不定方程及不定方程组

所谓不定方程中变两的个数多余方程的个数其解受一定限制的一类方程或方程组。

一，一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。

定理1：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(00y x 为其一组解，则其全部解为,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。

例1：解下列不定方程（1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x 解（1）由于98|`5)25,15(= 故该方程没有整数解。

（2）该方程化为 2053=-y x 可以先解方程2053=+z x由观察得 201553=⨯+⨯，所以得通解 ,550t bt x x +=+= t at z z 310-=-= （t 为整数），故原方程的通解 ,550t bt x x +=+= t z y 31+-=-=（t 为整数） （求2053=+z x 可以利用,1)5,3(=找出 ),(00z x 适合15300=+z x 然后求出2053=+z x 的特解）例2： 求不定方程 471325=++z y x 的全部解。

解 先解 u y x =+1325 及 47=+z u 这两个二元一次不定方程的通解分别为tu y t u x 25213{-=+-= t 为整数 及 vz v u -=+-=173{v 为整数。

将v u 73+-= 代入y x ,的表达式中就得原方程的通解。

例3. 方程12102......3x x x +++=有多少个非负整数解（每个量都为非负整数）？ 分析：由题中条件知左边变量中至多有3个为1，特别是由于1x 的系数为2可知1x 只能取0，1两种情况，从而得到相应的解决方法。

不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。

当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。

为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。

一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。

【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。

{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。

【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。

例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。

不定方程的求解方法汇总不定方程的求解方法汇总行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。

但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。

专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。

一、不定方程的概念在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。

在这里解释一下独立方程。

看个例子大家便可以明白了:4x+3y=26①,8x+6y=52②因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。

二、求解不定方程的方法1、奇偶性奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数性质：奇偶奇7x为奇数，x也为奇数。

x可能的取值有1、3、5。

当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。

任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。

性质：奇偶奇5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。

但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。

3、整除法当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。

4、特值法当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。

不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。

同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。

不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。

但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。

对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。

常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。

定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。

其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。

定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。

我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。

可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。

三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。

2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。

3．3x+y=24的非负整数解有 组。

4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。

5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。

6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。

7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。

（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。

第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)就是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点就是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程就是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设d c b a 、、、为整数,则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题:(1)若(a,b)=d,且d 卜c,则不定方程c by ax =+没有整数解;(2)若00y x ，就是方程c by ax =+且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=就是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循,需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形,并灵活运用以下知识与方法;奇数偶数,整数的整除性、分离整系数、因数分解。

配方利用非负数性质、穷举,乘法公式,不等式分析等.举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为 .(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法).再结合整除的知识,求出m 的最大值.注:求整系数不定方程c by ax =+的整数解。

通常有以下几个步骤:(1)判断有无整数解;(2)求一个特解;(3)写出通解;(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组),代入(2)中的表达式,写出不定方程的正整数解.分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示,结合整除的知识讨论.【例2】 如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从10千米处开始,每隔9千米设一个测速照相标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数就是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x,y 为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解.【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解.(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方人手,对于(2)易知x 、y 、z 都大于1,不妨设l<x ≤y ≤z,则zy x 111≥≥,将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.注:方程与不等式的相关性质,寻求井缩小某个字母的取值范围,通过验算获得全部解答.【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终粒盒内都剩1粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子？(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎么取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解.【例5】中国百鸡问题:一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、,则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.【例6】 甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数就是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组学生a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.注: 解不定方程组基本方法有:(1)视某个未知数为常数,将其她未知数用这个未知数的代数式表示;(2)通过消元,将问题转化为不定方程求解;(3)运用整体思想方法求解.【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解.思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 就是其一组特解,∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 46677667,z t ∈,∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ,解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个.∴ 4x+7y=2001有71组正整数解.学力训练1.已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9,则x+2y+3z= .(2002年山东省竞赛题)2.已知4x 一3y 一6z=0,x+2y 一7c=0(xyz ≠0),那么22222275632z y x z y x ++++的值为 . 3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有 种不同的买法.:则5种数学用品各买一件共需 元.(北京市竞赛题)5.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,这三种球的价格分别就是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10元,那么其中排球有 个.(温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8.以下就是一个六位数乘上一个—位数的竖式,各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).A.27B.24C.30D.无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解:(1)1lx+5y=7;(2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也就是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?(广州市中考题)11.下面就是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则:游戏在两位同学之间进行,用伸出手掌表示“布”,两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪子”赢“布”.现在我们约定:“布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布” 得2分.(1)小明与某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学,请您用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?(2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请您探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填人下表.“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．．“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．．“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．． 12.满足19982十m 2＝19972+n 2(0<rn<n<1998)的整数对(m,n)共有 对.13.有理数x,y,z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ,则22y+z 的值为 .14.1998年某人的年龄恰等于她出生的公元年数的数字之与,那么她的年龄就是 岁.15.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么,至少需要抽水机台.16.有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元,若购甲4件、乙l0件、丙l件共需33元,则此人购甲、乙、丙各1件共需元.17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的与等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个.18.(1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y);(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz的正整数解.(新加坡奥林匹克试题)19.兄弟二人养了一群羊,当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时,将这群羊全部卖出,兄弟二人平分卖羊得来的钱:哥哥先取l0元,弟弟再取10元;这样依次反复进行,最后,哥哥先取10元,弟弟再取不足10元,这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟,兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱?(北京市竞赛题)20.某人家的电话号码就是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家的电话号码.(武汉市选拔赛试题)21.某布店的一页账簿上沾了墨水,如下表所示:月日摘要数量(米)单价(元／米)金额(元)113全毛花呢XX49、36XXX7、28所卖呢料米数瞧不清楚了,但记得就是卖了整数米;金额项目只瞧到后面3个数码7.28,但前面的3个数码瞧不清楚了,请您帮助查清这笔账.(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.她们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点,试问:科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)参考答案。

不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。

先来说说什么是不定方程。

不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。

我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。

假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。

通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。

那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。

比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。

像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。

还有一种常见的方法是同余法。

比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。

然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。

在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。

虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。

就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。

比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。

不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。

我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。

我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。

不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。

然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。

二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

[如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。

当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。

……当x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998= 4851∴方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正整数解。

—解：××××√√∴方程4x﹢7 y =55的正整数解有?x = 5 x = 12y = 5 y = 13、分离系数法如：求7x﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21xx=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 —t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

不定方程的解题思路-2022国家公务员考试行测解题技巧不定方程(组)是指未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合，故需要考生们在备考的过程中加以重视。

今日与大家一起探讨一下公务员行测考试中不定方程(组)的解题思路。

不定方程(组)包含不定方程与不定方程组，而依据题目条件对未知数是否必需为整数的限制，可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。

前者指未知数必需为正整数，后者则无此要求。

两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路，方法性与技巧性比较强，把握相应的思路去解题便会事半功倍。

不定方程题型特征：依据题干可列出一个包含两个未知数的方程解题方法：首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，然后尝试代入排解例1.【2022联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参与植树活动，已知去A地每人来回车费20元，人均植树5棵，去B 地每人来回车费30元，人均植树3棵，设到A地有员工x人，A、B 两地共植树y棵，y与x之间满意y=8x-15，若来回车费总和不超过3000元时，那么，最多可植树多少棵?A.498B.400C.489D.500【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15，一个方程两个未知数为不定方程，8x为偶数，15为奇数，偶数-奇数=奇数，则y为奇数，排解A、B、D项，正确答案为C。

【点评】本题若采纳常规解方程的方法也可解题，但耗费时间久，不适合考场使用。

本题不需要算车费等其他数值，因此可利用数字特性直接锁定答案。

不定方程组1.限定性不定方程组题型特征：可依据题意列出方程组，未知数多于方程数，且未知数必需为正整数，常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等解题方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解例1.【2022江苏】小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成果为75环，则命中10环的子弹数是：A.1 发B.2 发C.3 发D.4 发【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。

初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法凯里市大风洞正钰中学曾祥文摘要：教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。

在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，是中学生经常出错和不懂的部分。

本文主要探讨几种不定方程和方程组的解题技巧和方法。

关键词：初中数学不定方程方程教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。

有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行为，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现。

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

数学教学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程。

方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多个，不能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程(组)，解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识。

本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。

1 非负数的巧用在初中数学中，经常用的非负数有：①a2 ≥0 ；②｜a｜≥0；③a≥0若干个非负数的和为0，那么每个非负数均为0，例1：已经x2 + y2-x+2y+5/4= 0 ，求x 、y的值。

评析：方程左边配方可变为非负数之和解：由x2 + y2-x+ 2y+5/4= 0 得( x—1/2 ) 2+ ( y +1 ) 2= 0所以( x—1/2 ) 2≥0，( y + 1 )2≥≥0一般地，几个非负数之和为0，则每个非负数均为0。

所以x=1/2, y=12 二元一次方程的整数解一个二元一次方程的解有无数多个，但我们常常只求整数解。

甚至只求正整数解，加上这一限制后，解可能唯一确定或只有有限个或无解。

求它的整数解时，通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再结合整数的整除性，得到其解。

27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y 的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题)思路点拨无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解. 故a+b+c ≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。