高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

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跟踪 训练
∵π4≤θ≤π2， ∴当 θ＝π4时，csions θθ＝1，即D→E·D→C的最大值为 1. 答案：1 1
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题型2 判断(pànduàn)三角形形状
例2 已知△ABC 中，A→B＝A→C＝4，且A→B·C→A＝－8，试判断 △ABC 的形状．
第二章 平面向量 2．4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理(wùlǐ)背景
及其含义
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栏 目 链 接
第二页，共33页。
1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的
关系．
2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．
栏 目
链
3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角
目 链
接
(2)当 θ＝π 时，a 与 b___反__向_(_f_ǎ；n xiànɡ)
(3)当 θ＝π2时，a 与 b___垂_直__(_c_h，uíz记hí)__a_⊥__b___．
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基础
梳理
2．已知两个___非_零____向量 a 与 b，我们把数
量_|a_|_|b_|c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记作
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自测 自评
1．已知|a|＝4，|b|＝2 且 a 与 b 的夹角为 60°，
则 a·b＝________.
栏 目 链 接
答案：4
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自测 自评
2．已知 a·b＝12，且|a|＝3，|b|＝5，则 b 在 a 方向上的投
影为________．
栏 目 链 接
答案：4
＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－27，

a· b |a||b| cos θ＝______
a· b≤_______ |a||b|
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4．向量数量积的运算律
b· a (交换律)． (1)a· b＝_____
a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______
a· c＋b· c (分配律)． (3)(a＋b)· c＝_______
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[ 跟踪训练] → → → → 1．(1)在△ABC中，∠A＝60° ，AB＝3，AC＝2.若 BD ＝2 DC ， AE ＝λ AC － → →→ AB(λ∈R)，且AD· AE＝－4，则λ的值为________．
3 → → b＝|a||b|cos 60° ＝3， 11 [设AB＝a，AC＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a· → → → → → → 因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)， → 1→ 2→ 1 2 所以AD＝3AB＋3AC＝3a＋3b，
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λ 2 1 2 2λ 2 1 2λ → → 1 2 所以 AD · AE ＝ 3a＋3b · (λb－a)＝ 3－3 a· b－ 3 a ＋ 3 b ＝(λ－2)－ 3 ×9＋ 3
×4＝－4， 3 解得λ＝11.]
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[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a· b>0.( (3)|a· b|≤a· b.( (4)(a· b)2＝a2· b2.( ) )
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(3)若不平行的两个非零向量 a,b 满足|a|=|b|,则( ab)(a+b)=0.( ) (4)若 a,b 平行,则 a· b=|a||b|.(
答案:(1)× (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一向量数量积的运算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: (1)a· b; (2)(a+b)· (a-b); (3)(2a-b)· (a+3b)
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
做一做 1 (1)已知|a|= 3,|b|=2 3,a 与 b 的夹角是 120°,则 a· b等 于( ) A.3 B.-3 C.-3 3 D.3 3 π (2)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,则 b 在 a 上的投影 为 1 2

[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 问题 1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]