2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
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2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
- 1 - / 8 第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念及其运算
授课提示：对应学生用书第1页
[基础梳理]
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋或N* Z Q R
2.集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素相同 A⊆B且B⊆A⇔A＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A∅B(B≠∅)
3.集合的基本运算
并集 交集 补集
图形表示
符号表示 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
1．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
- 2 - / 8 (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3．两个防范
(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．
[四基自测]
1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
答案：D
2．(基础点：补集运算)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁RA＝( )
A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}
C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}
答案：D
3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．
答案：8
4．(易错点：交集运算)已知集合M＝{x∈N|－4
答案：{0，1}
授课提示：对应学生用书第2页
考点一 集合的概念
挖掘1 求集合元素的个数/ 自主练透
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．
故选A.
[答案] A
(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) 2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
- 3 - / 8 A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] a∈{1，2，3}，b∈{4，5}，则M＝{5，6，7，8}，即M中元素的个数为4，故选B.
[答案] B
[破题技法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)注意元素的三个特性，特别是互异性．
挖掘2 利用元素特性求参数/ 互动探究
[例2] 设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．
[解析] 由题意得（2－a）2<1，（3－a）2≥1，解得1＜a＜3，a≤2或a≥4.
结合数轴得1
[答案] (1，2]
[破题技法] 1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
1．将例1(1)改为已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
答案：B
2．将例2改为集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素0和1.则a的值为________．
解析：0和1为方程x2＋ax＝0的两根．
∴0＋1＝－a，∴a＝－1.
答案：－1
考点二 集合间的基本关系
挖掘1 判断集合间的关系/ 自主练透
[例1] 已知集合M＝x|x＝kπ4＋π4，k∈Z，集合N＝x|x＝kπ8－π4，k∈Z，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝N
[解析] 由题意可知， 2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
- 4 - / 8 M＝x|x＝（2k＋4）8π－π4，k∈Z
＝x|x＝2nπ8－π4，n∈Z，
N＝x|x＝2kπ8－π4或x＝（2k－1）8π－π4，k∈Z，所以M⊆N，故选B.
[答案] B
[破题技法] 求集合间关系的常用方法技巧
方法 解读 适合题型
列举法 利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 集合为有限集
转化法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 集合为无限集
挖掘2 利用集合关系求参数/ 互动探究
[例2] (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
[解析] A＝{x|(x－3)(x＋1)≤0，x∈N＋}＝{1，2，3}，
真子集个数为23－1＝7，故选A.
[答案] A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] 因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
[答案] (－∞，3]
[破题技法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 2022届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算学案 文 北师大版
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若将例2(2)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，如何求解？
解析：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，即2m－1＜m＋1时，
m＜2，符合题意．
②当B≠∅时，
m＋1≤2m－1，m＋1＞5，或m＋1≤2m－1，2m－1＜－2，
解得m≥2，m＞4，或m≥2，m＜－12，即m＞4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
考点三 集合的运算
挖掘1 集合的基本运算/ 自主练透
[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅰ) 已知集合M＝{x|－4
A．{x|－4
C．{x|－2
[解析] 由x2－x－6＜0，得(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}．故选C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝( )
A．{1，6} B．{1，7}
C．{6，7} D．{1，6，7}
[解析] ∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴∁UA＝{1，6，7}．又B＝{2，3，6，7}，∴B∩∁UA＝{6，7}．
故选C.
[答案] C
[破题技法] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
挖掘2 利用集合运算求参数/ 互动探究
[例2] (1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝( )
A．3 B．2
