人教版高中数学必修四第二章平面向量2.4平面向量数量积(教师版)【个性化辅导含答案】

3、 两个向量的数量积的性质：
设 a 、 b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量
① e a = a e =| a |cos
② a b a b =0
③ a a = | a | 2或 | a | a a
ab
④ cos =
| a ||b |
⑤| a b | ≤ | a || b |
4、向量数量积满足的运算率：
1 掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示
.
2 平面向量数量积的应用 .
一、平面向量数量积的物理背景及定义： 以物理学中的做功为背景引入 问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的
给出数学中的定义？ 力做的功： W = | F| | s|cos ， 是 F 与 s 的夹角
）.
2
6、向量在轴上的正射影： 作图
定义： | b |cos 叫做向量 b 在 a 所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时正射影为正值；当
为钝角时正射影为负值；当
角时正射影为 0；当 = 0 时正射影为 | b | ；当 = 180 时正射影为 | b |
为直
类型一、平面向量数量积的运算： 例题 1 已知下列命题 :
3 5 3.
2
练习： 已知 a (cos230,cos67 0), b (cos68 0,cos22 0) ,求 a b
解: a b cos230 cos680 cos670 cos220 = cos 230 sin 22 0 sin 230 cos 220 sin 450
2
2
点评 : 熟练应用平面向量数量积的定义式求值 ,注意两个向量夹角的确定及分类完整 . 类型二、夹角问题：
练习 :已知 a,b 是两个非零向量 ,同时满足 a b a b ,求 a与a b 的夹角 .
法一 解 :将 a b
a b 两边平方得 a b
12 a
12 b,
ab
2
2
a 2a b b
3a
2
2
则 cos
a (a b) aa b
2
a ab
aa b
212
a
a
2
2
2
a 3a
3
,
故 a与a
b 的夹角 .为 300 .
① ab b a；
② (a b) c a c b c ；
③ (a b) ( a) b a ( b)
二、向量数量积的坐标运算
1、已知两个向量 a ( x1 , y1) ， b ( x2 , y2 ) ,则 a b x1x2 y1 y2 .
2、设 a ( x, y) ，则 | a |
.
3、 平面内两点间的距离公式 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
平面向量的数量积
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
2
法二 : 数形结合 点评 :注意两个向量夹角共起点 ,灵活应用两个向量夹角的两种求法 . 类型三、向量模的问题
例题 4 已知向量 a, b 满足 a 6, b 4 ,且 a与b 的夹角为 600 ,求 a b 和 a 3b .
解 : a 6, b 4 ,且 a与b 的夹角为 600
a b 12
例题 3 (2005 年北京 )若 a 1, b 2, c a b ,且 c a ,则向量 a 与向量 b 的夹角为 (
)
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
2
解 :依题意 a (a b) 0 a a b cos 0
1 cos
2
练习：① 已知 a 2, b 3, a b 7 ,求向量 a 与向量 b 的夹角 .
(x1, y1) 、 ( x2 , y2 ) ，那么 | a
|
.
4、 向量垂直的判定 两个非零向量 a ( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，则 a b
ab
5、 两向量夹角的余弦 cos =
|a | |b|
x1 x 2
2
2
x1 y1
y1 y2
2
2
x2 y2
（0
x1x2 y1 y2 0 .
解 (1)当 a ||b 时 , a b = a b cos0 0 2 5 1 10 或 a b = a b cos1800 2 5 ( 1) 10 .
(2)当 a b 时 , a b = a b cos90 0 2 5 0 0 .
(3)当 a与b 的夹角为 30 0时 , a b = a b cos30 0 2 5
b
a
1、两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量 a 与 b ，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，则∠ ＡＯＢ ＝ θ（０≤ θ ≤π ）叫 a 与 b 的夹角
说明：
（ 1）当 θ ＝０时， aFra bibliotek与 b 同向；
（ 2）当 θ ＝ π时， a 与 b 反向；
（ 3）当 θ ＝ 时， a 与 b 垂直，记 a ⊥ b ； 2
1200 故选 C
3
② 已知 a (1, 2), b (4,2) , a与( a b) 夹角为 ,则 cos
.
解: ① a b 7
2
2
a 2a b b 7
cos a, b
ab
3
1 ,故夹角为 600 .
ab 2 3 2
②依题意得 ( a b) ( 3, 4) cos
a (a b)
38
5
.
aa b 5 5 5
① a ( a) 0 ; ② (a b) c a (b c) ; ③ (a b) c a (b c) ; ④ (a b) c a c b c
其中正确命题序号是 ②、④ . 点评 : 掌握平面向量数量积的含义 ,平面数量积的运算律不同于实数的运算律 .
例题 2 已知 a 2, b 5, 若 (1)a || b ; (2) a b;(3) a与b 的夹角为 300 ,分别求 a b .
（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的
范围 0 ≤ ≤ 180
1
C 2、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角是 θ ，则数量 | a || b |cos 叫 a 与 b 的数量积，记作 a b ，
即有 a b = | a || b |cos ，（０≤ θ ≤ π ） 并规定 0 与任何向量的数量积为 0