高中数学第二章平面向量2.4.1数量积的定义学业分层测评苏教必修4

∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18. (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×12＝128＝9. (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0
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教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
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[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
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【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
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1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
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[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共 线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线． (3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a2 ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运 算与向量运算的相互转化． (4)cos θ＝|aa|·|bb|，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取 值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
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1.下面给出的关系式中正确的个数是__3___． ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
b2＝(2e2－3e1)2＝4e22－12e1·e2＋9e21＝7，
∴|a|＝|b|＝
7，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
－72 7×
7＝－12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b， 且b⊥c，则t＝__2__. 解析 由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0， 又a·b＝12，所以t＝2.
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误， (a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ＝a2·b2不一定成立， 当且仅当θ＝0或π时成立．
解析答案
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2.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 _2__3_． 解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2 3.

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2.4 向量的数量积错误!教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能，运算结果应该是什么呢？另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1），那么力F所做的功图1W＝｜F｜|s｜cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝｜a||b｜cosθ。

这个定义不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度,培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点:平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W可由下式计算：W＝|F｜｜s｜cosθ.其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量)．故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课错误!1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a｜｜b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cosθ（0≤θ≤π），其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4)当0≤θ〈错误!时cosθ>0，从而a·b〉0；当错误!〈θ≤π时，cosθ〈0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b,c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a（交换律）;②(λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（数乘结合律）;③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．特别是：(1)当a≠0时,由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c（b≠0），则ab＝bc a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c,但a≠c。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。