利用基本不等式求最值的常见方法

基本不等式应用

一：直接应用求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2

（2）y＝x＋1x

解：（1）y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6

，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x

＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－

x－1x ）≤－2x·1x

=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

二：凑项

例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式 12,33yxxx

三：凑系数

例3.

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

变式2：已知x，y为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22 。

利用基本不等式求最值问题

几个重要的不等式：（1）),(222Rbaabba；

（2）),(2同号baabba；

（3）),()2(2Rbabaab；

（4）),(1122222Rbabaabbaba

1. 若正实数a,b满足a+b=1，则（ ）。

A.ba11有最大值4 B.ab有最小值41 C.ba有最大值2 D.22ba有最小值22

2. 若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是 ；

3. 已知Ryx,，且满足143yx，则xy的最大值为 ；

4. 已知0,0yx，且191yx，则yx的最小值为 ；

5. 已知正数yx,满足02xyyx，那么yx2的最小值 ；

6. 设正实数a,b满足a+b=2，则baa81的最小值为 ；

7. 已知实数yx,满足122xyyx，则yx的最大值为 ；

8. 设a>0,b>1，a,b为正常数，则xbxa1222的最小值为 ；

9. 若正数yx,满足xyyx11，则xy的最小值为 ；

10. 已知0,0ba且a+b=1，则ba121的最小值为 ；

11. 已知23x，则11222xxx的最小值为 ；

12. 已知Ryx,，满足62422xyyx，则224yxz的最小值为 。

13. 若Rba,，0ab，则abba1444的最小值为 。

14.

1利用基本不等式求最值

题型梳理

【题型1 直接法求最值】

【题型2 配凑法求最值】

【题型3 常数代换法求最值】

【题型4 消元法求最值】

【题型5 构造不等式法求最值】

【题型6 多次使用基本不等式求最值】

【题型7 实际应用中的最值问题】

【题型8 与其他知识交汇的最值问题】

命题规律

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择

题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，

它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式

的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正

二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转

化为，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出

“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

2用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

举一反三

【题型1 直接法求最值】

1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+

利用基本不等式求最值的常见方法

利用基本不等式求最值是一种常见的数学方法，适用于解决许多最值问题。基本不等式是指一个关于两个变量的不等式，例如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式通过将变量与其平方、乘积等进行比较，从而得到最值的上限或下限。

其中最常用的基本不等式是AM-GM不等式。AM-GM不等式指出，对于非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：

$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$

将这个不等式应用于最值问题时，常用的方法如下：

1.确定可变参数的范围：首先，确定问题中的可变参数范围，并将其表示为一个或多个变量（通常用$x$表示）。这些变量可以是任意从一个集合中取值的实数或正整数。

2. 构造一个函数：将问题转化为一个函数问题，其中目标函数和约束条件由可变参数表示。通常，要求最大化或最小化的数值表示为目标函数（通常用 $f(x)$ 表示），而由可变参数表示的约束条件表示为 $g(x)

\leq k$ 或 $g(x) \geq k$ 的形式。

3. 在约束条件下，应用AM-GM不等式：根据问题的约束条件，应用AM-GM不等式。根据AM-GM不等式，可以将目标函数表示为对应于AM-GM不等式的形式。例如，如果AM-GM不等式为 $\frac{a+b}{2} \geq

\sqrt{ab}$，则可以通过对目标函数的一部分应用这个不等式，得到

$\frac{f(x)}{g(x)} \geq \sqrt[h]{k}$ 的形式。 4.求导并解方程：将目标函数分别对可变参数求导，然后解方程。这是为了找到使目标函数达到最大或最小值的可变参数的值。对于一些复杂的问题，可能需要应用一些高等数学技巧，如极值判别法或拉格朗日乘数法等。

5.验证最优解：找到使得目标函数达到最大或最小值的可变参数的值后，将其代入目标函数和约束条件，以验证是否满足最值条件。