不定方程及方程组

17 简单的不定方程、方程组如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例1 满足199822221997(01998)m n m n +=+<<<的整数对(m,n)共有_________对．(全国初中数学联赛试题) 解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a+b+c+d= ( )．(“五羊杯”邀请赛试题)(A)27 (B)24 (C)30 (D)无法确定解题思路 视abcd 、ef 为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．a b c d e f× 4———————e f a b c d例3 求方程11156x y z ++=的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题) 解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y≤z，111x y z≥≥，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?(第十二届江苏省竞赛题) 解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．A 级1．若2254404a b a b +-++=，则ab ＝_________． 2．已知4x--3y--6z=0，x+2y-7z=0(xyz ≠0),则22222223657x y z x y z++++的值等于________． 3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁. (第九届“希望杯”邀请赛试题)4．设方程221993x y -=的整数解为,,||αβαβ=则________．5．x ，y 都是质数，则方程x+y=1999共有( )．(北京市竞赛题)(A)1组解 (B)2组解 (C)3组解 (D)4组解6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．(A)x ＝12785，y ＝12768 (B)x ＝13827，y ＝12623(C)x ＝11936，y ＝11941 (D)x ＝12785，y ＝127707．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74倍，则这样的两位数有( )．(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无穷多个8．小英在邮局买了lO 元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．(“五羊杯”邀请赛试题)(A)17 (B)18 (C)19 (D)209．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．是否存在整数m ，n 满足m 222003n =+，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题)B 级1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ2+2b 2+2c 2一2ab 一2bc 一6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc)2＝______．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘ2y ＋ｘy 2＝96，则ｘ2＋y 2＝______．3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．4．购买十种货物：A 1、A 2、A 3、…Ａ10，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．(北京市“迎春杯”竞赛题)5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ2一72＝y 2，则这样的正整数对(ｘ，y)的个数是( )．(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各l 件共需( )元．(A)6元 (B)8元 (C)9元 (D)10元7．在方程组⎩⎨⎧-=++=++360333z y x z y x ,x,y,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A)6 (B)3 (C)多于6 (D)少于38．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．(A)l (B)4 (C)10 (D)超过109．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里 程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛杯)11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?(“五羊杯”竞赛题)。

七年级奥数：简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解例1 满足1998的整数对(m ,n )共有_________对．(全国初中数学联赛试题)解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a +b +c +d = ( )．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )27 (B )24 (C )30 (D )无法确定解题思路 视、为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．a b c d e f× 4———————e f a b c d例3 求方程的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题)解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y ≤z ，，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．22221997(01998)m n m n +=+<<<abcd ef 11156x y z ++=111x y z≥≥例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?(第十二届江苏省竞赛题)解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．能力训练A 级1．若，则ab ＝_________． 2．已知4x --3y --6z =0，x +2y -7z =0(xyz ≠0),则的值等于________． 3．某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁.(第九届“希望杯”邀请赛试题)4．设方程的整数解为________．5．x ，y 都是质数，则方程x +y =1999共有( )．(北京市竞赛题)(A )1组解 (B )2组解 (C )3组解 (D )4组解6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．(A )x ＝12785，y ＝12768 (B )x ＝13827，y ＝12623(C )x ＝11936，y ＝11941 (D )x ＝12785，y ＝127707．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的倍，则这样的两位数有( )．(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )无穷多个8．小英在邮局买了10元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )17 (B )18 (C )19 (D )209．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有2254404a b a b +-++=22222223657x y z x y z ++++221993x y -=,,||αβαβ=则7499颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．是否存在整数m ，n 满足m ，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题) B 级1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ+2b +2c —2ab —2bc —6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc )＝______．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘy ＋ｘy ＝96，则ｘ＋y ＝______．3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．4．购买十种货物：A 、A 、A 、…Ａ，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．(北京市“迎春杯”竞赛题)5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ—72＝y ，则这样的正整数对(ｘ，y )的个数是( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．(A )6元 (B )8元 (C )9元 (D )10元7．在方程组,x ,y ,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A )6 (B )3 (C )多于6 (D )少于38．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．(A )1 (B )4 (C )10 (D )超过109．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里 程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛杯)11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行222003n =+222222*********⎩⎨⎧-=++=++360333z y x z y x维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?(“五羊杯”竞赛题)。

不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。

当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。

为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。

一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。

【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。

{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。

【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。

例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。

不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。

不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。

但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。

对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。

常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。

定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。

其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。

定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。

我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。

可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。

三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。

2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。

3．3x+y=24的非负整数解有 组。

4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。

5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。

6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。

7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。

（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。

第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)就是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点就是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程就是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设d c b a 、、、为整数,则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题:(1)若(a,b)=d,且d 卜c,则不定方程c by ax =+没有整数解;(2)若00y x ，就是方程c by ax =+且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=就是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循,需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形,并灵活运用以下知识与方法;奇数偶数,整数的整除性、分离整系数、因数分解。

配方利用非负数性质、穷举,乘法公式,不等式分析等.举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为 .(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法).再结合整除的知识,求出m 的最大值.注:求整系数不定方程c by ax =+的整数解。

通常有以下几个步骤:(1)判断有无整数解;(2)求一个特解;(3)写出通解;(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组),代入(2)中的表达式,写出不定方程的正整数解.分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示,结合整除的知识讨论.【例2】 如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从10千米处开始,每隔9千米设一个测速照相标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数就是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x,y 为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解.【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解.(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方人手,对于(2)易知x 、y 、z 都大于1,不妨设l<x ≤y ≤z,则zy x 111≥≥,将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.注:方程与不等式的相关性质,寻求井缩小某个字母的取值范围,通过验算获得全部解答.【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终粒盒内都剩1粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子？(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎么取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解.【例5】中国百鸡问题:一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、,则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.【例6】 甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数就是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组学生a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.注: 解不定方程组基本方法有:(1)视某个未知数为常数,将其她未知数用这个未知数的代数式表示;(2)通过消元,将问题转化为不定方程求解;(3)运用整体思想方法求解.【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解.思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 就是其一组特解,∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 46677667,z t ∈,∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ,解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个.∴ 4x+7y=2001有71组正整数解.学力训练1.已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9,则x+2y+3z= .(2002年山东省竞赛题)2.已知4x 一3y 一6z=0,x+2y 一7c=0(xyz ≠0),那么22222275632z y x z y x ++++的值为 . 3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有 种不同的买法.:则5种数学用品各买一件共需 元.(北京市竞赛题)5.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,这三种球的价格分别就是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10元,那么其中排球有 个.(温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8.以下就是一个六位数乘上一个—位数的竖式,各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).A.27B.24C.30D.无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解:(1)1lx+5y=7;(2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也就是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?(广州市中考题)11.下面就是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则:游戏在两位同学之间进行,用伸出手掌表示“布”,两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪子”赢“布”.现在我们约定:“布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布” 得2分.(1)小明与某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学,请您用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?(2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请您探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填人下表.“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．．“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．．“布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的次数．． 12.满足19982十m 2＝19972+n 2(0<rn<n<1998)的整数对(m,n)共有 对.13.有理数x,y,z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ,则22y+z 的值为 .14.1998年某人的年龄恰等于她出生的公元年数的数字之与,那么她的年龄就是 岁.15.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么,至少需要抽水机台.16.有甲、乙、丙3种商品,某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元,若购甲4件、乙l0件、丙l件共需33元,则此人购甲、乙、丙各1件共需元.17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的与等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个.18.(1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y);(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz的正整数解.(新加坡奥林匹克试题)19.兄弟二人养了一群羊,当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时,将这群羊全部卖出,兄弟二人平分卖羊得来的钱:哥哥先取l0元,弟弟再取10元;这样依次反复进行,最后,哥哥先取10元,弟弟再取不足10元,这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟,兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱?(北京市竞赛题)20.某人家的电话号码就是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家的电话号码.(武汉市选拔赛试题)21.某布店的一页账簿上沾了墨水,如下表所示:月日摘要数量(米)单价(元／米)金额(元)113全毛花呢XX49、36XXX7、28所卖呢料米数瞧不清楚了,但记得就是卖了整数米;金额项目只瞧到后面3个数码7.28,但前面的3个数码瞧不清楚了,请您帮助查清这笔账.(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.她们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点,试问:科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)参考答案。