学年高中数学第六章推理与证明.直接证明与间接证明..直接证明:分析法与综合法分层训练湘教版选修_
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6.2.1 直接证明:分析法与综合法
一、根底达标
1.a,b,c∈R,那么以下命题中正确的选项是
( )
A.假设a>b,那么ac2>bc2
B.假设ac>bc,那么a>b
C.假设a3>b3且ab<0,那么1a>1b
D.假设a2>b2且ab>0,那么1a<1b
答案 C
解析 对于A:假设c=0,那么A不成立,故A错;对于B:假设c<0,那么B不成立,B错;对于C:假设a3>b3且ab<0,那么 a>0b<0,所以1a>1b,故C对;对于D:假设 a<0b<0,那么D不成立.
2.A、B为△ABC的内角,A>B是sin A>sin B的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理asin A=bsin B,又A、B为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.
3.直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出以下四个命题:①假设α∥β,那么l⊥m;②假设l⊥m,那么α∥β;③假设α⊥β,那么l⊥m;④假设l∥m,那么α⊥β.
其中正确命题的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 假设l⊥α,m⊂β,α∥β,那么l⊥β,所以l⊥m,①正确;
假设l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确; 假设l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;
假设l⊥α,m⊂β,l∥m,那么m⊥α,所以α⊥β,④正确.
4.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,那么必有
( )
A.1≤ab≤a2+b22 B.ab<1 C.ab 答案 B 解析 因为a≠b,故a2+b22>ab. 又因为a+b=2>2ab, 故ab<1,a2+b22=a+b2-2ab2=2-ab>1,即a2+b22>1>ab. 5.要证明3+7<25,可选择的方法有很多,最合理的应为________. 答案 分析法 6.设a=2,b=7-3,c=6-2,那么a,b,c的大小关系为________. 答案 a>c>b 解析 ∵a2-c2=2-(8-43)=43-6=48-36>0,∴a>c.∵cb=6-27-3=7+36+2>1,∴c>b. 7.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明 法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+ 2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 法二 要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0, 只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0, 3a2-2b2>2a2-2b2≥0, ∴上式成立. 二、能力提升 8.设0 ( )