下载文档原格式
o绝密★启用前2017-2018第二学期高二导数综合测试题lnx怛的最大值为（x5、函数的定义域为开区间（a,b ），导函数f'（x ）在（a,b ）内的图像如图所示，贝V 函数f （x ）在开区间（a,b ）班级姓名成绩、选择题（每题5分，共60 分）1、曲线y =1 3-x 3-2在点x=— 1处切线的斜率为（3A. -1B. 1C. -2D. 22、函数 A.B.e C.e 2D.10 3（其中I •是函数’•的导函数）•下面四个图象中，|;丁沢I 的图象大-y o - x已知函数y =叩凶的图象如图所示3、装0.4、函数f(x) = x 3— 3x+1在闭区间［-3 , 0］上的最大值、最小值分别是( )A. 1 , — 1B. 3, -17 C. 1, — 17 D. 9, — 19内有极大值点（A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个6、曲线f（x）= x3+ x—2的一条切线平行于直线y= 4x —1,贝V切点P。
的坐标为（A. （0，—1）或（1,0）B. （—1，—4）或（0，—2）C. （1,0）或（—1,—4）D. （1,0）或（2,8）7、曲线y= e x在点（2 , e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. e 2B. 2eC. eD.8、若函数f x cosx 2xf—，则f6—与f33的大小关系是（)订A. f - f — B . f - f -3333C. f -f— D •不确定339、若函数f x kx Inx在区间（1 +）上单调递增，则k的取值范围是（）A. , 2B.,1C.2,D. 1,10、直线y kx1与曲线y x3 ax b相切于点A 1,3，则2a b的值为（）A. 1B.1C. 2D. 2114y - -x + x⑴T11、曲线在点3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）2 1S *A. 9B.兮C 3 D.耳12、若函数y 3 xX’2mx 1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）1111 A.-, B.，—C.-, D.332,2二、填空题（每题5分，共20分）13、函数f（x）= xe x的图象在点（1 , f（1））处的切线方程是14、函数y xlnx的单调减区间为________________15、 若函数 f (x ) =ax 4+bx 2+c 满足 f '( 1) =2，则 f ' (- 1) = _____ .2 3 16、 已知曲线f xax 2Inx 在点2, f 2处的切线斜率为一，则f x 的最小值为2三、解答题(17题10分，18-22每题12分)17、 已知函数y ax 3 bx 2，当x 1时，有极大值3. (1) 求a,b 的值； (2) 求函数y 的极小值.18、设函数 f x ax 3 4x 4 过点 P 3,1 .(I)求函数的极大值和极小值.(□)求函数f x 在 1,3上的最大值和最小值.… (1)若f(x)在(1 , )上单调递减，求实数 a 的取值范围;…(2)若a = 2,求函数f(x)的极小值.内19、已知函数f xax lnxx>1.20、已知函数 f (x ) =aInx - x 2+1.… (I)若曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为4x - y+b=0,求实数a 和b 的值;… (□)讨论函数f (x )的单调性；O(n )求f x 的单调性21、设函数f xc 22x axR ,已知f x 在x 0处取得极值(I )求a 的值，并求此时曲线yf x 在点1,f 1处的切线方程;…22、已知函数f (x) =x3- 3x.…(I)求函数f (x)的极值；…(n)若关于x的方程f (x) =k有3个实根，求实数k的取值范围. O、单项选择1、【答案】 B 2、 【答案】 A3、 【答案】 C4、 【答案】 B5、 【答案】 B6、 【答案】 C7、 【答案】D 8、 【答案】 C9、 【答案】 D 10、 【答案】 B11、 【答案】 B 12、 【答案】 A、填空题 13、【答案】y = 2ex — e 14、 【答案】0,e 1 15、 【答案】-2116、 【答案】-2三、解答题17、 【答案】（1） a 6,b 9 ; （2） y 极小值 y|x o 0.参考答案f 1 3a （1） 由仁{ f ' 1 0 b （2）f x6x 39x 2f ' x18x 2 18x 令f' x0 x0或 x因为, 当0 x 1,f'x / 0,当x 0是f x 的极小值点f(x =f 0 0然后找出极值点, 求出极小值x 0时，f ' x 06经检验知，满足题意。
复习课（三）统计案例回归分析（1）主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．(2）掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题．错误!1．一个重要方程对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1)，(x2,y2)，…，(x n，y n），其线性回归直线方程为错误!＝错误!x＋错误!．其中错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!．2．重要参数相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的,其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．3．两种重要图形(1)散点图:散点图是进行线性回归分析的主要手段,其作用如下：一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布,则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；二是判断样本中是否存在异常．（2)残差图：残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：一是判断模型的精度,残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高,回归方程的预报精度越高．二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．[典例] （全国卷Ⅲ）如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．（1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注:参考数据：错误!i＝9．32，错误!i y i＝40．17，错误!＝0．55，错误!≈2．646．参考公式:相关系数r＝错误!，回归方程y，^＝错误!＋错误!t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!．［解］（1）由折线图中数据和附注中参考数据得错误!＝4，错误!(t i－错误!）2＝28，错误!＝0．55，错误!（t i－错误!）（y i－错误!)＝错误!i y i－错误!错误!i＝40．17－4×9．32＝2．89，r≈错误!≈0．99．因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2）由错误!＝错误!≈1．331及（1）得错误!＝错误!＝错误!≈0．103，错误!＝错误!－错误!错误!≈1．331－0．103×4≈0．92．所以y关于t的回归方程为错误!＝0．92＋0．10t．将2016年对应的t＝9代入回归方程得错误!＝0．92＋0．10×9＝1．82．所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1．82亿吨．[类题通法]回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．[题组训练］1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1)，（11．3，2)，（11．8，3)，(12．5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11．3，4)，(11．8，3）,(12．5,2)，（13,1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则（）A．r2〈r1〈0 B．0<r2<r1C．r2〈0<r1D．r2＝r1解析：选C 画散点图,由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1〉0，U与V是负相关,相关系数r2〈0，故选C．2．寒假中，某同学为组织一次爱心捐款, 在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间收到帖子的人数统计：y55（1）作出散点图，并猜测x与y之间的关系．（2）建立x与y的关系，预报回归模型．(3)如果此人打算在帖子传播10天时进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人．解：（1）画出散点图如图所示．从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系, 同时可发现样本点分布在某一个函数曲线y＝k e mx的周围，其中k, m是参数．(2）对y＝k e mx两边取对数，把指数关系变成线性关系．令z ＝ln y，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a（a＝ln k, b＝m)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了, 数据可以转化为：天数x1234567人数的对数z 1．9462．3983．0453．1784．1904．7455．784求得回归直线方程为错误!＝0．620x＋1．133，所以错误!＝e0．620x＋1．133．(3)当x＝10，此时错误!＝e0．620×10＋1．133≈1 530(人）．所以估计可去1 530人．独立性检验(1）近几年高考中对独立性检验的考查频率有所降低,题目多以解答题形式出现,一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．（2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理,根据随机变量K2的含义,可以通过概率P（K2≥6．635）≈0．01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6．635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99％．错误!在实际问题中常用的几个数值(1）K2≥6．635表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．01．(2）K2≥3．841表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．05．(3）K2≥2．706表示认为“X与Y有关系"犯错误的概率不超过0．1．［典例］某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人，饮食为肉类为主．)（1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯．(2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．主食蔬菜主食肉类总计50岁（3)在犯错误的概率不超过0．01的前提下,是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？[解] (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉类为主．（2）2×2列联表如表所示:(3)随机变量K错误!错误!．635,故在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．［类题通法］独立性检验问题的求解策略（1）等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．（2)K2统计量法:通过公式K2＝错误!先计算观测值k,再与临界值表作比较，最后得出结论．错误!1．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:(1）能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由．(2)若饮用干净水得病的有5人,不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否在犯错误概率不超过0．025的前提下认为这种疾病与饮用水有关．解：（1）把表中的数据代入公式得K2的观测值k＝830×52×218－466×942146×684×518×312≈54．21．∵54．21＞6．635,所以在犯错误的概率不超过0．01的前提下,认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关．(2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计干净水55055不干净水92231总计147286此时，K2的观测值k＝错误!≈5．785．因为5．785＞5．024，所以能在犯错误概率不超过0．025的前提下认为该种疾病与饮用水不干净有关．2．2016年第三十一届奥运会在巴西首都里约热内卢举行，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下:（1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人, 其中男生抽取多少人？(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率．（3)你能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考:0 )k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828独立性检验统计量K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d．解：（1）由题意，男生抽取6×错误!＝4(人),女生抽取6×错误!＝2(人)．（2)在(1）中抽取的6人中任选2人,恰有一名女生的概率P＝错误!＝815．（3)K2＝错误!≈6．667，由于6．667>6．635，所以能在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．1．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验,测试结果见下表，则实验效果与教学措施（）优、良、中差总计实验班48250A．有关C．关系不明确D．以上都不正确解析:选A 随机变量K2的观测值k＝错误!≈8．306〉6．635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关"．2．下列说法中正确的有：( )①若r〉0,则x增大时，y也相应增大；②若r〈0，则x增大时,y也相应增大;③若r＝1或r＝－1,则x与y的关系完全对应（有函数关系）,在散点图上各个散点均在一条直线上．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选C 若r〉0，表示两个相关变量正相关,x增大时，y 也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时,y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，｜r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系），故③正确．3．有下列数据( ）下列四个函数中，模拟效果最好的为（)A．y＝3×2x－1B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2解析：选A 分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好，故选A．4．若两个变量的残差平方和是325，错误!（y i－错误!)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( ）A．64．8％B．60％C．35．2％D．40%解析：选C 由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0．352．5．已知x与y之间的几组数据如下表:错误!＝错误!x＋错误!，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0)和（2，2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )A．错误!〉b′，错误!〉a′ B．错误!>b′,错误!<a′C．错误!〈b′，错误!>a′ D．错误!〈b′，错误!<a′解析:选C 过(1,0)和（2,2)的直线方程为y＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，显然错误!<b′,错误!>a′．故选C．6．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的回归方程，并算出了对应相关指数R2如下表：拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线y与x回归方程错误!＝19．8x－463．7错误!＝e0．27x－3．84错误!＝0．367x2－202错误!＝错误!A．错误!＝19．8x－463．7 B．错误!＝e0．27x－3．84C．y^＝0．367x2－202 D．错误!＝错误!解析:选B 用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越大，说明模型的拟合效果越好．7．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计,得到如下数据：那么，认为选修《人与自然》与性别有关的把握是________．解析：K2＝错误!＝163．794〉10．828，即有99．9％的把握认为选修《人与自然》与性别有关．答案：99．9％8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程错误!＝0．67x＋54．9．零件数x（个）1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为________．解析：由表知错误!＝30,设模糊不清的数据为m,则错误!＝错误!（62＋m＋75＋81＋89）＝307＋m5,因为y＝0．67错误!＋54．9,即错误!＝0．67×30＋54．9,解得m＝68．答案：689．变量U与V相对应的一组样本数据为(1,1．4），(2,2．2)，（3,3），(4,3．8)，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则R2＝______．解析：在线性回归中，相关指数R2等于相关系数,由x1＝1，x2＝2,x3＝3,x4＝4得：错误!＝2．5,y1＝1．4，y2＝2．2，y3＝3,y4＝3．8得:错误!＝2．6,所以相关系数r＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1．故R2＝1．答案:110．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问:文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗?解:根据题意，计算随机变量的观测值：K2＝错误!≈6．233〉5．024，因此有97．5％的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如表所示：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是错误!，请完成上面的2×2列联表．（2)在（1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：在犯错误概率不超过0．1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说明理由．解:(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是错误!，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7,学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到：(2)K2＝错误!≈11．538，因为11．538>10．828，所以在犯错误的概率不超过0．001的前提下可以认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．12．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷",已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷"，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附:K2＝错误!．解：（1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2＝错误!＝错误!＝错误!≈3．030．因为3．030〈3．841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝｛（a1，a2)，（a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，（a1,b2），(a2，b1)，（a2，b2)，(a3，b1),（a3，b2)，（b1，b2)｝．其中a i表示男性,i＝1,2，3．b j表示女性，j＝1，2．Ω由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝｛(a1，b1），（a1，b2），（a2,b1)，(a2,b2），（a3，b1），(a3，b2)，(b1，b2)},事件A由7个基本事件组成，因而P（A)＝错误!．（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的有( ）①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值,故选B．2．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( )A．24种B．52种C．10种D．7种解析:选A 因为每层均有2个楼梯,所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．3．设随机变量X服从二项分布X~B（n，p),则错误!等于（）A．p2B．(1－p)2C．1－p D．以上都不对解析:选B 因为X~B(n,p)，(D（X)）2＝[np(1－p)］2，(E(X））2＝（np）2，所以错误!＝错误!＝（1－p)2．故选B．4．若（2x＋错误!）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值是( )A．1 B．－1C．0 D．2解析：选A 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝（2＋错误!)4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝（－2＋错误!）4．所以（a0＋a2＋a4)2－（a1＋a3)2＝（2＋3)4(－2＋错误!)4＝1．5．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大,说明拟合的效果越好;③设随机变量ξ服从正态分布N（4,22),则P(ξ>4）＝错误!；④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析：选B ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R2越大,拟合效果越好，R2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N(4，22），正态曲线对称轴为x＝4,所以P （ξ>4)＝错误!;④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k 越小，则说明“X与Y有关系”的犯错误的概率越大．6．若随机变量ξ～N（－2，4)，则ξ在区间(－4,－2］上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A．(2，4］B．(0，2］C．[－2，0) D．（－4,4］解析：选C 此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间（－4,－2］上取值的概率等于ξ在[－2，0）上取值的概率．7．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0．9，0．8,0．7，那么此系统的可靠性为( )A．0．504 B．0．994C．0．496 D．0．06解析：选B A、B、C三个开关相互独立,三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0．9）×(1－0．8）（1－0．7）＝1－0．1×0．2×0．3＝0．994．8．一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0．02．设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于（) A．0．2 B．0．8C．0．196 D．0．804解析：选C 因为由题意知该病的发病率为0．02，且每次试验结果都是相互独立的，所以ξ～B（10,0．02），所以由二项分布的方差公式得到D(ξ）＝10×0．02×0．98＝0．196．故选C．9．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响,经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程错误!＝错误!x＋错误!中的错误!为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为（)A．141 B．191C．211 D．241解析:选B 由题意，x＝错误!＝7．8,错误!＝错误!＝57．8，因为回归方程y，^＝错误!x＋错误!中的错误!为6,所以57．8＝6×7．8＋错误!，所以错误!＝11，所以错误!＝6x＋11，所以x＝30时，错误!＝6×30＋11＝191，故选B．10．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72 B．96C．108 D．120解析:选B 颜色都用上时，必定有两块同色,在图中，同色的可能是1，3或1,5或2,5或3，5．对每种情况涂色有A错误!＝24种，所以一共有96种．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p,且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B 4个引擎飞机成功飞行的概率为C错误!p3（1－p）＋p4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使C34p3（1－p）＋p4>p2，必有错误!<p<1．12．（全国丙卷）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n｝共有2m 项，其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（) A．18个B．16个C．14个D．12个解析：选C 由题意知:当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1,且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m,a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”,则中间6个数的情况共有C36＝20(种),其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C错误!＝4（种）；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1,只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．请把正确答案填在题中的横线上）13．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是__________．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为错误!，成功的概率为错误!,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1,2,则P(X＝0)＝错误!，P（X＝1）＝C错误!×错误!×错误!＝错误!，P(X＝2）＝错误!2＝错误!．所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!．法二：此试验满足二项分布,其中p＝错误!，所以在2次试验中成功次数X的均值为E（X)＝np＝2×错误!＝错误!．答案：错误!14．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以上的人,调查结果如表根据列联表数据，求得K2≈__________．解析：由计算公式K2＝错误!，得K2≈7．469．答案：7．46915．从0，1，2，3,4,5，6，7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析：十个数中任取七个不同的数共有C710种情况,七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C错误!种情况，于是所求概率P＝错误!＝错误!．答案：错误!16．某射手射击1次,击中目标的概率是0．9,他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0．9;②他恰好击中目标3次的概率是0．93×0．1；③他至少击中目标1次的概率是1－0．14．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号）．解析：①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0．9，正确；②恰好击中目标3次的概率应为C错误!×0．93×0．1；③4次射击都未击中的概率为0．14；所以至少击中目标1次的概率为1－0．14．答案：①③三、简答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分)已知(a2＋1）n展开式中的各项系数之和等于错误!5的展开式的常数项,而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解：错误!5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!错误!5－r错误!r＝错误!5－r C错误!x错误!,令20－5r＝0,得r＝4，故常数项T5＝C错误!×错误!＝16．又（a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4．由二项式系数的性质知，（a2＋1）n展开式中系数最大的项是中间项T3,故有C错误!a4＝54,解得a＝±错误!．18．(本小题满分12分）(全国甲卷)某险种的基本保费为a（单元:元)，继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：险次数概率0．300．150．200．200．100．05（1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60％的概率;(3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解:（1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P（A）＝1－(0．30＋0．15)＝0．55．(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%",则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P（B）＝0．1＋0．05＝0．15．又P(AB）＝P（B)，故P(B|A)＝P ABP A＝错误!＝错误!＝错误!．因此所求概率为错误!．（3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X 0．85aa1．25a1．5a1．75a2aP 0．300．150．200．200．100．05EX＝0．85a×0．30＋a×0．15＋1．25a×0．20＋1．5a×0．20＋1．75a×0．10＋2a×0．05＝1．23a．因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1．23．19．（本小题满分12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按1％的比例从年龄在20~80岁（含20岁和80岁）之间的市民中随机抽取600人进行调查,并将年龄按［20,30)，［30，40），［40,50），[50,60)，［60,70），[70，80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在［20，40)岁的人为“青年人”，［40，60）岁的人为“中年人”，［60，80］岁的人为“老年人”．（1）根据频率分布直方图估计该城市60岁以上（含60岁）的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄;（2）将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望．解:（1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01）×10＝0．2,故样本中60岁以上（含60岁)的人数为600×0．2＝120，故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%＝12 000．所调查的600人的平均年龄为25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48（岁）．（2）由频率分布直方图知，“老年人"所占的频率为错误!,所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为错误!，分析可知X的所有可能取值为0，1,2，3,P(X＝0)＝C错误!错误!0错误!3＝错误!，P(X＝1）＝C13错误!1错误!2＝错误!，P（X＝2）＝C错误!错误!2错误!1＝错误!,P(X＝3)＝C3，3错误!3错误!0＝错误!．所以X的分布列为X0123P 64125错误!错误!错误!EX＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!．错误!20．（本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．错误!错误!错误!错误!(x i－错误!）2错误!(w i－错误!)2i＝18（x i－错误!）(y i－错误!（w i－错误!)(y i－y)i错误!错误!错误!错误!i（1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d错误!哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由）（2)根据(1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．（3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附:对于一组数据（u1，v1)，（u2，v2）,…，(u n,v n），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!．解：(1）由散点图可以判断，y＝c＋d错误!适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型．（2)令w＝错误!，先建立y关于w的线性回归方程．由于错误!＝错误!＝错误!＝68，。
2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =（ ）A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ）A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对 4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n + 5.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程y bx a =+，其中9.4b =，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则a ，m 的值为（ ）A ．9.4a =，52m =B ．9.2a =，54m =C ．9.1a =，54m =D ．9.1a =，53m =7.利用数学归纳法证明不等式1111()2321n f n +++⋅⋅⋅+<-*(2,)n n N ≥∈的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k-项 D ．2k项8.如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5769.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+B ．112π+C ．112π-D ．1142π- 10.设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x K f x f x f x K≤⎧=⎨>⎩，则当函数1()f x x =，1K =时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ） A ．2ln 22+ B ．2ln 21- C ．2ln 2 D ．2ln 21+11.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ） A ．23B ．2C ．4D ．6 12.已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]- C ．[0,1] D ．[0,2]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布2(2,)X N σ，若()0.32P X a <=，则(4)P a X a ≤<-等于 ．14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）15.63(2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是 ． 16.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-，（12a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.复数213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，若12z z +是实数，求实数a 的值.18.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率. 19.在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.（()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21.已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）.（1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+； （2）若1a ≤，求证：5()4f x ≤.2017-2018学年度期末试题高二数学理科答案一、选择题1-5 CAACA 6-10 CDBDD 11、12：CB二、填空题13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1三、解答题17.解：2123(10)5z z a i a +=+-+2(25)1a i a++-- 232[(10)(25)]51a a i a a ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭213(215)(1)(5)a a a i a a -=++--+.∵12z z +是实数， ∴22150a a +-=，解得5a =-或3a =，由于50a +≠， ∴5a ≠-，故3a =.18.解：（1）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.（2）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3， 故()0.10.050.15P B =+=. 又()()P AB P B =， 故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====.因此所求概率为311. 19.解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立，即(1)k a k k =+，2(1)k b k =+.那么，当1n k =+时，2122(1)(1)k k k a b a k k k +=-=+-+232(1)(2)k k k k =++=++，2222112(1)(2)(2)(1)k k k a k k b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①和②和对一切*n N ∈，都有(1)n a n n =+，2(1)n b n =+成立.20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：2K 的观测发传真300(1201560105)180********k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.66710.828≈>， 所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中43(0)5P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭；31423(1)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；222423(2)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；313423(3)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；404423(4)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：②由于4,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则28()455E X =⨯=，2224()415525D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 21.解：（1）'()ln 1f x x =+，所以切线斜率'(1)1k f ==. 又(1)0f =，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得2(1)10x a x +-+=. 由22(1)423(1)(3)a a a a a ∆=--=--=+-， 可得当0∆>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点； 当0∆=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点； 当0∆<时，即13a -<<时，没有公共点. （2）2()()2ln y f x g x x ax x x =-=-++， 由0y =，得2ln a x x x=++， 令2()ln h x x x x =++，则2(1)(2)'()x x h x x -+=. 当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由'()0h x =，得1x =. 所以()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增，因此min ()(1)3h x h ==.由1121h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2()1h e e e =++，比较可知1()h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e<≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点. 22.解：（1）由5ρ=，可得225ρ=，得2225x y +=， 即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=.（2）设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=， 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴216[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，∴128AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=， 解得cos 0α=或3tan 4α=-， 从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2()1f x x x =-++， ∴不等式化为234x x x -+<-+， ①当10x -≤<时，不等式化为234x x x -<-+，∴02x -<<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+， ∴102x ≤<.综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.（2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤. 又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2211x x x x ≤-+=-+2155244x ⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭.。
第三课 统计案例[核心速填] (建议用时4分钟)1．分析判断两个变量相关关系常用的方法(1)散点图法：把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图，由散点图的形状分析．(2)相关指数法：利用相关指数R 2进行检验，在确认具有相关关系后，再求线性回归方程．2．求线性回归方程的步骤(1)画散点图：从直观上观察两个变量是否线性相关． (2)计算：利用公式求回归方程的系数的值．b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.(3)写出方程：依据y ^＝a ^＋b ^x ，写出回归直线方程． 3．两种特殊可线性化回归模型的转化(1)将幂型函数y ＝ax m(a 为正的常数，x ，y 取正值)化为线性函数．如果将y ＝ax m两边同取以10为底的对数，则有lg y ＝m lg x ＋lg a ．令u ＝lg y ，v ＝lg x ，lg a ＝b ，代入上式，得u ＝mv ＋b ，其中m ，b 是常数．这是u ，v 的线性函数．如果以u 为纵坐标，v 为横坐标，则u ＝mv ＋b 的图象就是一直线．(2)将指数型函数y ＝ca x(a ＞0且a ≠1，c ＞0且为常数)化为线性函数．将y ＝ca x两边同取以10为底的对数，有lg y ＝x lg a ＋lg c ，令lg y ＝u ，lg a ＝k ，lg c ＝b ，得u ＝kx ＋b ，其中，k 和b 是常数，与幂型函数不同的是x 依然保持原来的，只是用y 的对数lg y 代替了y .4．在实际问题中常用的三个数值(1)当K 2＞6.635时，表示有99%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (2)当K 2＞3.841时，表示有95%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (3)当K 2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的．[体系构建][题型探究]一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r ，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：(1)求b ^时，利用公式b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－ni ＝1x 2i －n x －2，先求出x ＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，y ＝1n (y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n )．再由a ^＝y －b ^ x 求a ^的值，并写出回归直线方程．(2)回归直线一定经过样本点的中心(x －，y －)．(3)回归直线方程中的截距a ^和斜率b ^都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(4)回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中的b ^表示x 每增加1个单位时预报变量y 的平均变化量，而a ^表示预报变量y 不随x 的变化而变化的部分．以下是某地收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格.【导学号：95032252】[解] (1)数据对应的散点图如图所示．(2)由散点图知y 与x 具有线性相关关系．由表中数据知x －＝15∑i ＝15x i ＝109，y －＝15∑i ＝15y i ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝5i ＝1x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x －2≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －≈1.814 2，故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．1．已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程； (3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．(参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x 2i ＝200)[解] (1)散点图．(2)由已知数据计算得n ＝5，x －＝305＝6，y －＝175＝3.4，b ^＝112－5×6×3.4200－5×6×6＝0.5，a ^＝3.4－0.5×6＝0.4.则线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)将x ＝10代入线性回归方程中得到y ^＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元)． 即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．决实际问题的效果进行评价．一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R 2(相关系数r )．对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题．在研究弹簧伸长长度y (cm)与拉力x (N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为y ＝0.18x ＋6.34，求R 2，并结合残差说明拟合效果.【导学号：95032253】[解] 列表求值如下：x －＝17.5，y －≈9.49，∑i ＝16x i y i ＝1 076.2，∑i ＝16x 2i ＝2 275，∑i ＝16(y i －y ^i )2＝0.017 4，∑i ＝16(y i－y －)2＝14.678 4.∴R 2＝1－0.017 414.678 4≈0.998 81，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．2．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． [解] (1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋a ^.x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∴y ^＝6.5x ＋a ^经过(x －，y －)， ∴50＝6.5×5＋a ^，∴a ^＝17.5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155.∑i ＝15(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.所以R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2＝1－1551 000＝0.845.由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21>R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好．是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关.【导学号：95032254】[思路探究] (1)解决本题关键是首先弄清问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征．(2)利用2×2列联表计算K 2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小． [解] (1)由已知可列2×2列联表如下：k ＝－280×460×220×320≈9.638.因为9.638>7.879，因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关．3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．(参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为50×0.6＝30.列联表补充如下：(2)因为k＝25×25×30×20≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．。
第3章统计案例一、独立性检验1．独立性检验的思想及方法独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小,如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量X的含义，可以通过概率来评价假设不合理程度．2．独立性检验的一般步骤（1)提出假设H0；（2)根据样本数据列2×2列联表，计算χ2＝错误!；（3)比较χ2与临界值的大小并作出判断．二、回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．建立回归模型的基本步骤:（1)确定两个变量；（2)画出散点图；(3）进行相关系数检验;(4)确定线性回归方程类型，求出回归方程．建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于非线性回归模型的建立．(考试时间:120分钟试卷总分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分）1．下列有关线性回归的说法①变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系;②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．其中错误的是________．解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程．答案：④2．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过点________.x0123y1357解析：∵x＝错误!＝y错误!＝ 1.5，4），而回归直线必过样本点的中心，故必过（1.5，4)．答案：（1.5，4）3．对两个变量y和x进行线性相关性检验，已知n是观察值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0。
2017-2018学年高二（下)期末数学试卷(文理科）注意：没有学的就不做一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．1、已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则集()U C A B = ( )A 、{1,2}B 、{2,5}C 、{1,2,5}D 、{2,3,4,5}2．（5分)（2014•湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x"的否定是( ）A ．∀x ∉R,x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2=xC ．∃x ∉R,x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2=x3．（5分)（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为（ ）A ．50B ．40C ．25D ．204．（5分）（2016春•遵义期末）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的T 的值为( ）A ．29B ．30C ．31D ．325．（5分）（2012•湖北)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表分组 ［10，20） ［20，30） [30，40） [40，50) [50，60)［60，70） 频数 2 3 4 5 42 则样本数据落在区间[10，40］的频率为（ ）A ．0.35B ．0。
45C ．0.55D ．0.656．（5分)(2013•湖南）“1＜x ＜2"是“x ＜2”成立的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016春•遵义期末)已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为3x +4y=0，则双曲线离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分)(2012•湖南）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据（x i ,y i ）（i=1，2，…，n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0。
第三章统计案例学习目标 1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．知识点一线性回归分析1．线性回归方程在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中x ＝____________，y＝____________.2．相关系数(1)相关系数r的计算公式r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2.(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．知识点二独立性检验1．2×2列联表设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ______，且变量B取________时的数据；c表示变量A取 __________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取________，且变量B取________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝____________________.3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．类型一线性回归分析例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．类型二 独立性检验思想与应用例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．反思与感悟 独立性检验问题的求解策略 χ2统计量法：通过公式 χ2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b( )A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为( ) A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋53．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是( )A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：根据以上数据可得出( )A．种子是否经过处理与是否生病有关B．种子是否经过处理与是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．答案精析知识梳理 知识点一1.∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2y －b x 1n ∑ni ＝1x i 1n ∑ni ＝1y i2．(2)[－1,1] (3)> < 知识点二1．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 2.n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d3．90% 95% 99% 题型探究例1 解 (1)散点图如图．(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑5i ＝1x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑5i ＝1x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ＝132－5×2×1030－5×22＝3.2， a ＝y －b x ＝3.6.所以线性回归方程为y ＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝8，则y ＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 例2 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝－228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 跟踪训练2 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如下：(3)χ2＝－212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．当堂训练1．C 2.A 3.D 4.B5．y＝x＋14 24。
2017-2018学年度高二期末数学备课热点难点突破练专题03 导数与统计案例本专题热点可分3部分,一是导数的几何意义及运算,多以客观题形式考查,难度中等或中等以下,二是导数的应用,客观题、解答题都有考查重点是利用导数研究函数的性质或证明不等式,可以是基础题,也可以是难题,三是统计案例,重点是线性回归分析与独立性检验,难度中等或中等以上.一、热点难点突破例1. 【2018年新课标I卷】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D例2. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得：令，故得函数在单调递增，在单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.例3. 已知函数的零点为，，且，那么下列关系一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得：定义域为：，令当x>0时>0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况：，故A、B正确，或故C正确.例4．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】下列说法：①线性回归方程必过；②命题“”的否定是“”③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：【答案】①④例5．【四川省广元市高2018届高三第二次高考适应性统考】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程，现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__________．（个）加工时间【答案】68 【解析】,代入回归直线方程得,解得.例6. 对于函数()y f x =,若其定义域内存在两个不同的实数12,x x ， 使得()1i i x f x = ()1,2i =成立，则称函数()f x 具有性质P ,若函数()xe f x a=具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】若函数()xe f x a =具有性质P ，则()1xf x = 有两个不等实数根代入得()1xe xf x x a=⋅=即x a x e =⋅在R 上有个两个不等实数根 令()xg x xe =则()()'1xxxg x xe e e x =+=+，令()'0g x =得1x =- ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：根据表格，画出如下图所示的函数图像由图像可知， x a x e =⋅在R 上有个两个不等实数根即y a = 与()g x 的图像有两个不同交点，由极小值()11g e-=- 可知 当有两个交点时， a 的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例7. 已知，.(1)证明： ；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】 （1）设，则，故在上单调递减，在上单调递增.从而.而当时，.（2）设，则，.要求在上恒成立必须有.即.以下证明：当时. 只要证，只要证在上恒成立.令，则对恒成立，又，所以.从而不等式得证.8．【2018年全国卷Ⅲ】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试（全国卷II）】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．二、方法总结1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝fx 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢． 2.确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．4.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题． 5.求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．6若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．7.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 8.利用导数证明不等式的方法证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )． 9.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 10.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数． 11.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．(3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关． 12.线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b ^，a ^.②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数． (2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． 13.(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (2)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表． ②根据公式K 2＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d计算K 2的观测值k .③比较k与临界值的大小关系，作统计推断．三、精选精练1．【安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛】某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（）A. 万盒B. 万盒C. 万盒D. 万盒【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：，即样本中心为，代入回归直线，解得，即令，解得万盒，故选C．2.【2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中】若函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C3.【2018陕西省咸阳市5月模拟】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则（）A. B. C. D.【答案】D4.【安徽省江南十校2018届高三二模】的导函数满足：当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，则，因为当时，，所以当时，即函数在上单调递减，则，即，即．5.【山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟】已知函数，r若由两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，函数的导数为，由函数由两个极值点得，又为奇函数，不妨设，则有，所以可得，由直线的斜率公式可得，又，所以，得所以在上单调递增，又由，由，得，所以，故选A.6.【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】已知函数()()22f x aln x x =+-,在区间(0,1)内任取两个实数,p q ,且p q >，若不等式()()112f p f q p q+-+>-恒成立，则实数的取值范围是( )A. ()12,+∞B. [)12,+∞C. ()24,+∞D. [)24,+∞ 【答案】D【解析】由已知p q >可得()()()112f p f q p q +-+>-()()1122f p f q p q +>++- ()()1212f p p f q q +->+- ()()122122f p p f q q +-->+-- ()()()()121121f p p f q q +-+>+-+令()()2g x f x x =- ，则有()()11g p g q +>+ 因为(),0,1p q ∈ 所以()()11,2,11,2p q +∈+∈ 又因为p q >所以()()2g x f x x =-在()1,2上为单调递增函数()()''22202ag x f x x x =-=--≥+在()1,2上恒成立 即()()222a x x ≥++ 恒成立， 令()()()222h x x x =++231222x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()h x 在()1,2上为单调递增函数，所以()()max 224h x h ==所以24a ≥ ，即a 的取值范围为[)24,+∞ 所以选D7.【江西省南昌市2018届高三第三次理科数学模拟】下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ） A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切 B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差 C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位【答案】A【解析】A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确； B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与有关系”可信程度越大; 故B 错误；C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.故选A.8.【山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中】若函数的值域为，则实数的取值范围是__________． 【答案】9．【山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中】若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为__________．【答案】【解析】令令，有定义域可得f（x）在递减，递增，如图：，故只有一解得：得，故答案为10.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，整理得.（2）因为函数的定义域是，即为，可化为.设，依题意，.，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，，所以在上是增函数；当时，，，所以在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.所以的取值范围是.11．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在区间上的最大值.【解析】（1），由，解得；由，解得.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）可知：①当时，，在上是增函数，所以此时；②当时，，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；③当时，在上是减函数，所以此时.综上，函数在区间上的最大值；当时，为；当时，为；当时，为.12．【安徽亳州市涡阳一中2018届高三最后一卷】已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； （2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.【解析】（1）依题意：∵ 在上递增， ∴对恒成立即对恒成立， ∴ 只需∵，∴， 当且仅当时取“=”，∴，∴ 的取值范围为 （2）当，时，，其定义域是，∴ ，∵ ，∴时，；当时，∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴ 当时，函数取得最大值，其值为当时，，即∴ 函数只有一个零点（3）由已知得两式相减，得，由及，得令，，∵，∴ 在上递减， ∴∵，∴13．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知函数（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：对任意的恒成立. 【解析】（Ⅰ）由得，切点为，斜率为， 所求切线方程为：，即；（Ⅱ）证明：当时，欲证：，注意到，只要即可,令，则知在上递增，有，所以可知在上递增，于是有综上，当时，对任意的恒成立．14．【四省2018届高三第三次大联考】设函数. （1）当时，求的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，试比较与的大小，并说明理由.（2），由（1）可知在区间上单调递增，则，即在区间上单调递增，且，①当时，，在区间上单调递增，∴满足条件；②当时，设，则，∴在区间上单调递增，且，，∴使得，∴当时，，单调递减，即时，，不满足题意.综合上述，实数的取值范围为.（3）由（2）可知，取，当时，，即，当时，，∴， 又∵，∴当时，；当时，；当时，，. 15．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】已知函数()()2x x f x e sinx ax a e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【解析】(1) ()()0,xa f x e sinx e ==-()()'04f x ex sinx cosx e ex x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减(2)要证()220x e sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 即证; 220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a x a sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证; ()()()221110122{ 1202g sinx x e g sinx x e ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭=-+-<成立∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,= 200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.16．【四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高二下学期期中】已知（1）求曲线在点出的切线方程；（2）设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由题知：,则， ∴曲线在点处切线的斜率为所以，切线方程为，即.(2)由题知：，即，令，则，令解得，∴在单增；单减， 又∵有唯一零点所以，可作出函数的示意图，要满足对恒成立，只需解得.即实数的取值范围是法二：令，则，令，则，令，则，∴在单增，单减；，故对恒成立.∴在单减，又∵对恒成立，令得∴，无论在有无零点，∴在上的最小值只可能为或，要恒成立，∴且，∴.即实数的取值范围是17. 【山西省运城市康杰中学2018届高三高考模拟（一）】某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数学成绩物理成绩数据表明与之间有较强的线性关系．（I）求关于的线性回归方程；（II）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（I）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（III）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀. 若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，在答卷页上填写下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数，，【解析】(II)将代入上述方程，得．(III)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36．抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．。
