高中数学 第二章 平面向量 2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4

所以 AB · AD = 5 . 4
答案: 5 4
课堂探究
题型一 数量积的基本运算
【例1】 已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30°时,分别求a与b的数量积.
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
ab ab 2 量 a 与 b 的夹角为 120°.故选 C. 答案:(1)C
(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为 .
解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得 b = 1 .再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可 a3
得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得 a·b=-︱b︱2.设 a,b 的夹角为θ,于是 cos θ= a b = b 2 = b =- 1 .
.
解析:(2)因为︱2a+b︱= 10 ,所以(2a+b)2=10,所以 4a2+4a·b+b2=10,又
因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且︱a︱=1,所以 4×12+4×1×︱b︱× 2 + 2
︱b︱2=10,整理得︱b︱2+2 2 ︱b︱-6=0,解得︱b︱= 2 或︱b︱=-3 2 (舍去). 答案:(2) 2
②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);

有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。

一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
利用数量积求向量的模
【例3】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则
|2a+b|=
.
(2)已知向量 a,b 满足|a|= 2,a 与 b 的夹角为 135°,|a+b|= 5,
则|b|=
.
解析(1)∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2
(2)当 a∥b 时,a·b=
||||,当,同向时,
-||||,当,反向时.
(3)a·a=|a|2 或|a|= ·.
·
.
||||
(4)cos θ=
(5)|a·b|≤|a||b|.
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思维(sīwéi)
辨析
一
二
四
三
思维(sīwéi)
辨析
4-6 + 9 = 7.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量
是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式
乘法的相关公式进行化简.
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探究(tànjiū)
答案(1)5 7 (2)3
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2
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得