基本不等式求最值方法

用基本不等式求最值六种方法

基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。

方法一：两边平方法

若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。例如，我们要求

a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到 (a+b)^2≥ 2ab。由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。

方法二：四平方法

四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2

+ b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥

2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。

方法三：绝对值法

绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。

方法四：极值法 极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。

方法五：辅助不等式法

■尹丹青

利用基本不等式求最值是高考的常考

点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维

方法。

方法一:“定和”与“拼凑定和”求积的

最值例1 已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为。

解:由x+y=7,可拼凑(x+1)+(y+2)=10,利用基本不等式求最值。易得(x+1)+(y+2)=10,所以(1+x)(2+y)≤(1+x)+(2+y)2 2=25,当且仅当1+x=

2+y,即x=4,y=3时等号成立。故(1+x)·

(2+y)的最大值为25。

解后反思:利用基本不等式求最值时,必

须同时满足:“一正”“二定”“三相等”。

方法二:“定积”与“拼凑定积”求和的最值

例2 若a>-3,则a2+6a+13a+3的最小值为。

解:对a2+6a+13a+3变形拼凑积为定值,利

用基本不等式求最值。因为a>-3,所以

a+3>0,4a+3>0。由基本不等式得

a2+6a+13a+3=(a+3)2+4a+3=(a+3)+4a+3

≥2(a+3)·4a+3=4,当且仅当a+3=

4a+3即a=-1时等号成立。故a2+6a+13a+3

的最小值为4。

解后反思:观察积与和哪个是定值,根据“和定积动,积定和动”来求解。

方法三:“和积化归”构建不等式求最值例3 已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,若不等式x+y≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为。解:由基本不等式得(x+y)min=2,构建

m2-m≤(x+y)min,再解不等式即可。

由3-(x+y)=xy≤(x+y)24,当且仅

当x=y=1时等号成立,解得x+y≥2或x+y≤-6(舍去),则(x+y)min=2。因为不

等式x+y≥m2-m恒成立,所以m2-m≤(x+y)min,即m2-m≤2,解得-1≤m≤2。

解后反思:根据和与积的关系式,结合基

本不等式可以求出积或和的最值,这就是“和积化归法”。

方法四:“化1”与“拼凑化1”求最值

例4 已知a,b均为正数,且1a+1+

高一秋季第2讲： 基本不等式求最值

题型概览

一． 基本不等式

1.1 应用最值定理求最值;

1.2 幂指式内隐和积互化;

1.3 最值定理对“定值”的要求.

二． 十种变形技巧

2.1 整体处理求最值;

2.2 凑系数(乘、除变量系数);

2.3 凑项(加、减常数项);

2.4 连续使用基本不等式求最值;

2.5 分离 (分子)常数法求最值问题;

2.6 1

ya

ab 型函数的最值;

2.7 变用公式;

2.8 常数代换（逆用条件).

三.不能使用基本不等式的情况

3.1 应用函数单调性求最值;

一． 基本不等式

1.1应用最值定理求最值

【典例】设函数1

()21(0)fxxx

x,则()fx（）

A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数

【答案】A

【解析】由0x,得20x,1

0

x，所以()2fxx

11

1(2)1

2

21x

xx









,当且仅当

2

2x时等号成立,所以()fx有最大值,故选A.

【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,

和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理.

变式题组

【变式1】下列不等式一定成立的是()

A.

21

lglg(0)

4xxx







 B.1

2x

x C.2

12||()xxxR D.

21

1()

1x

x

R

1.【答案】 C 【解析】选项 A 中,当 1

2x 时,21

4xx; 选项 B 中,0x

时 ,1

2x

x

 ，0x

时, 1

2x

x

; 选项C

中, 22

2||1(||1)0()xxxx

R; 选项 D 中,

21

1x

(0,1]()x

. 故选 C.

【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大"

已知,xy

R,且满足

1

34xy

,则xy的最大值为_________________.

1利用基本不等式求最值

题型梳理

【题型1 直接法求最值】

【题型2 配凑法求最值】

【题型3 常数代换法求最值】

【题型4 消元法求最值】

【题型5 构造不等式法求最值】

【题型6 多次使用基本不等式求最值】

【题型7 实际应用中的最值问题】

【题型8 与其他知识交汇的最值问题】

命题规律

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择

题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，

它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式

的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正

二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转

化为，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出

“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

2用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

举一反三

【题型1 直接法求最值】

1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+