3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义导学案
一、 复习回顾
1、 平均变化率：20()()f x f x Δy Δx Δx -=00()()f x Δx f x Δx
+-= 2、 平均变化几何意义：割线PQ 的斜率 3、 导数)(0x f '的定义：00000()()()lim
lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 也叫做曲线在0x x =处的瞬时变化率
4、 求)(0x f '的步骤：（1）求函数的改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-
（2）求平均变化率y x
∆∆ （3）取极限00()lim
x y f x x ∆→∆'=∆
二、引入
活动一：做圆的切线及割线
初中圆的切线定义：____________________________
割线定义：____________________________
活动二：固定切线P ，取不同点逐渐趋近P 点作割线
观察割线和切线的关系
结论：________________________________________________________
三、切线的定义
活动三：类比活动二，固定P 点，取点P n （ｎ＝1，2,３,４,…）
逐渐趋近Ｐ点，做割线，并观察割线PP n 的变化趋势
结论：____________________________
____________________________
切线的定义：____________________________
____________________________
四、导数的几何意义
形：n P P → 割线n P P →切线PT
数：
导数的几何意义：____________________________
____________________________
小试牛刀
（1）若曲线y =f (x )在点00(,())P x f x 处的切线方程为210x y ++=，则0()f x '= .
()()(2)51,________y f x f P k '=数图图则线点处线函＝的象如所示，已知＝-曲在的切斜率．
五、以直代曲
活动四：观察分析活动三图中PP 1、PP 2、PP 3、PP 4、切线PT 哪一条在点P 处附近更贴近函数曲线？
结论：________________________________________________________
以直代曲的思想方法：________________________________________________________
六、例题分析
例1 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++的图象. 根据图象,
请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
问题分析：
1、在012,,t t t 附近：用什么代替？
2、描述变化情况：怎么描述？
3、比较变化情况：用什么数据来进行比较？
练习：根据图像描述函数()h t 在34,t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况
归纳总结：根据导数的几何意义，
当某点处导数（切线斜率）大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
当某点处导数（切线斜率）小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；
切线倾斜程度越大（小）⇔曲线在某点处的上升（或下降）越快（慢）
牛刀小试
(
)1()()()A B y f x f x f x ''=、已知函数的图象如图所示则与的大小关系是
.()()
A B A f x f x ''>
.()()A B B f x f x ''<
.()()A B C f x f x ''= .D 不能确定
例2、求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.
第一步：求1x =处导数(1)f '
①(1)(1)y f x f ∆=+∆- ②y x
∆∆= ③ 0=(1)lim
x y k f x ∆→∆'=∆切线= 第二步：利用点斜式写出切线方程
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x 0处的导数0()f x '，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率。

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().y f x f x x x '-=-
七、课堂总结
八、课后作业
1、习题3.1 A 组 第5题
22()2(2,8)f x x A =、曲线在点处的切线斜率为______
31,1y x =--、曲线在点（）处的切线方程是______
4、课后实践作业：收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料；搜集数学史上、实际生活中、身边的有关“以直代曲”的事例。