2019年数学同步优化指导(北师大版选修22)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时) Word版含解析

[A组基础巩固]1．函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图像如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A．[－13，1]∪[2,3)B．[－1，12]∪[43，83]C．(－32，－13]∪[1,2)D．(－32，－1]∪[12，43]∪[83，3)解析：f′(x)≤0的解集等价于函数f(x)的递减区间所对应的集合．答案：A2．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：∵y＝12x2－ln x，∴y′＝x－1x，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x>0，∴0<x≤1，故选B.答案：B3．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是增加的，且在区间(0,2)上是减少的，则常数a的值为()A．1 B．2C．－6 D．－12解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0.若a>0，解得－a3<x<0，不合题意；若a <0，解得0<x <－a3.由f (x )在(0,2)上是减少的知a ＝－6. 答案：C4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A5．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2) D ．f (e)＜f (3)＜f (2)解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x＋1x ＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)＜f (e)＜f (3)． 答案：A6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12. 又x ∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．y ＝x ＋sin x 在[0，π)上是________(填“增函数”或“减函数”)． 解析：∵y ′＝1＋cos x ≥0恒成立，∴y ＝x ＋sin x 在[0，π)上是增函数． 答案：增函数8．若函数f (x )＝13ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝ax 2＋1，若a ≥0，f ′(x )>0恒成立，不符合题意．若a <0，由f ′(x )>0得－－1a <x <－1a ，由f ′(x )<0得x <－ －1a 或x >－1a ，即a <0时函数f (x )在(－ －1a ，－1a )上为增函数，在(－∞， －－1a )及(－1a，＋∞)上为减函数． 答案：a <09．确定下列函数的单调区间： (1)y ＝x 3－9x 2＋24x ； (2)f (x )＝1x ln x (x >0且x ≠1)．解析：(1)y ′＝3x 2－18x ＋24＝3(x －2)(x －4)， 由y ′>0得x <2或x >4；由y ′<0得2<x <4. ∴函数的递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)； 递减区间为(2,4)． (2)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x，若f ′(x )＝0，则x ＝1e ，列表如下：∴f (x )在(0，1e )内是增加的； 在(1e ，1)，(1，＋∞)内是减少的． 10．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x 3－2x 2＋x ； (2)y ＝x2＋cos x ；(3)y ＝ln(2x －1)．解析：(1)y ′＝3x 2－4x ＋1，令3x 2－4x ＋1>0得x >1或x <13，因此y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(－∞，13)和(1，＋∞)．再令y ′<0得13<x <1，即y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为(13，1)．(2)f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x <0，得2k π＋π6<x <2k π＋5π6(k ∈Z)．令y ′＝12－sin x >0，得2k π－7π6<x <2k π＋π6(k ∈Z)．因此f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z)上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k ∈Z)上为增函数．(3)y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，且其定义域为x ∈(12，＋∞)．当x >12时，y ′＝22x －1>0，所以，函数在定义域(12，＋∞)上为增函数．[B 组 能力提升]1．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( ) A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－12.则g ′(x )＝f ′(x )－12.又∵f ′(x )<12，∴g ′(x )<0. 说明g (x )在R 上是减少的． 又g (1)＝f (1)－1＝0，∴g(x)过点(1,0)且是减少的．∴g(x)<0的解集为{x|x>1}．答案：D2．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由题意易知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)在(0，＋∞)上是增函数，由于偶函数关于y 轴对称，奇函数关于原点对称，所以当x<0时，f(x)为增函数，g(x)为减函数，故在x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B3．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)内是递减的，则实数a的取值范围为________．解析：因为f′(x)＝2a－1(x＋2)2，且函数f(x)在(－2，＋∞)上是递减的，所以f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．所以a≤1 2.当a＝12时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．所以a＜1 2.答案：a＜1 24．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的范围为________．解析：由已知a＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋ln xx，所以g′(x)＝－ln xx2＜0(x＞1)，所以g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内递减．所以g(x)＜g(1)．因为g(1)＝1，所以1＋ln xx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，所以a≥1.答案：[1，＋∞)5．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．解析：依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在区间(－1,1)上恒有f′(x)≥0，即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，考察函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图像是对称轴为x＝13，开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5. 而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5.6．讨论函数y＝bxx2－1(－1<x<1，b≠0)的单调区间．解析：f(x)的定义域为(－1,1)．∵函数f(x)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性． f ′(x )＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2.当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0， ∴－x 2＋1(x 2－1)2<0.若b >0，则f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0,1)上是减函数； 若b <0，则f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0,1)上是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，∴当b >0时，f (x )在(－1,1)上是减函数；当b <0时，f (x )在(－1,1)上是增函数．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

活页作业(十)　导数与函数的单调性(第一课时)1．当x >0时，f (x )＝x ＋，则f (x )的递减区间是( )2x A ．(2，＋∞) B ．(0,2)C ．(，＋∞)D ．(0，)22解析：由已知得f ′(x )＝1－.2x 2令f ′(x )＝1－<0，得－<x <且x ≠0.2x 222又x >0，∴0<x <.2∴函数f (x )的递减区间为(0，)．2答案：D2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( )A ．sin 2x B ．x e xC ．x 3－xD ．－x ＋ln(1＋x )解析：选项B 中，y ＝x e x ，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0.∴函数y ＝x e x 在(0，＋∞)内递增．答案：B3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．大小关系不能确定解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0.即[f (x )－g (x )]′>0，∴f (x )－g (x )在(a ，b )上是增加的．∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )>0.∴f (x )>g (x )．答案：A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：函数f (x )在(－∞，0)上是增加的，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A ，C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f (x )＝x ln x 的递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．D ．(0，1e )(1e ，＋∞)解析：由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝lnx ＋1.当x ∈时，f ′(x )>0，所(1e ，＋∞)以函数f (x )在区间上是增加的．(1e ，＋∞)答案：D6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．解析：由已知得f ′(x )＝.2x －1x 2－x －2令f ′(x )<0得x <－1或<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区12间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________．解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12.令y ′<0，得x <－2或x >2.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2.∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0.∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴Error!即Error!解得b ＝c ＝－3.∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－，x 2＝1＋.22当x <1－或x >1＋时，f ′(x )>0；22当1－<x <1＋时，f ′(x )<0.22∴f (x )的递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，递减区间为(1－，1＋)．222210．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －x 2.12证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(x >0)，12则f ′(x )＝－1＋x ＝.1x ＋1x 21＋x 当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的．∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，ln(1＋x )>x －x 2.1211．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ． B ．(π，2π)(π2，32π)C ．D ．(2π，3π)(32π，52π)解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴当x ∈时，y ′＝x cos x >0.(32π，52π)答案：C12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y ＝f (x )在定义域内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为(－32，3)y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为，(2,3)，(－13，1)∴f ′(x )≤0的解集为∪[2,3)．[－13，1]答案：∪[2,3)[－13，1]14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件．解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x －sin x ＝0只有一个根x ＝0.12证明：设f (x )＝x －sin x ，x ∈，12(－∞，＋∞)则f ′(x )＝1－cos x >0.12∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －sin x ＝0有唯一根x ＝0.1216．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ，求证：(1＋m )n >(1＋n )m .证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋，∴2≤m <n ，(1＋m )n >(1＋n )m ⇔>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴构造函数f (x )＝(x ≥2)，ln (1＋x )x得f ′(x )＝.x 1＋x－ln (1＋x )x 2由x ≥2，得0<<1，ln(1＋x )≥ln 3>1.x1＋x ∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．又2≤m <n ，∴>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴(1＋m )n >(1＋n )m .。

活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。

2019/8/16
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
解:(1)
f
范围.
(x) 3ax
2

2bx,
由题意得:

f (1) 2
f (1) 3
ab2 3a 2b 3

a b

1 .
3
(2) f ( x) 3x2 6x 3x( x 2) 0,解得x>0或x<-2.
2019/8/16
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2x 6 y 1 0 ，且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程.
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一 时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2019/8/16
题型二 ：求函数的单调区间.
例2试确定函数 y 1 ln x 1 的单调区间.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域.
答:由已知得 f (0) f (2) 0可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].