高中数学必修4第二章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及
其含义
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23
，则a·b 为 ( ) A.13 B.43
C ．3
D ．2 解析：由数量积的几何意义知所以a·b ＝23
×3＝2. 答案：D
2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1.
答案：A
3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为( )
A.π6
B.π3
C.5π6
D.2π3
解析：|a －b |＝ （a －b ）2＝ a 2＋b 2－2a·b ＝3，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则
cos θ＝a ·（a －b ）|a ||a －b |＝22－12×3＝32，
又θ∈[0，π]，所以θ＝π6
. 答案：A
4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →
＝0，则四边形ABCD 是( )
A ．矩形
B ．菱形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
解析：因为AB →＝DC →，即一组对边平行且相等，AC →·BD →
＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．
答案：B
5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
解析：因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a·b ＝6b 2＝
|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝
|a |2－2|a |－96＝－72，
所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.
答案：C
二、填空题
6．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为________．
解析：①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，
故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．
答案：3
7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影为－2，则|a |＝________．
解析：因为|a |·cos 120°＝－2，
所以|a |·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－2，所以|a |＝4. 答案：4
8．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．
解析：因为3a ＋m b ＋7c ＝0，所以3a ＋m b ＝－7c ，
所以(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49.
又a·b ＝|a | |b |cos 60°＝12
， 所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.
答案：－8或5
三、解答题
9．已知|a |＝1，|b |＝2，
(1)若a ∥b 且同向，求a·b ；
(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |.
解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°，此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.
(2)|a ＋b |＝ （a ＋b ）2＝ a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.
10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.
(1)求|a ＋3b |的值；
(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．
解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，
所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.
因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，
所以9－6a·b ＋1＝5.
所以a·b ＝56
. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝
1＋6×56
＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.
(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.
因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝
3×1＋8×56－3×1＝203
. 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，
所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4392＝339.
所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339
. B 级 能力提升
1．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝
OA →·OC →，则点O 是△ABC 的( )
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →，
所以OB →·(OA →－OC →)＝0，
即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.
同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.
所以O 是△ABC 的垂心．
答案：B
2．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM
→＝3MA →，则CM →·CB →＝________．
解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.
答案：4
3．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·
cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)解：因为|ka＋b＋c|＞1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－1
2
所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2，
即k的取值范围是{k|k＜0或k＞2}．。