基本不等式中常见的方法求最值

第 1 页 共 4 页 高中数学：利用基本不等式求最值

角度1 利用配凑法求最值

(1)设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为92 .

解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝34”时，等号成立．

∵34∈0，32，

∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.

(2)函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值为23＋2 .

解析：y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1

＝x－12＋2x－1＋3x－1

＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.

当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．

角度2 利用常数代换法求最值

(2019·烟台一模)已知函数y＝1＋logmx(m＞0且m≠1)的图象恒过点M，若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)经过点M，则a＋b的最小值为( C )

A．2 B．3 第 2 页 共 4 页 C．4 D．5

解析：由函数的解析式可得M(1,1)，

即1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)，

则a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C．

【条件探究】 将本典例条件变为“已知a＞0，b＞0，a＋b＝1”，则1＋1a1＋1b的最小值为9.

解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．

角度3 利用消元法求最值

已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b( B )

A．有最大值145 B．有最小值145

用基本不等式求最值六种方法

基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。

方法一：两边平方法

若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。例如，我们要求

a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到 (a+b)^2≥ 2ab。由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。

方法二：四平方法

四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2

+ b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥

2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。

方法三：绝对值法

绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。

方法四：极值法 极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。

方法五：辅助不等式法

■尹丹青

利用基本不等式求最值是高考的常考

点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维

方法。

方法一:“定和”与“拼凑定和”求积的

最值例1 已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为。

解:由x+y=7,可拼凑(x+1)+(y+2)=10,利用基本不等式求最值。易得(x+1)+(y+2)=10,所以(1+x)(2+y)≤(1+x)+(2+y)2 2=25,当且仅当1+x=

2+y,即x=4,y=3时等号成立。故(1+x)·

(2+y)的最大值为25。

解后反思:利用基本不等式求最值时,必

须同时满足:“一正”“二定”“三相等”。

方法二:“定积”与“拼凑定积”求和的最值

例2 若a>-3,则a2+6a+13a+3的最小值为。

解:对a2+6a+13a+3变形拼凑积为定值,利

用基本不等式求最值。因为a>-3,所以

a+3>0,4a+3>0。由基本不等式得

a2+6a+13a+3=(a+3)2+4a+3=(a+3)+4a+3

≥2(a+3)·4a+3=4,当且仅当a+3=

4a+3即a=-1时等号成立。故a2+6a+13a+3

的最小值为4。

解后反思:观察积与和哪个是定值,根据“和定积动,积定和动”来求解。

方法三:“和积化归”构建不等式求最值例3 已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,若不等式x+y≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为。解:由基本不等式得(x+y)min=2,构建

m2-m≤(x+y)min,再解不等式即可。

由3-(x+y)=xy≤(x+y)24,当且仅

当x=y=1时等号成立,解得x+y≥2或x+y≤-6(舍去),则(x+y)min=2。因为不

等式x+y≥m2-m恒成立,所以m2-m≤(x+y)min,即m2-m≤2,解得-1≤m≤2。

解后反思:根据和与积的关系式,结合基

本不等式可以求出积或和的最值,这就是“和积化归法”。

方法四:“化1”与“拼凑化1”求最值

例4 已知a,b均为正数,且1a+1+

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1

将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值

令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得

11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。

已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。

解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq

2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。

已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。

解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。

已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。

解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。