -1(q >1),给出以下四个结论:①{a n }是等比数列; ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列;③{a n }是递增数列; ④{a n }可能是递减数列.其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 1,a 10是方程3x 2+7x -9=0的两根,则a 4a 7=________. 7.在等比数列{a n }中,已知a 1+a 2=3,a 3+a 4=6,那么a 5+a 6=________. 8.在等比数列{a n }中,若a 5=9,q =21,则{a n }的前5项和为________.9.在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.10.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q =________. 三、解答题11.已知数列{a n }是等比数列,a 2=6,a 5=162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若S n =242,求n .12.在等比数列{a n}中,若a2a6=36,a3+a5=15,求公比q.13.已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c =15,求a,b,c.Ⅲ拓展训练题14.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q,每列上的数从上到下都成等差数列.a ij表示位于第i行第j列的数,其中a24=1,a42=1,a54=5.(1)求q的值;(2)求a ij的计算公式.测试六数列求和Ⅰ学习目标1.会求等差、等比数列的和,以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2.会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知等比数列的公比为2,且前4项的和为1,那么前8项的和等于( )(A)15(B)17(C)19 (D)212.若数列{a n }是公差为21的等差数列,它的前100项和为145,则a 1+a 3+a 5+…+a 99的值为( ) (A)60(B)72.5(C)85(D)1203.数列{a n }的通项公式a n =(-1)n -1·2n (n ∈N *),设其前n 项和为S n ,则S 100等于( )(A)100 (B)-100 (C)200 (D)-2004.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n(B)122+n n(C)24+n n(D)12+n n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,且a n +2=a n +3(n =1,2,3,…),则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950二、填空题 6.nn +++++++++11341231121 =________.7.数列{n +n21}的前n 项和为________.8.数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n ,则a 21+a 22+…+a 2n =________.9.设n ∈N *,a ∈R ,则1+a +a 2+…+a n =________. 10.nn 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯ =________.三、解答题11.在数列{a n }中,a 1=-11,a n +1=a n +2(n ∈N *),求数列{|a n |}的前n 项和S n .12.已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n (n ∈N *,x ∈R ),且对一切正整数n都有f (1)=n 2成立. (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求13221111++++n n a a a a a a .13.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =12141211-++++n ,求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14.已知数列{a n }是等差数列,且a 1=2,a 1+a 2+a 3=12.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n x n (x ∈R ),求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1.等差数列{a n }中,a 1=1,公差d ≠0,如果a 1,a 2,a 5成等比数列,那么d 等于( )(A)3(B)2(C)-2(D)2或-22.等比数列{a n }中,a n >0,且a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5等于( )(A)5(B)10(C)15(D)203.如果a 1,a 2,a 3,…,a 8为各项都是正数的等差数列,公差d ≠0,则( )(A)a1a8>a4a5 (B)a1a8<a4a5(C)a1+a8>a4+a5(D)a1a8=a4a54.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N*),则该函数的图象是( )5.已知数列{a n}满足a1=0,1331+-=+nnn aaa(n∈N*),则a20等于( )(A)0 (B)-3(C)3(D)23二、填空题6.设数列{a n}的首项a1=41,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数nanaannn则a2=________,a3=________. 7.已知等差数列{a n}的公差为2,前20项和等于150,那么a2+a4+a6+…+a20=________.8.某种细菌的培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌可以由1个繁殖成________个.9.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+3n(n∈N*),则a n=________.10.在数列{a n}和{b n}中,a1=2,且对任意正整数n等式3a n+1-a n=0成立,若b n是a n与a n+1的等差中项,则{b n}的前n项和为________.三、解答题11.数列{a n}的前n项和记为S n,已知a n=5S n-3(n∈N*).(1)求a1,a2,a3;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)求a 1+a 3+…+a 2n -1的和.12.已知函数f (x )=422+x (x >0),设a 1=1,a 21+n ·f (a n )=2(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中哪个值最大,并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14.甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前1分钟多走1m ,乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?15.在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n -1-a n -2|,n =3,4,5,…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (2)若“绝对差数列”{a n }中,a 1=3,a 2=0,试求出通项a n ; (3)*证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 2=4,a 3+a 4=12,那么a 5+a 6等于( )(A)16(B)20(C)24(D)362.在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773.若a ,b ,c 成等比数列,则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数为( )(A)0(B)1(C)2(D)不能确定4.在等差数列{a n }中,如果前5项的和为S 5=20,那么a 3等于( )(A)-2(B)2(C)-4(D)45.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2007+a 2008>0,a 2007·a 2008<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6.已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n =________. 7.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项和S 20=________.8.数列{a n }的前n 项和记为S n ,若S n =n 2-3n +1,则a n =________.9.等差数列{a n }中,公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则1074963a a a a a a ++++=________.10.设数列{a n }是首项为1的正数数列,且(n +1)a 21+n -na 2n +a n +1a n =0(n ∈N *),则它的通项公式a n =________. 三、解答题11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求S 13.12.已知数列{a n }中,a 1=1,点(a n ,a n +1+1)(n ∈N *)在函数f (x )=2x +1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)设c n =S n ,求数列{c n }的前n 项和T n .13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n =3a n +2.(1)求证:数列{a n }成等比数列; (2)求通项公式a n .14.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用);(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)?(3)若当盈利总额达到最大值时,渔船以8万元卖出,那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元?Ⅱ 拓展训练题15.已知函数f (x )=412-x (x <-2),数列{a n }满足a 1=1,a n =f (-11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ;(2)设b n =a 21+n +a 22+n +…+a 212+n ,是否存在最小正整数m ,使对任意n ∈N *有b n <25m成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.16.已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射,点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P).设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,P n=f(P n-1),….如果存在一个圆,使所有的点P n(x n,y n)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点P n(x n,y n)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点.1y).若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(-x+1,2(1)求映射f下不动点的坐标;(2)若P1的坐标为(2,2),求证:点P n(x n,y n)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式 测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1.了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景,掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2.理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.设a ,b ,c ∈R ,则下列命题为真命题的是( )(A)a >b ⇒a -c >b -c (B)a >b ⇒ac >bc (C)a >b ⇒a 2>b 2(D)a >b ⇒ac 2>bc 22.若-1<<<1,则-的取值范围是( )(A)(-2,2) (B)(-2,-1) (C)(-1,0) (D)(-2,0)3.设a >2,b >2,则ab 与a +b 的大小关系是( )(A)ab >a +b (B)ab <a +b (C)ab =a +b (D)不能确定 4.使不等式a >b 和ba11>同时成立的条件是( )(A)a >b >0 (B)a >0>b (C)b >a >0 (D)b >0>a5.设1<x <10,则下列不等关系正确的是( )(A)lg 2x >lg x 2>lg(lg x ) (B)lg 2x >lg(lg x )>lg x 2 (C)lg x 2>lg 2x >1g (lg x )(D)lg x 2>lg(lg x )>lg 2x二、填空题6.已知a <b <0,c <0,在下列空白处填上适当不等号或等号:(1)(a -2)c ________(b -2)c ; (2)ac ________bc ; (3)b -a ________|a |-|b |. 7.已知a <0,-1<b <0,那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8.已知60<a <84,28<b <33,则a -b 的取值范围是________;ba 的取值范围是________.9.已知a ,b ,c ∈R ,给出四个论断:①a >b ;②ac 2>bc 2;③cb ca >;④a -c >b-c .以其中一个论断作条件,另一个论断作结论,写出你认为正确的两个命题是________⇒________;________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号). 10.设a >0,0<b <1,则P =23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11.若a >b >0,m >0,判断ab 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12.设a >0,b >0,且a ≠b ,b a q a b b a p +=+=,22.证明:p >q .注:解题时可参考公式x 3+y 3=(x +y )(x 2-xy +y 2).Ⅲ 拓展训练题13.已知a >0,且a ≠1,设M =log a (a 3-a +1),N =log a (a 2-a +1).求证:M >N .14.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1>0,a 3=b 3>0,a 1≠a 3,试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式 Ⅰ 学习目标1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知正数a ,b 满足a +b =1,则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值212.若a >0,b >0,且a ≠b ,则( )(A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a b a ab +<+<(C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3.若矩形的面积为a 2(a >0),则其周长的最小值为( )(A)a(B)2a(C)3a(D)4a4.设a ,b ∈R ,且2a +b -2=0,则4a +2b 的最小值是( )(A)22(B)4 (C)24(D)85.如果正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =4,那么( )(A)ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一 (B)ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一 (C)ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一 (D)ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一 二、填空题6.若x >0,则变量xx 9+的最小值是________;取到最小值时,x =________.7.函数y =142+x x(x >0)的最大值是________;取到最大值时,x =________. 8.已知a <0,则316-+a a 的最大值是________. 9.函数f (x )=2log 2(x +2)-log 2x 的最小值是________.10.已知a ,b ,c ∈R ,a +b +c =3,且a ,b ,c 成等比数列,则b 的取值范围是________.三、解答题11.四个互不相等的正数a ,b ,c ,d 成等比数列,判断2d a +和bc的大小关系并加以证明.12.已知a >0,a ≠1,t >0,试比较21log a t 与21log +t a的大小.Ⅲ 拓展训练题13.若正数x ,y 满足x +y =1,且不等式a y x ≤+恒成立,求a 的取值范围. 14.(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )=x +xa (a >0)在(0,+∞)上的单调性;(2)设函数f (x )=x +xa (a >0)在(0,2]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式.测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.不等式5x +4>-x 2的解集是( )(A){x |x >-1,或x <-4} (B){x |-4<x <-1} (C){x |x >4,或x <1}(D){x |1<x <4}2.不等式-x 2+x -2>0的解集是( )(A){x |x >1,或x <-2} (B){x |-2<x <1}(C)R(D)∅3.不等式x 2>a 2(a <0)的解集为( )(A){x |x >±a } (B){x |-a <x <a } (C){x |x >-a ,或x <a }(D){x |x >a ,或x <-a }4.已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为}231|{<<-x x ,则不等式cx 2+bx +a <0的解集是( )(A){x |-3<x <21} (B){x |x <-3,或x >21} (C){x -2<x <31}(D){x |x <-2,或x >31}5.若函数y =px 2-px -1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方,则p 的取值范围是( )(A)(-∞,0) (B)(-4,0] (C)(-∞,-4) (D)[-4,0)二、填空题6.不等式x 2+x -12<0的解集是________. 7.不等式05213≤+-x x 的解集是________.8.不等式|x 2-1|<1的解集是________. 9.不等式0<x 2-3x <4的解集是________.10.已知关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1<0的解集为非空集合{x |a <x <a1},则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11.求不等式x 2-2ax -3a 2<0(a ∈R )的解集. 12.k在什么范围内取值时,方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解?Ⅲ 拓展训练题13.已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-x -6<0},B ={x |x 2+2x -8>0},C ={x |x 2-4ax +3a 2<0}.(1)求实数a 的取值范围,使C ⊇(A ∩B ); (2)求实数a 的取值范围,使C ⊇(U A )∩(U B ).14.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2-2x +1<0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1.函数241xy -=的定义域是( )(A){x |-2<x <2} (B){x |-2≤x ≤2} (C){x |x >2,或x <-2}(D){x |x ≥2,或x ≤-2}2.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p =300-2x ,生产x 件的成本r =500+30x (元),为使月获利不少于8600元,则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70(D)70≤x ≤753.国家为了加强对烟酒生产管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征税r 元,则每年产销量减少10r 万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8(D)0≤r ≤84.若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 4+4的解集是M ,则对任意实常数k ,总有( )(A)2∈M ,0∈M (B)2∉M ,0∉M (C)2∈M ,0∉M(D)2∉M ,0∈M二、填空题5.已知矩形的周长为36cm ,则其面积的最大值为________.6.不等式2x2+ax+2>0的解集是R,则实数a的取值范围是________.7.已知函数f(x)=x|x-2|,则不等式f(x)<3的解集为________.8.若不等式|x+1|≥kx对任意x∈R均成立,则k的取值范围是________.三、解答题9.若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值,并判断此时三角形形状.10.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素,在一个限速为40km/h的弯道上,甲乙两车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相撞了,事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问交通事故的主要责任方是谁?Ⅲ拓展训练题11.当x∈[-1,3]时,不等式-x2+2x+a>0恒成立,求实数a的取值范围.12.某大学印一份招生广告,所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm的空白,上下留有都为6cm的空白,中间排版面积为2400cm2.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知点A (2,0),B (-1,3)及直线l :x -2y =0,那么( )(A)A ,B 都在l 上方(B)A ,B 都在l 下方(C)A 在l 上方,B 在l 下方(D)A 在l 下方,B 在l 上方2.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.三条直线y =x ,y =-x ,y =2围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y (B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y (C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4.若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z =2x +4y 的最小值是( )(A)-6(B)-10 (C)5(D)105.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( ) (A)5种(B)6种(C)7种(D)8种二、填空题6.在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7.若不等式|2x +y +m |<3表示的平面区域包含原点和点(-1,1),则m 的取值范围是________. 8.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z =x -y 的取值范围是________.9.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10.方程|x |+|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11.画出下列不等式(组)表示的平面区域:(1)3x +2y +6>0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12.某实验室需购某种化工原料106kg ,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35kg ,价格为140元;另一种是每袋24kg ,价格为120元.在满足需要的前提下,最少需要花费多少元?Ⅲ 拓展训练题13.商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖,准备混合在一起装成每袋1公斤出售,有两种混合办法:第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖,每袋可盈利0.5元;第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖,每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋,使所获利润最大?最大利润是多少?14.甲、乙两个粮库要向A ,B 两镇运送大米,已知甲库可调出100吨,乙库可调出80吨,而A 镇需大米70吨,B 镇需大米110吨,两个粮库到两镇的路程和运费如下表:问:(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少?(2)最不合理的调运方案是什么?它给国家造成不该有的损失是多少?测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1.设a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式中一定正确的是( )(A)ac 2>bc 2(B)ba11(C)a -c >b -c (D)|a |>|b |2.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23(B)3 (C)4 (D)63.某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ,则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 24.设函数f (x )=222xx x +-,若对x >0恒有xf (x )+a >0成立,则实数a 的取值范围是( )(A)a <1-22(B)a <22-1 (C)a >22-1 (D)a >1-225.设a ,b ∈R ,且b (a +b +1)<0,b (a +b -1)<0,则( )(A)a >1 (B)a <-1 (C)-1<a <1 (D)|a |>1二、填空题6.已知1<a <3,2<b <4,那么2a -b 的取值范围是________,ba的取值范围是________.7.若不等式x 2-ax -b <0的解集为{x |2<x <3},则a +b =________. 8.已知x ,y ∈R +,且x +4y =1,则xy 的最大值为________. 9.若函数f (x )=1222--⋅+a ax x 的定义域为R ,则a 的取值范围为________.10.三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值.” 丙说:“把不等式两边看成关于x 的函数,作出函数图象.”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是________.三、解答题11.已知全集U =R ,集合A ={x | |x -1|<6},B ={x |128--x x >0}. (1)求A ∩B ; (2)求(U A )∪B .12.某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本1500元,运费400元,可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元,运费不得超过2000元,问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?Ⅱ 拓展训练题13.已知数集A ={a 1,a 2,…,a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ,n ≥2)具有性质P :对任意的i ,j (1≤i ≤j ≤n ),a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ,并说明理由; (2)证明:a 1=1,且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题 1.函数42-=x y 的定义域是( )(A)(-2,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞) (C)[-2,2](D)(-∞,-2]∪[2,+∞)2.设a >b >0,则下列不等式中一定成立的是( )(A)a -b <0 (B)0<ba <1(C)ab <2ba +(D)ab >a +b3.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ,则下列各点中,在区域W 内的点是( ) (A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(--(D))31,21(-4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列不等式中一定成立的是( )(A)a 1+a 3>0 (B)a 1a 3>0(C)S 1+S 3<0 (D)S 1S 3<05.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3 (C)2∶3∶1 (D)3∶2∶16.已知等差数列{a n }的前20项和S 20=340,则a 6+a 9+a 11+a 16等于( )(A)31(B)34(C)68(D)707.已知正数x 、y 满足x +y =4,则log 2x +log 2y 的最大值是( )(A)-4(B)4(C)-2(D)28.如图,在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ,已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ,距测速区终点B 的距离为0.05 km ,且∠APB =60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介于( )(A)60~70km/h (B)70~80km/h(C)80~90km/h (D)90~100km/h二、填空题9.不等式x(x-1)<2的解集为________.10.在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)的值为________. 11.已知{a n}是公差为-2的等差数列,其前5项的和S5=0,那么a1等于________.12.在△ABC中,BC=1,角C=120°,cos A=32,则AB=________.13.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥342,0yxyxyx,所表示的平面区域的面积是________;变量z=x+3y的最大值是________.14.如图,n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵,符号a ij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都等于q.若a11=21,a24=1,a32=41,则q=________;a ij=________.三、解答题15.已知函数f(x)=x2+ax+6.(1)当a=5时,解不等式f(x)<0;(2)若不等式f(x)>0的解集为R,求实数a的取值范围.16.已知{a n }是等差数列,a 2=5,a 5=14.(1)求{a n }的通项公式;(2)设{a n }的前n 项和S n =155,求n 的值.17.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,A ,B 是锐角,c =10,且34cos cos ==ab BA .(1)证明角C =90°; (2)求△ABC 的面积.18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨,供电至多45千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大?19.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cos A =31.(1)求A C B 2cos 2sin 2++的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.20.数列{a n }的前n 项和是S n ,a 1=5,且a n =S n -1(n =2,3,4,…).(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:⋅<++++531111321n a a a a参考答案 第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 提示:4.由正弦定理,得sin C =23,所以C =60°或C =120°,当C =60°时,∵B =30°,∴A =90°,△ABC 是直角三角形; 当C =120°时,∵B =30°,∴A =30°,△ABC 是等腰三角形. 5.因为A ∶B ∶C =1∶2∶3,所以A =30°,B =60°,C =90°, 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ===k ,得a =k ·sin30°=21k ,b =k ·sin60°=23k ,c =k ·sin90°=k ,所以a ∶b ∶c =1∶3∶2.二、填空题6.362 7.30° 8.等腰三角形 9.2373+ 10.425 提示:8.∵A +B +C =π,∴-cos A =cos(B +C ).∴2cos B cos C =1-cos A =cos(B +C )+1,∴2cos B cos C =cos B cos C -sin B sin C +1,∴cos(B -C )=1,∴B -C =0,即B =C .9.利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B . 10.由tan A =2,得52sin =A ,根据正弦定理,得ABCB AC sin sin =,得AC =425.三、解答题 11.c =23,A =30°,B =90°.12.(1)60°;(2)AD =7.13.如右图,由两点间距离公式,得OA =29)02()05(22=-+-,同理得232,145==AB OB .由余弦定理,得cos A =222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ,∴A =45°.14.(1)因为2cos(A +B )=1,所以A +B =60°,故C =120°. (2)由题意,得a +b =23,ab =2,又AB 2=c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-2ab -2ab cos C=12-4-4×(21-)=10.所以AB =10.(3)S △ABC =21ab sin C =21·2·23=23.测试二 解三角形全章综合练习1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 提示:5.化简(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,得b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A =212222=-+bc a c b ,所以∠A =60°.因为sin A =2sin B cos C ,A +B +C =180°, 所以sin(B +C )=2sin B cos C , 即sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C . 所以sin(B -C )=0,故B =C .故△ABC 是正三角形. 二、填空题6.30° 7.120° 8.524 9.55 10.3三、解答题11.(1)由余弦定理,得c =13;(2)由正弦定理,得sin B =13392.12.(1)由a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉,得〈a ,b 〉=60°; (2)由向量减法几何意义,知|a |,|b |,|a -b |可以组成三角形,所以|a -b |2=|a |2+|b |2-2|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=7, 故|a -b |=7.13.(1)如右图,由两点间距离公式,得29)02()05(22=-+-=OA ,同理得232,145==AB OB .由余弦定理,得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A 所以A =45°. 故BD =AB ×sin A =229.(2)S △OAB =21·OA ·BD =21·29·229=29.14.由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===, 得C RcB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.因为sin 2A +sin 2B >sin 2C , 所以222)2()2()2(RcR b R a >+, 即a 2+b 2>c 2. 所以cos C =abc b a 2222-+>0,由C ∈(0,π),得角C 为锐角.15.(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点,如图,则|AP |=4t ,|BQ |=4t ,因为|OA |=3,所以t =43h 时,P 与O 重合.故当t ∈[0,43]时,|PQ |2=(3-4t )2+(1+4t )2-2×(3-4t )×(1+4t )×cos60°;当t >43h 时,|PQ |2=(4t -3)2+(1+4t )2-2×(4t -3)×(1+4t )×cos120°.故得|PQ |=724482+-t t (t ≥0).(2)当t =h 4148224=⨯--时,两人距离最近,最近距离为2km.16.(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===, 得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sinC . 所以等式c a b CB +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=, 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=,2sin A cos B +sin C cos B =-cos C ·sin B ,故2sin A cos B =-cos C sin B -sin C cos B =-sin(B +C ), 因为A +B +C =π,所以sin A =sin(B +C ), 故cos B =-21, 所以B =120°.(2)由余弦定理,得b 2=13=a 2+c 2-2ac ×cos120°,即a 2+c 2+ac =13 又a +c =4, 解得⎩⎨⎧==31c a ,或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC =21ac sin B =21×1×3×23=433.第二章 数列 测试三 数列一、选择题1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 二、填空题6.(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7.(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8.67 9.15110.4 提示:9.注意a n 的分母是1+2+3+4+5=15.10.将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )=2n 2-15n +3,利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11.(1)数列{a n }的前6项依次是11,8,5,2,-1,-4;(2)证明:∵n ≥5,∴-3n <-15,∴14-3n <-1, 故当n ≥5时,a n =14-3n <0.12.(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ; (2)7932是该数列的第15项.13.(1)因为a n =n -n1,所以a 1=0,a 2=23,a 3=38,a 4=415;(2)因为a n +1-a n =[(n +1)11+-n ]-(n -n1)=1+)1(1+n n又因为n ∈N +,所以a n +1-a n >0,即a n +1>a n . 所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 二、填空题6.a 4 7.13 8.6 9.6n -1 10.35 提示:10.方法一:求出前10项,再求和即可;方法二:当n 为奇数时,由题意,得a n +2-a n =0,所以a 1=a 3=a 5=…=a 2m-1=1(m ∈N *).当n 为偶数时,由题意,得a n +2-a n =2, 即a 4-a 2=a 6-a 4=…=a 2m +2-a 2m =2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列. 故S 10=5a 1+5a 2+2)15(5-⨯×2=35.三、解答题11.设等差数列{a n }的公差是d ,依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n +1. 12.(1)设等差数列{a n }的公差是d ,依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n +10.。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题(每小题3分,共30分)1.在等差数列{}n a 中,已知48a a +=16,则210a a +=( )A.12B.16C.20D.242.已知等差数列{}n a 的公差为d (d ≠0),且36a a ++1013a a +=32,若m a =8,则m 的值为( )A.12B.8C.6D.43.已知不等式2230x x <--的整数解构成等差数列{}n a 的前三项,则数列{}n a 的第四项为()A.3B.-1C.2D.3或-14.已知数列{}n a 为等差数列且17134πa a a ++=,则212tan()a a +的值为( )A. 3B.± 3C.-33D.- 3 5.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3 L ,下面3节的容积共4 L ,则第5节的容积 A.1 L B.6766 LC.4744 LD.3733L6.将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组,第一组:{2,4},第二组{6,8,10,12},第三组:{14,16,18,20,22,24},则2 010位于第( ) A.30组 B.31组 C.32组 D.33组7.已知方程22(2)(2)x x m x x n -+-+=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m -n |=( )A.1B.34C.12D.388.在等差数列{}n a 中,若18152a a a ++=96,则9102a a -=( )A.24B.22C.20D.-8 9.已知等差数列{}n a 中有两项m a 和k a 满足m a =1k,k a =1m,则该数列前mk 项之和是( ) A.2m k + B.12mk + C.2m k + D.21mk +10.若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg lg y x ,, lg 2y x-成等差数列,则点P 所表示的图形是( )二、填空题(每小题4分,共16分)11.设等差数列{}n a 的公差为正数,若123a a a ++=15,123a a a =105,则111213a a a ++=________. 12.将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列. 13.若数列{}n x 满足1n n x x d --=(n ∈*N ,n ≥2),其中d 为常数,1220x x x +++=80,则516x x +=_____. 14.已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且公差d ≠0.若1()f a +227()()f a f a ++=0,则当k =_____时,()k f a =0.三、解答题(共54分)15.(12分)求等差数列8,5,2,…的第20项. 16.(14分)已知等差数列{}n a 前三项的和为-3,前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式.17.(14分)某市出租车的计价标准为1.2元/千米,起步价为10元,即最初的4千米(不含4千米)计费为10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?18.(14分)数列{}n a 满足14a =,144n n a a -=-(n ≥2),设n b =12n a -. (1)判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明; (2)求数列{}n a 的通项公式.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答题纸得分:一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析:由等差数列的性质,得2104816a a a a +=+=,故选B .2.B 解析:由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a +++=+++=+==,∴ 88a =.∴ 8m =.3.D 解析:由2230x x <--及x ∈Z ,得x =0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,-1. ∴ 4a =3或4a =-1.故选D.4.D 解析:由题意可得734πa =,∴ 7a =4π3,∴ 2127tan()tan(2)a a a +==8πtan 3=2πtan 3=- 3. 5.B 解析:设该等差数列为{}n a ,公差为d ,则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d =+=1322+766×4=6766. 6.C 解析:因为第n 组有2n 个正偶数,故前n 组共有2+4+6+…+2n =(2n +n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数,若n =31,则2n +n =992,而第32组中有64个偶数,992+64=1 056,故2 010在第32组. 7.C 解析:设220x x m -+=的根为12x x ,且12x x <,220x x n -+=的根为34x x ,且34x x <,不妨设1x =14. ∵ 122x x +=,∴ 2x =74.又∵ 342x x +=,且1342x x x x ,,,成等差数列,∴ 公差d =171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=12,∴ 3x =34, 4x =54.∴|m n -|=17354444⨯-⨯=12,故选C.8.A 解析:因为1815296a a a ++=,所以8496a =,所以 8a =24.又因为91082a a a =+,所以9108224a a a -==.9.B 解析:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则111(1),1(1),m k a a m d ka a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mk d mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析:由题意可知2lg lg lg2y x x y -=+,即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭=.整理,得222x y xy =-. 化简可知(2)()0x y x y -+=,即20x y -=或0x y +=,且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析:∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >,∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ++=+=.12.252 2 解析:通项2n a n =,故2 014为第1007项.∵ 1 007=4×251+3,又251为奇数,因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数,即第252行第2列.13.8 解析:由1n n x x d --=知{}n x 是公差为d 的等差数列,∴ 122080x x x +++=⇒12010()80x x +=⇒1208x x +=,∴ 5161208x x x x +=+=.14.14 解析:∵ ()sin tan f x x x =+为奇函数,且在0x =处有定义,∴ (0)0f =. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠,1227()()()0f a f a f a +++=,∴ *(127)n a n n ≤≤∈,N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a =,∴ k =14. 三、解答题15.解:由18a =,583d =-=-,20n =,得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解:设等差数列{}n a 的公差为d ,则21312a a d a a d =+,=+.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+或43(1)37n a n n =-+-=-. 故35n a n =-+或37n a n =-.17.解:可以抽象为等差数列的数学模型,4 千米处的车费记为111.2a =,公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时,11n =,求11a .11a =11.2+(11-1)×1.2=23.2.答:需要支付车费23.2元. 18.解:(1)∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--,∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. (2)∵ 111122b a ==-,11(1)222n n b n =+-⨯=,∴ 122n n a =-,∴ 2(1)n n a n +=.。
人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题(人教B版必修5) 3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形,下列判断正确的是()ooA. a=7,b=14,A=30,有两解.B. a=30,b=25,A=150,有一解.ooC. a=6,b=9,A=45,有两解.D. a=9,b=10,A=60,无解. 2.在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3.在?ABC中,已知a=52,c=10,∠A=30,则∠B等于()oA.105B. 60C. 15D.105或154.在?ABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是()oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是()A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中,∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A.6 B.26 C.36 D.46 7.在ΔABC中,∠A=45, a=2,b=2,则∠B=()00A.300 B.300或1500 C.600 D.600或1200 二、填空题8.在ΔABC中,a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。
人教A 高中数学必修5同步训练1.数列1,12,14,…,12n ,…是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .摆动数列答案:B2.已知数列{a n }的通项公式a n =12[1+(-1)n +1],则该数列的前4项依次是( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1C.12,0,12,0 D .2,0,2,0 答案:A3.数列{a n }的通项公式a n =cn +d n ,又知a 2=32,a 4=154,则a 10=__________. 答案:99104.已知数列{a n }的通项公式a n =2n 2+n. (1)求a 8、a 10.(2)问:110是不是它的项?若是,为第几项? 解:(1)a 8=282+8=136,a 10=2102+10=155. (2)令a n =2n 2+n =110,∴n 2+n =20. 解得n =4.∴110是数列的第4项.一、选择题1.已知数列{a n }中,a n =n 2+n ,则a 3等于( )A .3B .9C .12D .20答案:C2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )A .1,12,13,14,… B .-1,-2,-3,-4,…C .-1,-12,-14,-18,… D .1,2,3,…,n解析:选C.对于A ,a n =1n,n ∈N *,它是无穷递减数列;对于B ,a n =-n ,n ∈N *,它也是无穷递减数列;D 是有穷数列;对于C ,a n =-(12)n -1,它是无穷递增数列. 3.下列说法不正确的是( )A .根据通项公式可以求出数列的任何一项B .任何数列都有通项公式C .一个数列可能有几个不同形式的通项公式D .有些数列可能不存在最大项解析:选B.不是所有的数列都有通项公式,如0,1,2,1,0,….4.数列23,45,67,89,…的第10项是( ) A.1617 B.1819C.2021D.2223解析:选C.由题意知数列的通项公式是a n =2n 2n +1, ∴a 10=2×102×10+1=2021.故选C. 5.已知非零数列{a n }的递推公式为a n =n n -1·a n -1(n >1),则a 4=( ) A .3a 1 B .2a 1C .4a 1D .1解析:选C.依次对递推公式中的n 赋值,当n =2时,a 2=2a 1;当n =3时,a 3=32a 2=3a 1;当n =4时,a 4=43a 3=4a 1. 6.已知数列{a n }满足a 1>0,且a n +1=12a n ,则数列{a n }是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .摆动数列解析:选B.由a 1>0,且a n +1=12a n ,则a n >0. 又a n +1a n =12<1,∴a n +1<a n . 因此数列{a n }为递减数列.二、填空题7.已知数列{a n }的通项公式a n =19-2n ,则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________.解析:由a n =19-2n >0,得n <192,∵n ∈N *,∴n ≤9. 答案:98.已知数列{a n }满足a 1=2,a 2=5,a 3=23,且a n +1=αa n +β,则α、β的值分别为________、________.解析:由题意a n +1=αa n +β,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=αa 1+βa 3=αa 2+β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5=2α+β23=5α+β⇒⎩⎪⎨⎪⎧α=6,β=-7. 答案:6 -79.已知{a n }满足a n =(-1)n a n -1+1(n ≥2),a 7=47,则a 5=________. 解析:a 7=-1a 6+1,a 6=1a 5+1,∴a 5=34. 答案:34三、解答题10.写出数列1,23,35,47,…的一个通项公式,并判断它的增减性. 解:数列的一个通项公式a n =n 2n -1. 又∵a n +1-a n =n +12n +1-n 2n -1=-1(2n +1)(2n -1)<0, ∴a n +1<a n .∴{a n }是递减数列.11.在数列{a n }中,a 1=3,a 17=67,通项公式是关于n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求a 2011;(3)2011是否为数列{a n }中的项?若是,为第几项?解:(1)设a n =kn +b (k ≠0),则有⎩⎪⎨⎪⎧k +b =3,17k +b =67, 解得k =4,b =-1.∴a n =4n -1.(2)a 2011=4×2011-1=8043.(3)令2011=4n -1,解得n =503∈N *,∴2011是数列{a n }的第503项.12.数列{a n }的通项公式为a n =30+n -n 2.(1)问-60是否是{a n }中的一项?(2)当n 分别取何值时,a n =0,a n >0,a n <0?解:(1)假设-60是{a n }中的一项,则-60=30+n -n 2.解得n =10或n =-9(舍去).∴-60是{a n }的第10项.(2)分别令30+n -n 2=0;>0;<0,解得n =6;0<n <6;n >6,即n =6时,a n =0;0<n <6时,a n >0;n >6时,a n <0. 关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者,不迷就没有数学。
人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1.在ABC ∆中,10a =,60B =,45C =,则c = ( )A .10B .1)C .1)D .2.在ABC ∆中,下列关系式中一定成立的是 ( ) A .sin a b A > B .sin a b A = C .sin a b A <D .sin a b A ≥3. 在ABC ∆中,已知60A =,a =sin sin sin a b cA B C++=++ ( )A B D .4. 在ABC ∆中,已知22tan tan a B b A =,则此三角形是 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中,已知4AB = ,1AC = ,ABC S ∆=,则AB AC的值为( )A .2-B .2C .4±D .2±6. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且4a =,5b c +=,tan tan tan B C B C += ,则ABC ∆的面积为 ( )A ..34二、填空题7.在ABC ∆中,若1b =,c =C =2π3,则a =________.8.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边.若a =1,b =3,A +C =2B ,则sin C =________.三、解答题9.根据下列条件,解ABC ∆.(1)已知4b =,8c =,30B =,解此三角形; (2)已知45B =,75C =,2b =,解此三角形.10. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若2a =,4C π=,cos25B =, 求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7.1 8. 1三、解答题9. 解:(1)由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ,得90C =从而60A = ,a ==(2)由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解:由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<,得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中,由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1.在ABC ∆中,已知13,34,8===c b a ,则ABC ∆的最小角为 ( ) A .3π B .4π C .4π D .12π 2.在ABC ∆中,如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于 ( )A .030B .060C .0120D .01503.在ABC ∆中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于 ( ) A .12 B .221C .28D .36 4.在ABC ∆中,若bc a c b c b a 3))((=-+++,并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形5.在ABC ∆中,60A = ,1b =,ABC S ∆,则sin sin sin a b cA B C++=++ ( )A B D 6.某班设计了一个八边形的班徽(如右图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 ( )A .2sin 2cos 2αα-+B .sin 3αα+C .3sin 1αα+D .2sin cos 1αα-+ 二、填空题7.在ABC ∆中,三边的边长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若)cos cos c A a C -=,则cos A = .三、解答题9.在△ABC 中,已知030,35,5===A c b ,求C B a 、、及面积S .10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.已知:b =2,c =4,cos A =34.(1)求边a 的值;(2)求cos(A -B )的值.1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7.8.三、解答题9. 解 由余弦定理,知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解:(1)a 2=b 2+c 2-2bc cos A=22+42-2×2×4×34=8,∴a =2 2.(2)∵cos A =34,∴sin A =74,a sin A =bsin B , 即2274=2sin B .∴sin B =148.又∵b <c ,∴B 为锐角.∴cos B =528. ∴cos(A -B )=cos A cos B +sin A sin B =34×528+74×148=11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1.在ABC ∆中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是 ( )A .6π B .56π C .3πD .23π2.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,如果c =,30B =,那么角C等于 ( ) A .120B .105C .90D .753.ABC ∆的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的半径为( )A B C D . 4.在ABC ∆中,若1413cos ,8,7===C b a ,则最大角的余弦是 ( ) A .51- B .61- C .71- D .81-5. 在ABC ∆中,A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+,ABC ∆的面积等于 ( )A .3B .CD 6.在ABC ∆中,2sin22A c b c-= (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则ABC ∆的形状为 ( )A .正三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形 二、填空题7.已知在ABC ∆中,060A =,最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根,那么BC 边长等于________.8.已知锐角ABC ∆的三边a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且222()tan b c a A +-,则角A 的大小_________.三、解答题9.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小;(2)若b =4a c +=,求ABC ∆的面积.10.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值;(2)当2a =,2sin sin A C =时,求b 及c 的长.1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7.78.60三、解答题9. 解:(1)由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C , 代入(2a -c )cos B =b cos C ,整理,得2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B , 即2sin A cos B =sin(B +C )=sin A . 又sin A >0,∴2cos B =1,由B ∈(0,π),得B =π3. (2)由余弦定理得 b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B .将b =7,a +c =4,B =π3代入整理,得ac =3.∴△ABC 的面积为S =12ac sin B =32sin60°=334.10. 解:(1)因为cos2C =1-2sin 2C =-14,所以sin C =±104, 又0<C <π,所以sin C =104.(2)当a =2,2sin A =sin C 时,由正弦定理a sin A =csin C ,得c =4. 由cos2C =2cos 2C -1=-14,且0<C <π得cos C =±64. 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得b 2±6b -12=0, 解得b =6或26,所以⎩⎨⎧ b =6,c =4,或⎩⎨⎧b =26,c =4.1.2应用举例(二)一、选择题1. 在某测量中,设A 在B 的南偏东3427' ,则B 在A 的 ( ) A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3.已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC a =,从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>,则A 点离地面的高AB 等于 ( ) A .)sin(sin sin βαβα-a B .)cos(sin sin βαβα-a C .)sin(cos cos βαβα-a D . )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长 ( )A .1公里B .sin10°公里C .cos10°公里D .cos20°公里5. 如右图,在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ,再继续前进103米至D 处,测得顶端A 的仰角为4θ,则θ的值为 ( )A .15°B .10°C .5°D .20°6.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°, 另一灯塔在船的南偏西75°西,则这只船的速度是每小时( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7.我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为 .8.在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ,塔底俯角为45 ,那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9.如图,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45 方向,距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行,若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船?10.在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.1.2应用举例(二)一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7.14nmile/h8. 20(1+3)m三、解答题9. 解:设用t h ,甲船能追上乙船,且在C 处相遇。
人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6.2.在△ABC 中,A =60°,a =13,则a +b +csin A +sin B +sin C等于( )A.8381B.2393C.393D .27 解析:选B.由比例的运算性质知a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =b sin B =c sin C ,故a sin A =1332=2393. 3.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =32,∵AB >AC ,∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.再由S △ABC =12AB ·AC sin A 可求面积.4.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________. 解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B , 代入式子a =2b cos C ,得 2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C , 所以sin A =2sin B ·cos C , 即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C , 化简,整理,得sin(B -C )=0. ∵0°<B <180°,0°<C <180°, ∴-180°<B -C <180°, ∴B -C =0°,B =C . 答案:等腰三角形5.在△ABC 中,已知b =16,A =30°,B =120°,求边a 及S △ABC .解:由正弦定理,得a =b sin A sin B =16×sin30°sin120°=1633.又C =180°-(A +B )=180°-(30°+120°)=30°,∴S △ABC =12ab sin C =12×1633×16×12=6433.1.在△ABC 中,若AB =3,∠ABC =75°,∠ACB =60°,则BC 等于( ) A.3 B .2 C. 5 D. 6解析:选D.∠BAC =180°-75°-60°=45°,由正弦定理得BC sin ∠BAC =ABsin ∠ACB,∴BC =AB sin ∠BAC sin ∠ACB=3×sin 45°sin 60°= 6.2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )A. 6 B .2 C. 3 D. 2解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C,∴sin C =12.又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°, △ABC 为等腰三角形,a =c = 2.3.在△ABC 中,若cos A cos B =ba,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin Bsin A,sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2.4.三角形的两边长为3 cm 、5 cm ,其夹角的余弦值是方程5x 2-7x -6=0的根,则此三角形的面积是( )A .6 cm 2B .152cm 2C .8 cm 2D .10 cm 2 解析:选A.设其夹角为θ,由方程得cos θ=-35,∴sin θ=45,∴S =12×3×5×45=6(cm 2).5.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =m ∶(m +1)∶2m ,则m 的取值范围是( ) A .m >2 B .m <0C .m >-12D .m >12解析:选D.由已知和正弦定理可得:a ∶b ∶c =m ∶(m +1)∶2m .令a =mk ,b =(m +1)k ,c =2mk (k >0),则a ,b ,c 满足三角形的三边关系,即⎩⎪⎨⎪⎧a +b >c ,a +c >b ,b +c >a .得m >12.6.△ABC 中,若sin A a =cos B b =cos Cc,则△ABC 中最长的边是( )A .aB .bC .cD .b 或c解析:选A.cos B b =cos Cc,∴tan B =tan C ,∴B =C , sin A a =cos B b =cos B a sin B sin A=sin A ·cos Ba sin B,∴tan B =1,∴B =4=π4,A =π2,故a 最长.7.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +csin A +sin B +sin C=________,c =________.解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =63sin60°=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴12×12×sin60°×c =183,∴c =6.答案:12 68.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°,∴2R =a sin A =1sin30°=2,又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,∴a -2b +c sin A -2sin B +sin C =2R (sin A -2sin B +sin C )sin A -2sin B +sin C =2R =2. 答案:29.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.解析:依题意,sin C =223,S △ABC =12ab sin C =43,解得b =2 3. 答案:2 310.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.解:由S =12ab sin C 得,153=12×603×sin C ,∴sin C =12,∴∠C =30°或150°.又sin B =sin C ,故∠B =∠C . 当∠C =30°时,∠B =30°,∠A =120°.又∵ab =603,a sin A =bsin B,∴b =215.当∠C =150°时,∠B =150°(舍去). 故边b 的长为215.11.已知△ABC 中,A 、B 、C 分别是三个内角,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,△ABC 的外接圆半径为12,且C =π3,求△ABC 面积S 的最大值.解:S △ABC =12ab sin C =12·2R sin A ·2R sin B ·sin C =3R 2sin A sin B =32R 2[cos(A -B )-cos(A +B )]=32R 2[cos(A -B )+12]. 当cos(A -B )=1,即A =B 时,(S △ABC )max =334R 2=334×144=108 3.12.在平面四边形OAPB 中,∠AOB =120°,OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,且AB =23,求OP 的长.解:如图,在平面四边形OAPB 中,∵OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,∴O 、A 、B 、P 四点共圆.∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径.∵a sin A =b sin B =c sin C=2R , 在△AOB 中,∠AOB =120°,AB =23,∴2R =AB sin ∠AOB =23sin 120°=4,∴△AOB 外接圆的直径为4, 即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1.(2011年开封高二检测)在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin Bsin A= 6.2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3C .4 6 D.323解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin Bsin A =4 6.3.在△ABC 中,∠B =45°,c =22,b =433,则∠A 的大小为( )A .15°B .75°C .105°D .75°或15°解析:选D.∵∠B 为锐角,又c sin B <b <c ,∴三角形有两解.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3,则A=________.解析:由正弦定理得:a sin A =csin C,所以sin A =a ·sin C c =12.又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π6.答案:π65.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?解:在△ABC 中,BC =40×12=20,∠ABC =140°-110°=30°, ∠ACB =(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A =180°-(30°+105°)=45°, 由正弦定理得AC =BC ·sin ∠ABC sin A=20sin30°sin45°=102(km). 即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.1.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A .a sin A =b sin B B .a sin B =b sin A C .a cos A =b cos B D .a cos B =b cos A解析:选B.由正弦定理得:a sin A =b sin B,故a sin B =b sin A . 2.(2009年高考广东卷)已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a =c =6+2,且∠A =75°,则b =( )A .2 B.6- 2 C .4-2 3 D .4+2 3解析:选A.sin A =sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+64.由a =c =6+2可知,∠C =75°,所以∠B =30°,sin B =12,由正弦定理得b =asin A ·sin B =2+62+64×12=2,故选A. 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B =45°.4.(2011年青岛高二检测)在△ABC 中,∠A =π3,BC =3,则△ABC 的两边AC +AB的取值范围是( )A .[33,6]B .(2,43)C .(33,43]D .(3,6]解析:选D.在△ABC 中,AC =BC ·sin B sin A =3·sin Bsin π3=23sin B ,AB =23sin C ,∴AC +AB =23sin B +23sin C =23(sin B +sin C )=23[sin B +sin(2π3-B )]=23(sin B +sin 2π3cos B -cos 2π3sin B )=23(32sin B +32cos B )=23×3(32sin B +12cos B )=6sin(B +π6),∵0<B <2π3,∴π6<B +π6<5π6,∴sin(B +π6)∈(12,1],∴AC +AB =6sin(B +π6)∈(3,6].5.在△ABC 中,∠B =30°,∠C =60°,a =1,则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析:选C.由a sin A =b sin B 得,b =a sin B sin A =12,∵∠B 最小,∴最小边是b .6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )A .1 B.12 C .2D.14解析:选A.C =180°-105°-45°=30°,由b sin B =csin C 得c =2×sin 30°sin45°=1.7.在△ABC 中,已知a =433,b =4,A =30°,则sin B =________.解析:由正弦定理得a sin A =bsin B⇒sin B =b sin A a =4×12433=32.答案:328.(2011年盐城高二检测)在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,由a sin A =bsin B 得,a =12×sin30°sin120°=43, ∴a +c =8 3. 答案:8 39.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.解析:∵b sin C =43×12=23且c =2,∴c <b sin C ,∴此三角形无解. 答案:010.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sinB sinC =cos 2A2,求A 、B 及b 、c .解:由sin C 2cos C 2=14,得sin C =12,又C ∈(0,π),所以C =π6或C =5π6.由sin B sin C =cos 2A2,得sin B sin C =12[1-cos(B +C )],即2sin B sin C =1-cos(B +C ),即2sin B sin C +cos(B +C )=1,变形得 cos B cos C +sin B sin C =1,即cos(B -C )=1,所以B =C =π6,B =C =5π6(舍去),A =π-(B +C )=2π3.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C,得b =c =a sin Bsin A =23×1232=2.故A =2π3,B =π6,b =c =2.11.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =1010,∴cos B =1-sin 2B =31010.又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =255,∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =255×31010-55×1010=22.又0<A +B <π,∴A +B =π4.(2)由(1)知,C =3π4,∴sin C =22.由正弦定理:a sin A =b sin B =csin C得5a =10b =2c ,即a =2b ,c =5b .∵a -b =2-1,∴2b -b =2-1,∴b =1. ∴a =2,c = 5.12.在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知2B =A +C ,a +2b =2c ,求sin C 的值.解:因为2B =A +C ,A +B +C =180°, 所以B =60°,A +C =120°. 所以0°<A <120°,0°<C <120°.又因为a +2b =2c ,所以sin A +2sin B =2sin C , 所以sin(120°-C )+2sin60°=2sin C ,所以3sin C -cos C =2,即sin(C -30°)=22.又因为0°<C <120°且sin(C -30°)>0, 所以0°<C -30°<90°. 所以C -30°=45°,C =75°.所以sin C =sin75°=6+24.人教B 版必修5同步练习1.在△ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c 2-a 2-b22ab>0,则△ABC ( )A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .是锐角或直角三角形解析:选C.∵cos C =a 2+b 2-c22ab<0,∴C 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 2.如果满足∠ABC =60°,AC =12,BC =k 的三角形恰有一个,那么k 的取值范围是( ) A .k =8 3 B .0<k ≤12 C .k ≥12 D .0<k ≤12或k =8 3 解析:选D.设AB =x ,由余弦定理得 122=x 2+k 2-2kx cos60°,化简得x 2-kx +k 2-144=0,因为方程的两根之和x 1+x 2=k >0,故方程有且只有一个根,等价于k 2-4(k 2-144)=0或k 2-144≤0,解得0<k ≤12或k =8 3.3.在△ABC 中,若a cos 2C 2+c cos 2A 2=32b ,那么a 、b 、c 的关系是( )A .a +b =cB .a +c =2bC .b +c =2aD .a =b =c解析:选B.cos 2C 2=1+cos C 2,cos 2A 2=1+cos A2,代入已知条件等式,得a +c +a cos C +c cos A =3b ,a +c +a ×a 2+b 2-c 22ab +c ×b 2+c 2-a 22bc=3b ,整理,得a +c =2b .4.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________.解析:12ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2=12ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°. 答案:45°5.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A . (1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BCsin A,得AB =sin Csin ABC =2BC =2 5.(2)在△ABC 中,根据余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =255,于是sin A =1-cos 2A =55.从而sin 2A =2sin A cos A =45,cos 2A =cos 2 A -sin 2 A =35.所以sin(2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=210.1.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,联想到余弦定理,代入得cos B =a 2+c 2-b 22ac =32·1tan B =32·cos B sin B .显然∠B ≠π2,∴sin B =32.∴∠B =π3或2π3.2.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( ) A .a B .b C .c D .以上均不对解析:选C.a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·b 2+c 2-a 22bc =2c 22c=c .3.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2. 设增加的长度为m ,则c +m >a +m ,c +m >b +m ,又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.4.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4解析:选A.S △ABC =3=12|AB →|·|AC →|·sin A=12×4×1×sin A , ∴sin A =32,又∵△ABC 为锐角三角形,∴cos A =12,∴AB →·AC →=4×1×12=2.5.已知△ABC 的三个内角∠A ,∠B ,∠C 所对的三边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积S =c 2-(a -b )2,则tan C2等于( )A.12B.14C.18D .1 解析:选B.依题意知S =c 2-(a -b )2=c 2-a 2-b 2+2ab =2ab -2ab cos C =12ab sin C ,得sin C +4cos C =4,即2sin C 2cos C 2+4(2cos 2C2-1)=4,即2sin C 2cos C 2+8cos 2C 2sin 2C 2+cos 2C 2=8,得2tan C 2+8tan 2C 2+1=8.解得tan C 2=14或tan C2=0(舍去).6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .90° B .120° C .135° D .150°解析:选B.设中间角为θ,则cos θ=52+82-722×5×8=12,θ=60°,180°-60°=120°即为所求.7.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.解析:S =12ab sin C ,sin C =32,∴C =60°或120°.∴cos C =±12,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴c 2=21或61,∴c =21或61. 答案:21或618.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________. 解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4, 设a =2k (k >0),则b =3k ,c =4k ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =(2k )2+(4k )2-(3k )22×2k ×4k=1116,同理可得:cos A =78,cos C =-14,∴cos A ∶cos B ∶cos C =14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4)9.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.解析:∵cos C =13,∴sin C =223.又S △ABC =12ab sin C =43,即12·b ·32·223=43, ∴b =2 3. 答案:2 310.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.解:由正弦定理,得sin C sin B =cb.由2cos A sin B =sin C ,有cos A =sin C 2sin B =c2b.又根据余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2b =b 2+c 2-a22bc,即c 2=b 2+c 2-a 2,所以a =b .又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,所以(a +b )2-c 2=3ab ,所以4b 2-c 2=3b 2, 所以b =c ,所以a =b =c , 因此△ABC 为等边三角形.11.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =60°,c =3b .求: (1)ac的值; (2)cot B +cot C 的值.解:(1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(13c )2+c 2-2·13c ·c ·12=79c 2,故a c =73.(2)cot B +cot C =cos B sin C +cos C sin B sin B sin C =sin (B +C )sin B sin C =sin Asin B sin C,由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C =1sin A ·a 2bc=23·79c 213c ·c =1433=1439,故cot B +cot C =1439.12.在三角形ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证:a 2-b 2c 2=sin (A -B )sin C.证明:法一:右边=sin A cos B -cos A sin Bsin C=a ·cos B -cos A ·b c=a ·a 2+c 2-b 22ac -b 2+c 2-a 22bc·bc=a 2+c 2-b 2-b 2-c 2+a 22c c =a 2-b 2c 2=左边.法二:左边=sin 2A -sin 2Bsin 2C=1-cos 2A 2-1-cos 2B2sin 2C=cos 2B -cos 2A 2sin 2C=-2sin (B +A )sin (B -A )2sin 2C=sin C ·sin (A -B )sin 2C =sin (A -B )sin C=右边.人教B 版必修5同步练习1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .2 6C .3 6D .4 6 解析:选A.由余弦定理,得 AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B= 42+62-2×4×6×13=6.2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D .2解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30° =2, ∴c = 2.3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150°解析:选D.cos ∠A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-32,∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°.4.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =π3.在△ABD 中,AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B= 1+4-2×1×2×12= 3.答案: 35.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数. 解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10, ∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0), ∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又C ∈(0°,180°),∴C =120°.1.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析:选B.易知c 最小,cos C =a 2+b 2-c 22ab=72+(43)2-(13)22×7×43=32. 又∵0<C <π,∴C =π6.2.在不等边三角形中,a 是最大的边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是( )A .(π2,π)B .(π4,π2)C .(π3,π2)D .(0,π2)解析:选C.因为a 是最大的边,所以A >π3.又a 2<b 2+c 2,由余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc>0,所以A <π2,故π3<A <π2.3.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( ) A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .2解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即3=a 2+9-33a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =3或2 3.4.在△ABC 中,已知a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则角C 等于( ) A .30° B .60° C .45°或135° D .120°解析:选C.由a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2), 得(a 2+b 2-c 2)2=2a 2b 2,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =±22,所以C =45°或135°.5.在△ABC 中,已知a 2=b 2+bc +c 2,则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析:选C.由a 2=b 2+bc +c 2得b 2+c 2-a 2=-bc , 即b 2+c 2-a 22bc =-12,联想到余弦定理,∴cos A =-12,∴∠A =2π3.6.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac 且c =2a ,则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析:选B.由b 2=ac ,又c =2a ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 24a 2=34.7.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →的值为________.解析:在△ABC 中,cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=49+25-362×7×5=1935, ∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )=7×5×(-1935)=-19. 答案:-198.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________.解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),则⎩⎪⎨⎪⎧k 2+(k -1)2-(k +1)2<0k +k -1>k +1⇒2<k <4, ∴k =3,故三边长分别为2,3,4,∴最小角的余弦值为32+42-222×3×4=78.答案:789.设△ABC 中,AB →=(1,2),AC →=(-x,2x )(x >0).若△ABC 的周长为65时,则x 的值为________.解析:c =5,b =5x ,∴a =(5-x )5,由余弦定理得cos A =5x -12x ,又cos A =AB →·AC→|AB →||AC →|=35, ∴x =3011.答案:301110.在△ABC 中,边a ,b 的长是方程x 2-5x +2=0的两个根,C =60°,求边c 的长. 解:由题意得a +b =5,ab =2,∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab =25-4=21, ∴c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2-ab =21-2=19. ∴c =19.11.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,∴cos(π-C )=12,即cos C =-12.又∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根, ∴a +b =23,ab =2. ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=a 2+b 2-2ab (-12)=a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab =(23)2-2=10, ∴AB =10.12.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C . (1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.解:(1)由题意及正弦定理得AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB , 两式相减,得AB =1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =13,由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2-AB22AC ·BC=(AC +BC )2-2AC ·BC -AB 22AC ·BC =12,所以C =60°.人教B 版必修5同步练习1.如图,在河岸AC 测量河的宽度BC ,测量下列四组数据,较适宜的是( )A .a 和cB .c 和bC .c 和βD .b 和α解析:选D.在河的一岸测量河的宽度,关键是选准基线,在本题中AC 即可看作基线,在△ABC 中,能够测量到的边角分别为b 和α.2.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 解析:选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB =120°,在△ABC 中,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120°=2a 2-2a 2×(-12)=3a 2.∴AB =3a .3.在200 m 的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析:选A.如图,设塔高为AB ,山顶为C ,在Rt △CDB 中,CD =200,∠BCD =90°-60°=30°,∴BC =200cos30°=40033.在△ABC 中,∠ABC =∠ACB =30°,∴∠BAC =120°,BC sin120°=ABsin30°,∴AB =BC ·sin30°32=4003(m).4.一河两岸有A 、B 两地,为了测出AB 的距离,在河岸上选取一点C ,测得∠CAB =60°,∠ACB =45°,AC =60 m ,则AB ≈________.(精确到1 m).解析:在△ABC 中,先由三角形的内角和定理求出∠B ,再由正弦定理求出AB . 答案:44 m5.已知A 、B 两点的距离为100海里,B 在A 的北偏东30°方向,甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行,同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行,问航行几小时,两船之间的距离最小?解:如图所示,设航行x 小时以后,甲船到达C 点,乙船到达D 点,在△BCD 中,BC =100-50x (海里)(0≤x ≤2),BD =30x (海里),∠CBD =60°,由余弦定理得: CD 2=(100-50x )2+(30x )2-2(100-50x )·30x ·cos60° =4900x 2-13000x +10000, 作为二次函数考虑,当x =130002×4900=6549(小时)时,CD 2最小,从而得CD 最小.故航行6549小时,两船之间距离最小.1.海面上有A ,B 两个小岛,相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角,则B 岛与C 岛之间的距离是( )A .10 3 海里 B.1063海里C .5 2 海里D .5 3 海里解析:选D.在由A ,B ,C 三岛组成的△ABC 中,∠C =180°-∠A -∠B =90°, 所以BC =AB ·sin60°=5 3.2.如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( )A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东10°D .南偏西10°解析:选B.∠ACB =180°-40°-60°=80°,又∵AC =BC ,∴∠ABC =∠BAC =180°-80°2=50°,又90°-50°-30°=10°, ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3.如图,D 、C 、B 在地平面同一直线上,DC =10 m ,从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于( )A .10 mB .5 3 mC .5(3-1)mD .5(3+1) m解析:选D.在△ACD 中,由DC sin (45°-30°)=ACsin30°得AC =10×12sin (45°-30°)=56-24=5(6+2).在△ABC 中,AB =AC ·sin45°=5(6+2)×22=5(3+1).4. 如图所示,有一广告气球,直径为6 m ,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC =30°时,测得气球的视角θ为2°,若θ的弧度数很小时,可取sin θ为θ的弧度数,由此可估计该气球的高BC 约为( )A .70 mB .86 mC .102 mD .118 m解析:选B.由题意,知∠BAC =30°,所以BC =12AC .又圆的半径为3 m ,sin1°=sinπ180≈π180,所以AC ≈3×180π,即BC =12AC ≈270π≈86 (m).5.(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为106米(如图所示).旗杆底部与第一排在一个水平面上,若国歌长度为50秒,升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析:选B.∠ABC =180°-60°-15°=105°, ∠CAB =180°-105°-45°=30°.∴AB =BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA =106sin 30°·sin 45°=20 3.在Rt △OAB 中,OA =AB sin ∠ABO =203·sin 60°=30.∴v =3050=35(米/秒).故选B.6.在某个位置测得某山峰的仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m 后,测得仰角为原来的2倍,继续在地面上前进200 3 m 后,测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度为( )A .200 mB .300 mC .400 mD .100 m解析:选B.如图所示,在三角形ABC 中,BC =AC =600.在三角形ADC 中,DC =AD =2003,所以AD sin2θ=AC sin (180°-4θ)=ACsin4θ,所以2003sin2θ=6002sin2θcos2θ,所以cos2θ=32,2θ=30°,所以在三角形ADE 中,AE =AD sin4θ=2003×32=300(m).7.一船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________.解析:如图所示,AB =60 km ,∠MAB =30°,∠AMB =180°-30°-105°=45°.由MB sin30°=AB sin45°,得MB =30 2 km. 答案:30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图),由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去,走了20里之后,到达D 处,此时CD 间的距离为21里,问此人还要走__________里路可到达A 城.解析:在△CDB 中,由余弦定理得cos ∠DBC =DB 2+BC 2-CD 22·DB ·BC =2331,∴sin ∠DBC =12331,∴sin ∠ACB =sin[π-(∠DBC +∠DAC )]=sin(∠DBC +π3)=35362,在△CAB 中,由正弦定理得AB =BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB=35,∴AD =35-20=15. 答案:159.如图所示的是曲柄连杆结构示意图,当曲柄OA 在水平位置时,连杆端点P 在Q 的位置,当OA 自OB 按顺时针旋转α角时,P 和Q 之间的距离为x ,已知OA =25 cm ,AP =125 cm ,若OA ⊥AP ,则x =________(精确到0.1 cm).解析:x =PQ =OA +AP -OP =25+125-252+1252 ≈22.5(cm). 答案:22.5 cm10.在2008年北京奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出.由经验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍,问游击手在这种布置下能否接着球?解:假设游击手能接着球,接球点为B ,游击手从A 点跑出,本垒为O 点,球速为v ,如图所示,则∠AOB =15°,OB =v t ,AB ≤v t4.在△AOB 中,由正弦定理,得OB sin ∠OAB =ABsin15°,所以sin ∠OAB =OB sin15°AB≥v t v t 4·6-24=6- 2. 因为(6-2)2=8-43>8-4×1.73>1, 即sin ∠OAB >1,所以∠OAB 不存在,即游击手不能接着球. 11.甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处,乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶.已知甲船的速度是 3a n mile/h ,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?解:如图,设经过t h 两船在C 点相遇, 则在△ABC 中,BC =at ,AC =3at ,B =90°+30°=120°,由BC sin ∠CAB =AC sin B, 得sin ∠CAB =BC sin BAC=at ·sin120°3at =323=12.∵0°<∠CAB <90°, ∴∠CAB =30°, ∴∠DAC =60°-30°=30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.12.(2011年济南调研)A ,B ,C 是一条直路上的三点,AB =BC =1 km ,从这三点分别遥望一座电视发射塔P ,在A 处看见塔在东北方向,在B 处看见塔在正东方向,在C 处看见塔在南偏东60°方向,求塔到直路的距离.解:如图所示,设BN =x,则PQ =x ,P A =2x ,∵AB =BC ,∴CM =2BN =2x ,PC =2PQ =2x . 在△P AC 中,由余弦定理,得: AC 2=P A 2+PC 2-2P A ·PC ·cos 75°,即4=2x 2+4x 2-42x 2·6-24,解得x 2=2(4+3)13.过P 作PD ⊥AC ,垂足为D ,则线段PD 的长即为塔到直路的距离.在△P AC 中,由12AC ·PD =12P A ·PC sin 75°,得PD =P A ·PC ·sin 75°AC =22x 2·sin 75°2=2·2(4+3)13 ·6+24=7+5313.故塔到直路的距离为7+5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间:120分钟;满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2011年福州高二检测)在△ABC 中,a =1,∠A =30°,∠B =60°,则b 等于( )A.32B.12C. 3 D .2解析:选C.由a sin A =b sin B 得,b =a sin B sin A =1·sin60°sin30°= 3.2.在△ABC 中,a =80,b =100,∠A =45°,则此三角形解的情况是( ) A .一解 B .两解 C .一解或两解 D .无解解析:选B.由a sin A =bsin B得sin B =100×sin45°80=528<1,又∵a <b , ∴B 有两解.故三角形有两解.3.(2011年临沂高二检测)在△ABC 中,若a =7,b =8,cos C =1314,则最大角的余弦值是( )A .-15B .-16C .-17D .-18解析:选C.c 2=72+82-2×7×8×1314=9,∴c =3,∴B 最大.cos B =72+32-822×7×3=-17.4.在三角形ABC 中,AB =5,AC =3,BC =7,则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析:选A.由余弦定理cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22×AB ×AC =52+32-722×5×3=-12,所以∠BAC =2π3.5.在△ABC 中,∠B =60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为( ) A .45° B .60° C .75° D .90°解析:选 C.设最大角为∠A ,最小角为∠C .由∠B =60°得∠A +∠C =120°.根据正弦定理,得a c =sin A sin C =sin (120°-C )sin C =3+12,所以2sin(120°-C )=(3+1)·sin C ,即3cos C +sin C=3sin C +sin C ,所以tan C =1,又0°<∠C <180°,所以∠C =45°,所以∠A =75°.6.在△ABC 中,a 2+b 2-ab =c 2=23S △ABC ,则△ABC 一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形解析:选B.由a 2+b 2-ab =c 2得:cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴∠C =60°,又23S △ABC =a 2+b 2-ab ,∴23×12ab ·sin 60°=a 2+b 2-ab ,得2a 2+2b 2-5ab =0, 即a =2b 或b =2a .当a =2b 时,代入a 2+b 2-ab =c 2得a 2=b 2+c 2; 当b =2a 时,代入a 2+b 2-ab =c 2得b 2=a 2+c 2. 故△ABC 为直角三角形. 7.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC =10 m ,吊杆AC =15 m ,吊索AB =519 m ,起吊的货物与岸的距离AD 为( )A .30 m B.1523 mC .15 3 mD .45 m 解析:选B.在△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=152+102-(519)22×15×10=-12,∴∠ACB =120°,∴∠ACD =180°-120°=60°.∴AD =AC ·sin60°=1532(m).8.在△ABC 中,b 2-bc -2c 2=0,a =6,cos A =78,则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C .2D .3解析:选A.∵b 2-bc -2c 2=0, ∴(b -2c )(b +c )=0.∵b +c ≠0,∴b -2c =0.∴b =2c .∴6=c 2+4c 2-2c ·2c ×78,∴c =2,b =4.∴S =12bc sin A =12×2×4×1-4964=152.9.锐角三角形ABC 中,b =1,c =2,则a 的取值范围是( ) A .1<a <3 B .1<a < 5 C.3<a < 5 D .不确定 解析:选C.因为△ABC 为锐角三角形, 所以cos A >0,cos B >0,cos C >0, 所以b 2+c 2-a 2>0,a 2+c 2-b 2>0, a 2+b 2-c 2>0,所以1+4-a 2>0, a 2+4-1>0,a 2+1-4>0,即3<a 2<5,所以3<a < 5. 又c -b <a <b +c ,即1<a <3.由⎩⎨⎧3<a <5,1<a <3.得3<a < 5.10.△ABC 中,a ,b ,c 分别是A 、B 、C 的对边,且满足2b =a +c ,B =30°,△ABC 的面积为0.5,那么b 为( )A .1+ 3B .3+ 3 C.3+33D .2+ 3解析:选C.2b =a +c ,12ac ·12=12⇒ac =2,a 2+c 2=4b 2-4,∴b 2=a 2+c 2-2ac ·32⇒b 2=4+233⇒b =3+33.11.在△ABC 中,下列结论:①a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形;②a 2=b 2+c 2+bc ,则A 为60°;③a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形;④若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c =1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4解析:选A.①a 2>b 2+c 2⇒b 2+c 2-a 2<0⇒b 2+c 2-a 22bc<0⇒cos A <0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形;②a 2=b 2+c 2+bc ⇒b 2+c 2-a 2=-bc ⇒b 2+c 2-a 22bc =-12⇒cos A =-12⇒A =120°;③与①同理知cos C >0,∴C 是锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形. ④A ∶B ∶C =1∶2∶3⇒A =30°,B =60°,C =90° ⇒a ∶b ∶c =1∶3∶2.12.锐角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边,设B =2A ,则ba的取值范围是( )A .(-2,2)B .(0,2)C .(2,2)D .(2,3)解析:选D.∵b a =sin B sin A =sin2Asin A=2cos A ,又∵△ABC 是锐角三角形,∴⎩⎪⎨⎪⎧B =2A <90°A +2A >90°,∴30°<A <45°,则ba=2cos A ∈(2,3).二、填空题(本大题共4小题,把答案填在题中横线上) 13.在△ABC 中,若A =120°,AB =5,BC =7,则AC =________.解析:在△ABC 中,由余弦定理,得cos A =cos120°=AB 2+AC 2-BC 22×AB ×AC ,即25+AC 2-492×5×AC=-12.解得AC =-8(舍去)或AC =3. 答案:3。
2-5-1 同步检测
一、选择题
1.等比数列{a n }中,已知前4项之和为1,前8项和为17,则此等比数列的公比q 为( )
A .2
B .-2
C .2或-2
D .2或-1
2.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,那么log 2a 10=( )
A .4
B .5
C .6
D .7
3.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=( )
A.152
B.314
C.334
D.172
4.若等比数列{a n }对于一切自然数n 都有a n +1=1-23S n ,其中S n 是此数列的前n
项和,又a 1=1,则其公比q 为( )
A .1
B .-23 C.13 D .-13
5.设数列{a n }的通项a n =(-1)n -1·n ,前n 项和为S n ,则S 2010=( )
A .-2010
B .-1005
C .2010
D .1005
6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2
=( ) A .11 B .5 C .-8
D .-11
二、填空题 7.数列{a n }的前n 项和S n =log 0.1(1+n ),则a 10+a 11+…+a 99=________.
8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=________.
三、解答题
9.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n -1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .
10.已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项;
(2)求数列{2a n}的前n项和S n.
2-5-1同步检测
1 C
2 B
3 B
4 C
5 B
6 D
7 -1
8 3
9 [解析] ∵a 1a n =a 2a n -1=128,又a 1+a n =66,∴a 1、a n 是方程x 2-66x +128=0的两根,解方程得x 1=2,x 2=64,∴a 1=2,a n =64或a 1=64,a n =2,显然q ≠1.
若a 1=2,a n =64,由a 1-a n q 1-q
=126得2-64q =126-126q ,∴q =2,由a n =a 1q n -1得2n -1=32,∴n =6.
若a 1=64,a n =2,同理可求得q =12,n =6.
综上所述,n 的值为6,公比q =2或12.
10 [解析] (1)由题设知公差d ≠0,由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数
列得1+2d 1=1+8d 1+2d
,解得d =1,或d =0(舍去),故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n .
(2)由(1)知2a n =2n ,由等比数列前n 项和公式得
S n =2+22+23+…+2n =2(1-2n )1-2
=2n +1-2.。