基本不等式的最值求法

２０１０年１Ｏ月　第１Ｏ期　新教师教学　Ｎｅｗ　Ｔｅａｃｈｅｒ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｏｃｔ。２０１０　Ｎ０．１０　基本不等式在求最值方面的运用　高井东　（江苏省盐城市龙冈中学，江苏，盐城，２２４０１１）　【中图分类号】Ｇ６２３．５　（文献标识码】Ｂ　【文章编号】１００１—４１２８（２０１０）１０—０１０８—０１　基本不等式　（ａ≥ｏ，ｂ－＞０）￣－一些变形式：ａ＋ｂ　２／　（ａ－＞０，ｂ－＞０），　ａ２＋ｂ　２ａｂ（ａ，ｂ∈Ｒ），ａ２＋ｂ　（ａ，ｂ∈Ｒ），ａｂ≤　（　）　（ａ，ｂ∈Ｒ）它们在求解某些最值问题方面有着显著用途。　例１・已知ｘ＞２，求函数ｙ　ｘ　的最小值。　分析：如果本题转化为ｙ＝　（ｘ＞２），再转化为方程ｘ２一　（２＋Ｙ）ｘ＋２ｙ＋１＝０在ｘ　Ｅ（２，＋　）上有解，求参数Ｙ的范围。则解　决起来将非常困难，我们可以利用构造ａ＋ｂ－－＞２／　（ａ－＞０，ｂ－＞０）来　解决该题，则很简单。　解：ｙ＝ｘ一２　１　２－＞２＋２＝４（当ｘ＝３时取“＝’’号）　即当ｘ＝３时，函数取最小值４　本题会现出现许多类型的变式题：　变式１：巳知ｘ＞２，求ｙ　２ｘ　的最小值；　变式２：已知ｘ＞２，求ｙ＝　的最小值；　变式３：已知ｘ＞２，求ｙ＝　苎丢！　的最小值；　变式４：已知ｘ，ｙ∈Ｒ　，ｘ＞ｙ且ｘｙ＝１，求　三　的最小值。　上述问题可以归纳为在已知范围的情况下，求分式函数（分子，分　母分别为一元一次式与一元二次式）的最值问题，可采取将一元一次　式看成一个整体运用基本不等式来求最值问题。　例２．若正数ｘ，ｙ满足ｘ＋２ｙ＝ｌ，求÷＋÷的最小值。　分析：本题如果将ｘ＝ｌ一２ｙ代入÷　了１，采用“消元法”ｌ一１　＋÷（０＜ｇ（÷）的最小值问题，解决起来依然比较困难，我们不妨构　造可采用基本不等式的前提条件来解决该题。　解：上＋上：（　＋上）（ｘ＋２ｙ）：３＋２ｙ＋ｘ．￣－－＞３＋２　ｘ　Ｖ　ｘ　Ｖ　Ｘ　Ｖ　…当隙　即　一　即ｘ＝　一ｌ，ｙ＝１一芋时÷＋÷诹最小值３＋２　本题也会出现许多类型的变式题：　变式１：若正数ｘ，ｙ满足÷　了２＝１，求ｘ＋ｙ的最小值；　变式３：若正数ｘ，Ｙ满足÷＋　ａ＝ｌ，当ｘ＋Ｙ取最小值９时，求　ａ值；　变式４：若ｏ　ｃ　ｃ９ｏ。，求　＋　的最小值。　上述问题可归纳为乘…１’（１可以为上＋三，也可以为ｅ０ｓ　＋１一　Ｙ　ＣＯＳＯ￣…）后再运用基本不等式变形式ａ＋ｂ－＞２／　（ａ　ｏ，ｂ－＞０）来求　最值。　例３．若ａ－＞０，ｂ－＞Ｏ且ａ２＋ｂ　＝Ｉ，求ａ、　了　最大值。　分析：本题虽然采用函数思想解决起来也比较方便，但是我们依　然可采用基本不等式来快速地解决问题。　解：因为ａ－＞０　所以　丽＝￣／　≤　＝１（当　＝１，ｂ＝ｏ　时，取“＝”号）　即ａ＝Ｉ，ｂ＝０时，ａ√ｌ＋ｂ　取最大值Ｉ　变式Ｉ：若ａ－＞Ｏ，ｂ且ａ２＋÷ｂ　＝１，求ａ　丽的最大值；　变式２：巳知扇形周长为定值ｃ，求其面积最大值。　上述问题可归纳为：求ａｂ的最大值前先构造出和的一个定值，在　今后求最值问题时，基本不等式有着显著的作用。另外在运用基本不　等式求函数的最大值、最小值时应该记住对于非负数ａ，ｂ当和ｆｌ＋ｂ一　定时、积ａｂ有最大值，用基本不等式的变形式ａｂ　（　）ｚ，当积ａｂ　一定时、和ａ＋ｂ有最小值，用基本不等式的变形式ａ＋ｂ－＞２／　，另外　最后提醒：一定要注意“＝”是否可以取得。

用基本不等式求最值应注意的问题　包新安　（西安市第六十六中学，陕西西安７１　００２１）　用基本不等式（习惯称为均值不等式）求最值是基本不等式的　一个重要应用，但在具体问题中学生经常出错，本：　结合多年来的　教学实践给出笔者的一点拙见，愿对同学们有所启示。　尽管多年来教材多次变革，尤其是推行新的课程改革以后，各　种版本的教材给我们提供了更大的选择空间，就基本不等式与最值　问题的编写下列命题都被精选保留在教材之中，即：　已知ｘ．ｙＥ　Ｒ　．　２①若ｘ＋Ｙ＝　（和为定值），则当　：Ｙ时，积　取得最大值　．　—：　４；　②若ｘｙ＝Ｐ（积为定值），则当ｚ＝Ｙ时，积　取得最小值　２４７．　这是应用基本不等式求最值基本的条件模型，应该明确指出其　中的三个重要条件（即正值、定值和等号成立等条件）缺一不可，　否则结论未必正确，学生往往不能理解每个条件的作用，因而不能　正确应用，导致错误的结论，为了使学生理解这三个条件对最值的　必要性，可分别加以解析，从而提高学生对条件必要性的认识，加　深理解。　１．正值条件的必要性是显然的，因为在Ｘ，Ｙ有负值时，不等式　本身就不能成立，因而只要在具体问题中注意就可以了，可以通过　反例容易理解．　２．定值条件的必要性是最不容易理解的，在教学中应通过实例　说明它的必要性。　例如　＋４≥４ｘ　ｘ　０Ｊ，当Ｘ２：４　：２时，上式等号成　立，但在此时，ｘ２＋４并不是达到最小值的时候，如右图所示，只是　ｘ＝２时，ｘ　＋４和４ｘ等值，而并非ｘ　＋４取得最小，即均值不等式中等号　成立和达到最值是两回事，而学生误认为最值就是等号成立时达到　的值，只有在定值时，等号成立的条件和最值条件相同．　Ｙ　｝　

０　２　｜。　＿　３．等号成立是能否达到最值问题的条件是否具备的关键，由于　不加检验使问题频频出错而不乏其例．　１　ｌ　例如，ｙ＝ｘ２＋２＋Ｘ２＋２≥２　而ｘ２＋２＝　＋２＝　ｘ　＋２＝１＝　ｘ∈　中　所以ｙ的最小值并不是２，此处不能用基本不等式求得最值，而　要利用函数的单调性确定出最小值是　．　在理解上述三个条件对基本不等式求最值的必要性后，特别是　每个条件不能缺少的原因清楚以后，通常遇到的都是一些缺少条件　的最值问题，应该逐一检查条件是否满足，创造需要的条件，从而　达到运用基本不等式解决最值问题的目的，举几例加以说明（为了　说得更清楚，部分题目中会涉及三个正数的均值不等式）．　１．缺少正值条件　１　例１求函数　＋　的值域．　虽然具备积为定值的条件，但无“正值”条件，所以先在Ｒ＋　上讨论，创造了“正值”条件，从而当ｘ＝ｌ时，ｙ有最小值２，即ｙ≥　２，另外函数又是奇函数，所以当ｘ∈Ｒ一时，ｙ≤－－２，故函数的值　域是ｙ≤一２或ｙ≥２．　１　（读者可求函数　的值域）　２．缺少定值条件　这是最常见的问题，通常采用凑定值的方法，一般利用裂项、　配溃项、配系数等手段达到创造定值条件的目的．　１　例２已知相ｘ＞２，求函数ｙ＝ｘ　一２的最小值．　虽然具备正值条件，但缺少积为定值的条件，采用配项法可以　解决．　１　１　ｌ￣Ｐｙ＝ｘ＋Ｘ一２＝（ｘ一２）＋　一２＋２１＞２＋２＝４　１　１　从而使（ｘ一２）・　一２为定值，当ｘ一２＝　一２＝＝＞ｘ＝３时，　ｙｍｉｎ＝４・　１２　例３求函数ｙ＝撤　‘ｘ＞０）的最小值．　同例２一样缺少积为定值的条件，采用裂项法创造定值条件　争　＝　当　ｘ专一ｚ　若此题采用下面方法裂项，则结论错误。　３　：２ｘ＋　＋　≥３　：６　，　‘　虽然达到使（２　）’　～Ｘ２～为定值的目的，但是要求等号成立就　ｌ２　必须　。二　，而这是不能成立的，所以裂项应该注意平均裂项，　这样保证定值条件的创设而同时兼顾了等号成立的条件．　例４求函数ｙ＝ｘ２（１－－３ｘ）（０＜ｘ＜　）的最大值。　采用裂项法来创设和为定值的条件，需要配合理的系数。　Ｙ＝：ｘ　（１～３ｘ）　＝ｘ・ｘ（１一　３ｘ）　：＿４（三ｘ）（兰　）（１—３ｘ）　

基本不等式求最值小练习(总2页)

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1．已知0x，函数xxy4的最小值 .

2．已知x＞2，则y＝12xx的最小值是 ．

3．已知函数164(1)1yxxx，当xa时，y取得最小值b，则ab_______.

4．若0x，则42xx的最大值是 。

5．已知0x，则函数21xxyx的最大值是 。

6．已知x＞0，则242xx＋的最大值为________________________．

7．若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为 .

8．已知yxyxRyxlglg20则且、的最大值为

9．若x>0，y>0，且191yx，则x+y的最小值是__________

10．已知226xy，则2xy的最大值是

11．实数______loglog42022的最大值是，那么，且，yxyxyx

12．已知0a，0b， 2ba，则bay41的最小值为 ．

13．设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是 .

14．若正实数,xy满足26xyxy，则xy的最小值是 ___ ___． 15．若正数x，y满足114yx，那么使不等式0xym恒成立的实数m的取值范围是_

．

1．已知0x，函数xxy4的最小值 .

【答案】4

2．已知x＞2，则y＝12xx的最小值是 ．

【答案】4

3．已知函数164(1)1yxxx，当xa时，y取得最小值b，则ab_______.

中学数学教学参考　ＷＶＣＹ￣　．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃ（｝ｎｌ　

基本不等式法求最值的　

一个教学田惑　

王峰（安徽省临泉县第一中学）　

已知ｘ＞Ｏ，ｙ＞Ｏ，且ｘ＋ｙ一１，则　ｘ＋兰ｙ的最小　

值是。　在教学中，教师常常向学生展示如下思路：因为　

ｚ＞ｏ，　＞０，且ｚ＋．），＝＝＝１，所以　＋　一１・（　＋号）　

一（ｚ＋　）・（专＋号）一３＋　ｘ＋　ｙ≥３＋２　，当且　

仅当　一　，且ｍ＿１，即｛　不等式　

取等号，故　＋　的最小值是３＋２　。　

上述解法是处理此类问题不错的方法，学生也能　

听懂，易于接受，但学生往往提出如下解题思路：因为　

＞０，　＞ｏ，所以由基本不等式，得　＋　≥２√　，　

当且仅当　一号，且　＋　一　，即｛ｚ一　’时，不等式　

ｌ　—　

一删　≥２　２√嘉　眦　

＋　的最小值是６。　

当学生按照自己的想法得到的答案与教师解答　

的结果不一样时，就觉得奇怪，老师的解法看起来没　有问题，而我们的解法也没有问题，可两种解法的结　

果却大相径庭，究竟怎么回事呢？是题目错了，还是　其中一种解答思路有问题？令很多学生百思不得其　解，于是只好请教教师，教师面对学生的解答，一眼就　

看出其中的破绽——错在　与　的乘积不是定值，并　

指出错误理由是由于运用基本不等式ａ＋６≥２￣／ｎ６（“　＞０，６＞０）求口＋ｂ的最小值时，必须满足“一正、二　

定、三相等”三个条件，否则就会得到错解，上述解答　结果错误不正说明了这一点吗？的确，教师这样解释　指出了错误之处，但学生仍然心存疑虑：由于当且仅　

当ａ—ｂ时，ａ＋６≥２￣／口６（＆＞０，６＞０）取等号，故ａ＋ｂ　

的最小值不就是当ａ—ｂ时２￣／ｎ６的值吗？为什么必须　

ｎ６为定值呢？ｎ６不为定值难道就不能求ａ＋ｂ的最　小值吗？对于学生提出的这个质疑，作为教师，你讲　清楚了吗？这个质疑难住了不少教师，因讲不清楚，　

教师不好处理，于是干脆就让学生记住当ｎ６不为定　值时，不能用来求ａ＋ｂ的最小值，否则易出错。这种