高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-1集合学案理含解析北师大版

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- 1 - 第一节 集合

命题分析预测

学科核心素养

从近五年的全国卷的考查情况来看，该节是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的求解. 本节主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的分类讨论思想和数学运算核心素养.

授课提示：对应学生用书第1页

知识点一 元素与集合、集合间基本关系

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中任意一个元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A)

真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)

集合相等 集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B

• 温馨提醒 •

1.集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.

2．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

1．若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( )

A．a∈P B．{a}∈P 高中数学教学、学习精品资料

- 2 - C．{a}⊆P D．a∉P

〖解 析〗因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 021的自然数构成的集合，所以a∉P.

〖答 案〗D

2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )

A．6个 B．5个

C．4个 D．3个

〖解 析〗由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．

〖答 案〗A

3．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

〖解 析〗由M∪N＝M，得N⊆M.又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4.

〖答 案〗D

知识点二 集合的基本运算

运算 自然语言 符号语言 Venn图

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

• 温馨提醒 •

二级结论

A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

必明易错

1．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足高中数学教学、学习精品资料

- 3 - “互异性”而导致解题错误．

1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝( )

A．(2，3〗

B．(－∞，1〗∪(2，＋∞)

C．〖1，2)

D．(－∞，0)∪〖1，＋∞)

〖解 析〗因为∁UA＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪〖1，＋∞)．

〖答 案〗D

2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．

〖答 案〗{x|x是直角}

3．(易错题)已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

〖解 析〗易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝12.

〖答 案〗0或12

授课提示：对应学生用书第2页

题型一 集合的概念与关系

1.（2021·长沙模拟）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（ ）

A.MN B.NM

C.M∈N D.N∈M

〖解 析〗对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈Z）；当n＝2k－1时，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.

〖答 案〗A

2.（2021·西安五校联考）已知集合A＝{x|－x2＋2 018x≥0}，B＝{x∈N|y＝lg（3－x）}，则集合A∩B的子集个数是（ ）

A.4 B.7

C.8 D.16

〖解 析〗A＝〖0，2 018〗，B＝{x∈N|x＜3}，A∩B＝{0，1，2}，故集合A∩B的子集个数是高中数学教学、学习精品资料

- 4 - 8.

〖答 案〗C

3.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为__________.

〖解 析〗①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，

解得－2＜m＜2，符合题意；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－52，些时B＝2，12，不合题意.

综上所述，实数m的取值范围为〖－2，2）.

〖答 案〗〖－2，2）

4.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为__________.

〖解 析〗因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.

〖答 案〗（16，＋∞）

1.集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图像帮助分析.

题型二 集合的基本运算

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：（1）集合的基本运算；（2）利用集合运算求参数或范围.

考法（一） 集合的基本运算

〖例1〗 （1）（2020·高考全国卷Ⅱ）已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，高中数学教学、学习精品资料

- 5 - 1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（ ）

A.{－2，3} B.{－2，2，3}

C.{－2，－1，0，3} D.{－2，－1，0，2，3}

〖解析〗 ∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}.又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U（A∪B）＝{－2，3}.

〖答案〗 A

（2）（2021·焦作模拟）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则（∁RA）∪B＝（ ）

A.2，92 B.∅

C.〖0，＋∞） D.（0，＋∞）

〖解析〗 因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝xx＞92或x＜0，所以∁RA＝x0≤x≤92，又B＝{y|y≥2}，所以（∁RA）∪B＝〖0，＋∞）.

〖答案〗 C

解集合运算问题的三个注意点

考法（二） 利用集合的运算求参数

〖例2〗 （1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝（ ）

A.－4 B.－2

C.2 D.4

（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）

A.0 B.1

C.2 D.4 高中数学教学、学习精品资料

- 6 - （3）（2021·南昌模拟）已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（ ）

A.（－∞，－3〗∪〖2，＋∞） B.〖－1，2〗

C.〖－2，1〗 D.〖2，＋∞）

〖解析〗 （1）A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤－a2.

由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－a2＝1，所以a＝－2.

（2）根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.

（3）集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有a≥－2，a＋1≤2，所以－2≤a≤1.

〖答案〗 （1）B （2）D （3）C

根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤

〖题组突破〗

1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）

A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}

〖解 析〗A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.

〖答 案〗C

2.（2021·太原模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） 高中数学教学、学习精品资料

- 7 -

A.（－2，1） B.〖－1，0〗∪〖1，2）

C.（－2，－1）∪〖0，1〗 D.〖0，1〗

〖解 析〗因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1〗，A∩B＝〖－1，0），所以阴影部分表示的集合为∁A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪〖0，1〗.

〖答 案〗C

3.（2021·湘东模拟）若集合A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|log2（1－x）≤0}，则A∪B＝（ ）

A.{x|－1≤x＜1} B.{x|－1＜x≤1}

C.{0} D.{x|－1≤x≤1}

〖解 析〗法一：因为B＝{x|log2（1－x）≤0}＝{x|0＜1－x≤1}＝{x|0≤x＜1}，所以A∪B＝{x|－1≤x＜1}.

法二：因为1∉A且1∉B，所以1∉（A∪B），故排除选项B，D；又－1∈A，所以－1∈（A∪B），所以排除选项C.

〖答 案〗A

4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}.若（∁UA）∩B＝∅，则m的值为__________.

〖解 析〗易知A＝{－2，－1}.由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，

∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，

∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.