高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积(1)课时训练(含解析)苏教版必修4

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2。

4 向量的数量积课前导引问题导入一物体在力F 的作用下沿水平方向运动，已知AB=10米，F 与水平方向成60°角，F=5 N,求物体从A 到B 力F 所做的功。

思路分析：首先求出力F 在水平方向上的分力|F 1|=|F ｜cos60°=5×21=25，由物理学知识可知力F 对物体所做的功是:W =｜F 1|·｜s |=25×10=25（焦耳). 力F 对物体所做的功W =｜F |·｜s ｜cos60°,即两个向量F 、s 的模与其夹角余弦的积是数量，这个量就是这节课要学习的两个向量的数量积。

知识预览1。

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ ，我们把数量｜a ｜｜b ｜cosθ叫做向量a 和b 的数量积，记作a ·b .规定零向量与任一向量的数量积为零.2.对于两个非零向量a 和b ，作=a ,=b ,则∠A OB 叫做向量a 与b 的夹角，其范围是0°≤θ≤180°。

当θ=90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

3。

数量积的运算律：（1)a ·b =b ·a ;(2)(λa ）·b =a ·λ（b ）=λ（a ·b )=λa ·b ；(3）(a +b ）·c =a ·c +b ·c 。

高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。

*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。

**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。

*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。

**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。

**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。

**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。

***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围. 8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sinφ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=∙a b b=93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。

高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课后导练 苏教版必修4基础达标1.设a =（5，y ）,b =(-6,-4)，且a ·b =-2,则y 等于（ ）A.-5B.-7C.5D.7解析：a ·b =-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（ ）①a ⊥b ⇔a ·b =0 ②若a ·b =0且a ≠0,则b =0 ③若a ≠0,b ≠0，则|a ·b |=|a |·|b | ④当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC 中，=a ,=b ,且a ·b ＜0，则△ABC 是______________三角形（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a ·b =|a ||b |cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC 是钝角三角形.答案：C4.若向量a ⊥b ，则一定有（ ）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a +b |=|a |-|b |C.|a +b |=|a -b |D.|a -b |=|a |+|b |解析：∵a ⊥b ，由平行四边形法则知，以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴|a +b |=|a -b |. 答案：C5.已知|m |=10,|n |=12,且(3m )·(51n )=-36，则m 与n 的夹角是（ ） A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由(3m )·(51n )=-36,得m ·n =-60. 即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-21,θ=120°. 答案：B6.设e 1,e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e 1-e 2)·(-3e 1+2e 2)等于（ ） A.-8 B.29 C.29- D.8 解析：（2e 1-e 2）·(-3e 1+2e 2)=-6e 12-2e 22+7e 1·e 2=-6-2+7×1×1×21=-29.∴选C. 答案：C7.已知a =（-1，3），b =（2，-1），且（k a +b ）⊥(a -2b )，则k 的值为______________.解析：∵(k a +b )⊥(a -2b ),∴(k a +b )·（a -2b ）=0.而k a ＋b =(2-k,3k-1),a -2b =(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=43. 答案：43 8.A 、B 、C 三点的坐标分别为A （1，0），B （3，1），C （2，0），a =,b =,则a 与b 的夹角是________________.解析：∵a ==(-1,-1),b ==(-1,0).∴a ·b =1,|a |=2,|b |=1,cosθ=22||||=•b a b a .又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .解：∵a ∥b ，∴a 与b 同向或反向.若a 与b 同向，则θ=0°.a ·b =|a ||b |cos0°=6×8×1=48;若a 与b 反向，则θ=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a |=32,b =(2,-3),且a ⊥b ，求a 的坐标.解：设a =(x,y).由|a |=132，得x 2+y 2=52.又由a ⊥b ，得2x-3y=0.∴⎩⎨⎧=-=+.032,5222y x y x解得⎩⎨⎧==4,6y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,6y x故a =(6,4)或a =(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（）A.（-3，429-） B.(3,429) C.(-3,429) D.(3,429-)解析：设C （x,y ），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3. 又BC ⊥AB，∴3x+4(y -5)=0,y=429.∴C(-3,429).答案：C12.平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7,k ），若∠MAN=90°，则k 的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）. ∵AM ⊥AN , ∴AM ·AN =0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则△A BC 的形状是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵AB =（1，1），AC =（-3，3）， ∴·=-3+3=0.∴AB ⊥AC ，选A.答案：A14.若a =(1,m),b =(n,2),a ⊥b ，且|a |2+|b |2=6，则m 2=____________,n 2=____________. 解析：∵a ⊥b ,∴a ·b =0.2m+n=0.∵|a |2+|b |2=6,∴m 2+1+n 2+4=6,m 2+n 2=1,m 2=51,n 2=54. 答案：51 5415.已知向量a =（4，3），b =（-1，2）.（1）求a 与b 的夹角θ的余弦值.（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：（1）a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552555||||==•b a b a .(2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b )∴(a -λb )·（2a +b ）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952.拓展探究16.已知平面内两向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a +b )⊥(a -b );(2)若两个向量k a +b 与a -k b 的模相等（k≠0），求证：a ⊥b .证明：（1）a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β),a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β).∴(a +b )·(a -b )=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).（2）∵(k a +b )2=|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2,|a -k b |2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,又|k a +b |=|a -k b |,∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,(k 2-1)a 2+4k a ·b +(1-k 2)b 2=0.又|a |=|b |=1,∴4k a ·b =0.∵k≠0,∴a ·b =0,∴a ⊥b .。