基本不等式的最值求法

利用基本不等式求最值

【学习目标】

知识与能力：学习应用基本不等式求最值;

过程与方法：通过对问题详细讲解，学习基本不等式求最值的两类问题。

情感态度与价值观：了解现实生活，会解决简单的不等式问题。

【学习重点】

学习应用基本不等式求最值.

【学习难点】

对实际问题进行详细分析。

【问题探究】

探究一:

问题1： 0x,当x取什么值时，1yxx的值最小？最小值是多少？

问题2: 0x,当x取什么值时，1yxx的值最大？最大值是多少？

问题3: 1x,当x取什么值时，4(1)1yxx的值最小？最小值是？

探究二:

问题4: 当01x时,(1)yxx的最大值为 .

【知识网构】

(0,0)2abababab当且仅当时，等号成立； abababab积为定值时，和取得最小值;和为定值时，积取得最大值；

【达标反馈】

(1)下列函数中最小值为2的是( )

A、 1yxx B、 1,0yxxx

C、 1sinsinyxx D、2sin,(0,]sin2yxxx

(2)(2009,湖南)若0x,则2yxx的最小值为 .

(3)已知3,x求43yxx的最小值.

(4)已知103x,求(13)yxx的最大值.

【课后作业】

思考：已知,xy为正数,21xy,求11xy的最小值;

习题3.4 A组 2,3;

主备人（签字）：

备课组长（签字）：

重难点第一讲利用基本不等式求最值8大题型

【命题趋势】

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的

知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通

常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考

中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、

应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一

正二定三相等”这三个条件灵活运用。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型

【满分技巧】

利用基本不等式求最值的方法

1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型

成倍数关系；

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为34ab与3ab，分子为2ab，

设

2343343abababab

∴31

432









，解得：1

5

2

5



















4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量

或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等

式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【热点题型】第2天掌握直接法及配凑法求最值模型

【题型1直接法求最值】

例1（辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0xy

，且12xy

，则xy

的最大

值为（）

A．16B．25C．36D．49

【答案】C

【解析】因为0,0xy

，122xyxy，即36xy

，当且仅当6xy

时取到等

号，故xy

的最大值为36.故选：C

高考数学考点—不等式

1

均值不等式求最值

一. 知识要点：

1. 基本不等式及相关概念

(1) 均值不等式: 2abab

① 成立条件: 0,0.ab

② 等号成立条件: 当且仅当a=b时, 两边相等.

(2) 算数平均数(值)与几何平均数(值)

设0,0ab, 则a, b的算数平均值为2ab, 几何平均值为ab. 因此, 均值不等式可描述为: 两个正数的算数平均值大于或等于它们的几何平均值. 均值不等式也称为基本不等式.

注意：均值不等式可以推广为n(2n)个正数的情形.

11nnnaaaan

2. 均值不等式及相关变形

(1) 已知,ab, 那么222abab, 当且仅当a=b时, 等号成立

(2) ① 2baab(a, b同号);

② 2baab(a, b异号);

③ 12xx(0x);

④ 12xx(0x). 高考数学考点—不等式

2

(3)

2221122abababab(0,0ab).

(4) 222()22ababab(,ab).

(5) ,,ab则114abab, 等号当且仅当a=b时成立.

3. 最值原理

(1) 两个正数的和为定值时, 它们的积有最大值, 即若0,0ab, 且,abMM为定值, 则24Mab, 等号当且仅当a=b时成立.

即,abMM为定值时, 2max()4Mab.

(2) 两个正数的积为定值时, 它们的和有最小值, 即若0,0ab, 且,abPP为定值, 则2abP, 等号当且仅当a=b时成立.

即,abPP为定值时, min()2abP.

二. 解题思路:

(1) 运用均值不等式求最值时, 请注意:

① 各项或因式符号相同(一般均为正值);

② 和或积为定值;

③ 各项或因式可以相等, 即“一正、二定、三相等”. 此三个条件缺一不可.

高中基本不等式求最值解题技巧

高中基本不等式求最值解题技巧

一、基本不等式的概念和特点

高中数学中，不等式是一个重要的概念，它与等式一样，是数学中的一种关系。而基本不等式是不等式中的一种基础类型，它具有许多特点和求解技巧。基本不等式一般为形如a/x + b/y ≥ c的形式，其中a、b、c为常数，x、y为变量，且x、y均大于0。

在基本不等式中，我们常常需要求解其最值，即找到使得不等式成立的最大或最小值。这就需要掌握一些技巧和方法来解决这类问题，从而提高我们的数学解题能力。

二、基本不等式求最值的一般步骤

1. 分析问题：我们需要对题目给出的基本不等式进行分析，明确要求的最值是最大值还是最小值。要注意不等式中的常数和变量的具体取值范围。

2. 辅助变量法：辅助变量法是解决基本不等式求最值问题的常用方法。通过引入一个新的变量，可以将原不等式转化为关于辅助变量的方程组，从而更容易地确定最值的取值范围。

3. 推广性分析：分析不等式中各项参数的推广性，确定不等式成立的条件，从而辅助我们找到最值的解法。

4. 求导分析：对于涉及函数的基本不等式问题，可以利用导数的性质进行求解。通过求导分析函数的单调性和极值情况，可以确定不等式的最值区间。

5. 综合利用不等式性质：利用不等式的性质，结合数学推理和逻辑推导，可以更灵活地解决不等式求最值的问题。

三、高中基本不等式求最值的解题技巧与举例分析

以基本不等式a/x + b/y ≥ c为例，我们可以通过具体的数学题目来演示基本不等式求最值的解题技巧。给定不等式2/x + 3/y ≥ 5，求x和y的最小值。

我们可以引入辅助变量法，令t=1/x，s=1/y，那么不等式可以转化为2t + 3s ≥ 5。通过求解辅助不等式2t + 3s = 5的解集，确定最值的取值范围。进一步分析可知，不等式成立的条件为t>0，s>0，因此我们可以确定最值的解。

我们可以利用推广性分析的方法，分析a、b、c的取值范围，从而求解最值问题。在本例中，a=2，b=3，c=5，通过推广性分析可知，在常数a、b不变的情况下，c的取值范围决定了最值的解。