利用基本不等式求最值的类型及方法

- 1 - 用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

②，、)(222Rbabaababba当且仅当a = b时，“=”号成立；

③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②

熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。

二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质

(1)函数0)(baxbaxxf、图象：

(2)函数0)(baxbaxxf、性质：

①值域：),2[]2,(abab；

②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。

解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx

3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号xabab2ab2aboy - 2 - 成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

利用基本不等式求最值问题

几个重要的不等式：（1）),(222Rbaabba；

（2）),(2同号baabba；

（3）),()2(2Rbabaab；

（4）),(1122222Rbabaabbaba

1. 若正实数a,b满足a+b=1，则（ ）。

A.ba11有最大值4 B.ab有最小值41 C.ba有最大值2 D.22ba有最小值22

2. 若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是 ；

3. 已知Ryx,，且满足143yx，则xy的最大值为 ；

4. 已知0,0yx，且191yx，则yx的最小值为 ；

5. 已知正数yx,满足02xyyx，那么yx2的最小值 ；

6. 设正实数a,b满足a+b=2，则baa81的最小值为 ；

7. 已知实数yx,满足122xyyx，则yx的最大值为 ；

8. 设a>0,b>1，a,b为正常数，则xbxa1222的最小值为 ；

9. 若正数yx,满足xyyx11，则xy的最小值为 ；

10. 已知0,0ba且a+b=1，则ba121的最小值为 ；

11. 已知23x，则11222xxx的最小值为 ；

12. 已知Ryx,，满足62422xyyx，则224yxz的最小值为 。

13. 若Rba,，0ab，则abba1444的最小值为 。

14.

基本不等式应用

一：直接应用求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2

（2）y＝x＋1x

解：（1）y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6

，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x

＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－

x－1x ）≤－2x·1x

=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

二：凑项

例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式 12,33yxxx

三：凑系数

例3.

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

变式2：已知x，y为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22 。

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一、知识点精要：

1、均值不等式ababab200(，，当且仅当ba时等号成立）

2、变形：（1）abba2或2)2(baab（0,0ba，当且仅当ba时等号成立）

（2）abba222（Rba,，当且仅当ba时等号成立）

（3）2yxxy（0yx，当且仅当yx时等号成立）

（4） 若0a，则21aa（当且仅当1a时等号成立）

若0a，则2)]1()[(1aaaa（当且仅当1a时等号成立）

(5)222)()(2baba（Rba,，当且仅当ba时等号成立）

(6)思考比较abbaba,2,222，ba112四者间的大小关系.

二、例题解法：

1. 凑系数

例1. 当04x时，求yxx()82的最大值.

练习： 若02x，求yxx()63的最大值.

2. 凑项

例2. 已知1x，求函数122)(xxxf的最大值.

练习： 求函数yxxx133()的最小值.（思考：若条件改为6x如何处理？）

第2页，共2页 3. 分离或换元

例3. 求yxxxx271011()≠的值域. 例4. 求函数yxx225的最大值.

练习：求函数yxxx2811()的最小值.

4. 整体代换

例5. 已知abab0021，，，求tab11的最小值.

练习：已知xy00，，且119xy，求xy的最小值.

5. 取平方

例6. 求函数yxxx21521252()的最大值.

6. 综合运用

例7.设Rba,，且422abba.