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第一节统计
统计学是一门深入研究社会发展现象、收集各种信息有关经济、社会
等方面的现象,而综合运用几何学，概率论，统计学原理建立的科学模型，使数据进行统计分析的一门科学。
主要用于分析和收集各种信息，由此产
生的规律和趋势，调查统计现象和情况，发现其背后的规律和趋势，从而
研究社会上多种现象的变化规律。
统计学主要解决四个方面问题：
1.收集数据，概括和引申数据，以表示其中一社会现象的特征；
2.运用各种统计方法，对数据进行描述，以探索其中一社会现象的规律；
3.建立统计模型，用来估算、预测其中一社会现象的发展趋势；
4.根据统计分析结果，作出科学的决定，改善社会环境和生活质量。
第二节统计案例
1.调查学生上网时间
一所中学要开展学生上网时间的调查。
方法如下：
先在学校开展一次上网时间调查问卷调查，要求学生填写上网时间的
长短，有无违背规定的行为，网络上的活动，以及是否有不良信息等；
其次，定期对学生的上网行为进行监视，及时发现学生在上网时是否
有违背规定的行为；。
统计与统计案例统计概述统计学是一门关于在数据中收集、准确描述、分析、解释和预测现象的科学和技术。
统计学不仅在学术研究中有应用，而且在商业、政治和政策制定中也具有重要作用。
统计学可以用来了解各种数据，并从中得出有关样本或总群体的。
统计学的原则和方法主要包括调查设计、数据描述、概率、假设检验和参数估计等。
其中，假设检验是根据样本数据推断总体特征的重要方法。
统计学的结果应该是客观、可验证的，并且可以用于系统决策。
统计案例（一）调查调研统计学最常见的应用之一是调查调研。
通过问卷调查、样本调查、群体访谈等方式，收集数据，从而更好地了解受访者的需求、看法和态度。
以下是一个调查调研的案例。
案例描述某地区政府正在确定针对失业人士的培训课程。
政府委托调查公司进行调查，以了解需要哪些课程。
调查结果将用于决策，以便提供实施这些培训计划的机构。
调查设计调查对象为失业者群体。
调查方式采用在线问卷的形式，问卷包括以下几个方面的问题：失业者的学历和技能水平、求职经历、兴趣、培训需求和意愿等。
数据收集和处理随机选中1000名失业者进行问卷调查。
数据收集后，统计调查结果，计算得出以下数据： - 60%的人表示需要技术培训 - 50%的人表示需要求职技巧培训 - 20%的人表示需要职业素养培训 - 10%的人表示需要创业培训分析和解读失业者的培训需求主要集中在技术培训和求职技巧培训上，政府可以在这些方面提供更多的培训机会。
与此同时，政府还需要按照实际情况开展其他培训项目，以更好地满足失业者的需求。
（二）产品质量控制统计学也可以应用于产品质量控制。
通过对生产过程中质量数据的监测和分析，可以实现产品质量的控制和优化。
以下是一个产品质量控制的案例。
案例描述某工厂生产塑料袋，需要通过质量控制确保产品达到标准。
为此，工厂制定了质量控制计划，包括每小时抽取5个样本、每个样本5个塑料袋，共记录10批次数据。
质量数据由于每个样本包含5个塑料袋，所以每批次共抽取了50个塑料袋。
统计教学案例（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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统计概率新泰一中 闫辉例1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？ 解 （1）依题意知第三组的频率为1464324+++++=51，又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为5112=60.（2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95，第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高.例2（14分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别 记录抽查数据如下： 甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99； 乙：110，115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？ （2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解 （1）因为间隔时间相同，故是系统抽样.2分（2）茎叶图如下：5分（3）甲车间： 平均值：1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100，7分 方差：s 12=71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈3.428 6.9分乙车间：平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100，11分 方差：s 22=71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4.13分 ∵1x =2x ，s 12＜s 22,∴甲车间产品稳定.14分1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？解 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n , 则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.2.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分） ［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15； ［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例； （4）估计成绩在85分以下的学生比例.解 （1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b . 由808560.0--b =809060.084.0--，故b =0.72.估计成绩在85分以下的学生约占72%.一、填空题1.下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 . ①直方图的高表示取某数的频率②直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 ③直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值④直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值 答案 ①②③2.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…… 第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学 生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 . 答案 0.9,353.(2009·启东质检)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视 力在4.6到5.0之间的学生数为b ,则a ,b 的值分别为 .答案 0.27，784.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则x 甲 x 乙， 比 稳定. 答案 ＜ 乙 甲 二、解答题5.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）求这两个班参赛的学生人数是多少？（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）解 （1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05. ∴第二小组的频率为：1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=组距频率=1040.0=0.04.则补全的直方图如图所示.（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人. ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴x40=0.40，解得x =100（人）.所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.（3）因为0.3×100=30,0.4×100=40,0.15×100=15,0.10×100=10,0.05×100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.6.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ （3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 解 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：391517424+++++=0.08.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08.012=150.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.7.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59. （1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性； （3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？ 解 （1）制作茎叶图如下：从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.（2）x 甲=33，2甲s ≈127.23，x 乙=27，2乙s ≈199.09，∴x 甲＞x 乙, 2甲s ＜2乙s ，∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.（3）不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况.线性回归方程1.为了考察两个变量x 、y 之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l 1和l2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ,变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ,那么下列说法中正确的是 （填序号）. ①直线l 1,l 2有交点（s ,t )②直线l 1,l 2相交，但是交点未必是(s ,t ) ③直线l 1,l 2由于斜率相等，所以必定平行 ④直线l 1,l 2必定重合 答案 ① 2.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系 ②散点图能直观地反映数据的相关程度③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 ④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 3.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=b ˆx +a ˆ及回归系数b ˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③4.已知回归方程为yˆ=0.50x -0.81,则x =25时，y ˆ的估计值为 . 答案 11.691.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx +a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？基础自测（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 （1）散点图如下图:（2）x =46543+++=4.5,y=45.4435.2+++=3.5∑=41i iiy x=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.∑=412i ix=32+42+52+62=86∴bˆ=24124144xx yx y xi i i i i-∙-∑∑===25.44865.45.345.66⨯-⨯⨯-=0.7aˆ =y -bˆx =3.5-0.7×4.5=0.35. ∴所求的线性回归方程为yˆ=0.7x +0.35. （3）现在生产100吨甲产品用煤 y =0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.2.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？解 （1）n =6，∑=61i ix=21，∑=61i iy=426，x =3.5,y=71,∑=612i ix =79，∑=61i ii yx =1 481，bˆ=26126166xxyx y xi ii i i-∙-∑∑===25.3679715.364811⨯-⨯⨯-=-1.82.aˆ=y-bˆx =71+1.82×3.5=77.37. 回归方程为yˆ=a ˆ+b ˆx =77.37-1.82x . （2）因为单位成本平均变动bˆ=-1.82＜0,且产量x 的计量单位是千件,所以根据回归系数b 的意义有: 产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x =6,代入回归方程:yˆ=77.37-1.82×6=66.45（元） 当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.1.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y (cm)与年龄x (岁)的回归模型为yˆ=8.25x +60.13,下列叙述正确的是 .①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm ③该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高 答案 ②2.已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元），有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程yˆ=b ˆx +a ˆ表示的直线一定过定点 . 答案 （4，5）统计案例例1 （14分）调查339名50岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情况，获数据如下：试问：（1）吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关？ （2）用假设检验的思想给予证明. （1）解 根据列联表的数据，得到χ2=))()()(()(2c d b d c a b a bc ad n ++++- 2分=13428356205)1316212143(3392⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=7.469＞6.635 6分 所以有99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”.9分（2）证明 假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系”，由于事件A ={χ2≥6.635}≈0.01，即A 为小概率事件，而小概率事件发生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约有1%.14分1.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由.解 （1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1=5024=2512，又因为不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2=5019.（2）由2χ统计量的计算公式得2χ=25252624)761918(502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈11.538，由于11.538＞10.828，所以可以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”.2.某种书每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程.解 首先作变量置换，令u =x1,题目所给数据变成如下表所示的10对数据：然后作相关性检验.经计算得r ≈0.999 8＞0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系.由公式得aˆ≈1.125,b ˆ≈8.973, 所以yˆ=1.125+8.973u , 最后回代u =x1,可得y ˆ=1.125+x973.8,这就是题目要求的y 对x 的回归曲线方程.回归曲线的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支.1.工人月工资y （元）依劳动生产率x (千元）变化的回归方程为yˆ=50+80x ，下列判断正确的是 . ①劳动生产率为1 000元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高80元 ③劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高130元 ④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 ②2.下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为 . 答案 52，743.在一次对性别与说谎是否有关的调查中，得到如下数据：根据表中数据，得到如下结论中不正确的是 . ①在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 ②在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 ③在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 ④在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 答案 ①②③ 答案 5%4.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天的结果如下表所示：进行统计分析时的统计假设是: . 答案 小白鼠的死亡与剂量无关 二、解答题5.在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其二维条形图如图： （1）写出2×2列联表； （2）判断晕机与性别是否有关？ 解 （1）（2）2χ=80309020)10702010(1102⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈6.366＞5.024，故有97.5%的把握认为“晕机与性别有关”.6.在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：根据列联表作出相应的二维条形图：从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例为48038，要比女人中患色盲的比例5206大.其差值为520648038-≈0.068，差值较大.因而，我们可以认为“患色盲与性别是有关的”. 根据列联表所给的数据可以有a =38,b =442,c =6,d =514,a +b =480,c +d =520, a +c =44,b +d =956,n =1 000, 由2χ=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-=95644520480)442651438(00012⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈27.1.由27.1＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为患色盲与性别有关系，这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效.7.（16分）从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ） 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 1644 27 44 16 40 40 16 40问：（1）哪种玉米的苗长得高？ （2）哪种玉米的苗长得齐？ 解 （1）x 甲=101（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=101×300=30 （cm ）,x乙=101（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=101×310=31(cm).∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米的苗长得高.（2）2甲s =101［（25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2］=101 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)=101×1 042=104.2 (cm 2),2乙s =101［（27-31)2×2+（16-31)2×3+（44-31)2×2+（40-31)2×3］=101×1 288=128.8 (cm 2).∴2甲s ＜2乙s .即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐.。
统计案例高中数学
高中数学统计案例示例如下:
假设你是一名学生,想要了解不同科目在学校的成绩分布。
你使用班级的成绩表来计算每个科目的平均分数,并将结果展示在学校官方网站上。
计算平均分数的过程如下:
1. 整理成绩表,将每个科目的成绩按列排序。
2. 计算每个科目的平均分数。
- 如果有一个科目有多个学生成绩,需要选取取平均值。
- 如果只有一个科目,则可以直接计算所有学生成绩的和再除以人数。
例如,如果成绩表如下所示:
| 科目 | 成绩 |
|------|----------|
| 数学 | 90 |
| 英语 | 85 |
| 物理 | 80 |
| 化学 | 75 |
| 历史 | 80 |
那么平均分数为(90 + 85 + 80 + 75 + 80) / 5 = 175/5 = 34.33(保留两位小数)。
将平均分数和学校官方网站上的成绩进行比较,以确保成绩分布
符合预期。
该学生在学校官方网站上发布了数学、英语和历史的平均分数分别为34.33、34.33和33.67。
这意味着在这个班级中,数学、英语和历史的平均分数相对较高,而物理、化学和历史的平均分数相对较低。
高中数学统计案例数学统计是数学中的一个重要分支，它研究的是收集、分析和解释数据的方法。
统计学在现代社会中有着广泛的应用，无论是在科学研究、经济分析还是社会调查中，统计学都发挥着重要作用。
在高中数学教学中，统计学也是一个重要的内容，通过统计案例的学习，学生可以更好地理解和应用统计学的知识。
首先，我们来看一个关于学生身高的统计案例。
某高中有1000名学生，他们的身高分布如下，150-160cm的学生有200人，160-170cm的学生有400人，170-180cm的学生有300人，180-190cm的学生有100人。
现在我们要对这些数据进行统计分析。
首先，我们可以计算出这1000名学生的平均身高，即（150200 + 155200 + 165400 + 175300 + 185100）/1000 = 167cm。
通过这个案例，学生可以学习到如何计算平均值，并且了解到平均值的意义和应用。
其次，我们来看一个关于学生学习时间的统计案例。
某班级的学生在一周内的学习时间分布如下，0-5小时的学生有50人，5-10小时的学生有150人，10-15小时的学生有200人，15-20小时的学生有100人。
现在我们要对这些数据进行统计分析。
首先，我们可以计算出这个班级学生的平均学习时间，即（2.550 + 7.5150 + 12.5200 + 17.5100）/500 = 11小时。
通过这个案例，学生可以学习到如何计算平均值，并且了解到平均值的意义和应用。
最后，我们来看一个关于学生成绩的统计案例。
某班级的学生成绩分布如下，90-100分的学生有50人，80-90分的学生有150人，70-80分的学生有200人，60-70分的学生有100人。
现在我们要对这些数据进行统计分析。
首先，我们可以计算出这个班级学生的平均成绩，即（9550 + 85150 + 75200 + 65100）/500 = 78分。
通过这个案例，学生可以学习到如何计算平均值，并且了解到平均值的意义和应用。
专题十五 ⎪⎪⎪统计、统计案例[题组全练]1．(2018·石家庄模拟)某校高一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为() A．80B．120C．160 D．240解析：选A因为男生和女生的比例为560∶420＝4∶3，样本容量为140，所以应该抽取男生的人数为140×44＋3＝80，故选A.2．(2018·南宁模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．100,20 B．200,20C．200,10 D．100,10解析：选B由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选 B.3．从30个个体(编号为00～29)中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()926446072021392077663817325616405858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 78142889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 38155131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 27029055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488A．76,63,17,00B．16,00,02,30C．17,00,02,25 D．17,00,02,07解析：选D在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17,00,02,07.4．(2019届高三.南昌调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2， (63)依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．解析：由题知分组间隔为648＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.答案：455．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为________．解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C 的共有12人．答案：12[系统方法]解决抽样问题应关注的两点(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值．(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n 个个体，样本就需要分成n 个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.[题组全练]1．(2019届高三·贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．15B ．18C ．20D ．25解析：选A 根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( ) A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A 设新农村建设前，农村的经济收入为a ，则新农村建设后，农村经济收入为2a .新农村建设前后，各项收入的对比如下表：故选A.3．(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．95,94B ．92,86C ．99,86D ．95,91解析：选B 由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.4.(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为________．解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x )分，91分，87分，则93＋90＋90＋x ＋91＋875＝91，解得x ＝4，所以这5个数的方差s 2＝15[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6. 答案：6[系统方法]1．频率分布直方图的应用(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． 2．数字特征及其特点平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义．平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.[多维例析]角度一 线性回归分析[例1] (2018·陕西质检)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司2018年6月～11月六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y 与月份代码x 之间的关系；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的市场占有率． 参考数据：∑i ＝16(x i －x )2＝17.5，∑i ＝16(x i －x )(y i －y )＝35， 1 330≈36.5.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2；回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .[解] (1)作出散点图如下．∵y ＝11＋13＋16＋15＋20＋216＝16，∴∑i ＝16(y i －y )2＝76，∴r ＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2∑i ＝16(y i －y )2＝3517.5×76＝351 330≈3536.5≈0.96. ∴两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．(2)由参考数据及(1)知b ^＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2＝3517.5＝2， x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，∴a ^＝y －b ^x ＝16－2×3.5＝9， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2x ＋9.2019年3月的月份代码为x ＝10，∴y ^＝2×10＋9＝29， ∴估计该公司2019年3月份的市场占有率为29%. [类题通法]1．求线性回归方程的步骤(1)计算x ，y ； (2)计算∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；(3)计算b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2；a ^＝y －b ^x ；(4)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.[注意] 样本点的中心(x ，y )必在回归直线上． 2．相关系数r(1)当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．(2)r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．角度二 非线性回归分析[例2] 某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝18∑i ＝18u i .(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)．(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，ν1)，(ω2，ν2)，…，(ωn ，νn )，其回归直线ν^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(ωi －ω)(νi －ν)∑i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝ν－β^ω.[解] (1)由散点图判断，y ＝c ＋dx 更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18(u i －u )(y i －y )∑i ＝18(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x .(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， ∴x ≥10，∴至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元． [类题通法]解决非线性回归问题的关键是适当换元，将非线性回归分析转化为线性回归分析问题求解．[综合训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 2．某市春节期间7家超市的广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)数据如下：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为y ^＝－0.17x 2＋5x ＋20，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.92和0.75，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为3万元时的销售额．参数数据及公式：x ＝8，y ＝42，∑i ＝17x i y i ＝2 794，∑i ＝17x 2i ＝708，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解：(1)∵b ^＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2＝2 794－7×8×42708－7×82＝1.7，∴a ^＝y －b ^x ＝42－1.7×8＝28.4. ∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝1.7x ＋28.4. (2)∵0.75<0.92，∴二次函数回归模型更合适．当x ＝3万元时，y ^＝－0.17×9＋5×3＋20＝33.47， ∴预测A 超市销售额为33.47万元.[由题知法][典例] (2018·郑州质量预测)2018年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质情况，现抽取了某校1 000名(男生800名，女生200名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生的测试成绩进行分析，得到如下统计表：男生测试情况：(1)现从抽取的100名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出2名学生，求选出的这2名学生恰好是一男一女的概率；(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其他等级(含病残免试)的学生为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关？”临界值表：附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)按分层抽样的方法男生应抽取80名，女生应抽取20名，∴x＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y＝20－(2＋3＋10＋2)＝3.抽取的100名且测试等级为“优秀”的3名男生分别记为A，B，C,2名女生分别记为a，b.从5名学生中任选2名，总的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10个．设“选出的2名学生恰好是一男一女”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6个，∴P(A)＝610＝35.(2)2×2列联表如下：则K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(50×15－30×5)280×20×55×45≈9.091.∵9.091＞6.635且P(K2≥6.635)＝0.010，∴能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．[类题通法]独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．[应用通关]2018年2月22日上午，山东省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表如下所示．设备改造后样本的频数分布表：(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；(2)根据上述数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； (3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，求生产1 000件产品企业大约能获利多少元？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d.解：(1)根据题中图和表得到2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式得 K 2＝400×(172×8－28×192)2200×200×364×36≈12.210.∵12.210>6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关． (2)由2×2列联表可知， 设备改造后产品的合格率约为192200＝0.96， 设备改造前产品的合格率约为172200＝0.86， 即设备改造后产品的合格率更高，因此，设备改造后性能更好．(3)用频率估计概率，1 000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，则180×960－100×40＝168 800，∴该企业大约能获利168 800元．[专题跟踪检测](对应配套卷P200)1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3B．4C．5 D．6解析：选B由系统抽样可知，35人分为7组，每组5人，最后一组成绩均大于151，前两组成绩均小于139，故成绩在区间[139,151]上的运动员人数为4.2．“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为()A.23C．02 D．17解析：选C从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.3．(2018·昆明调研)下图是1951～2016年我国年平均气温变化图．根据上图，判断下列结论正确的是()A．1951年以来，我国年平均气温逐年增高B ．1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高C ．2000年以来，我国年平均气温都高于1981～2010年的平均值D ．2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值解析：选D 由1951～2016年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以选项A 不正确；2016年的年平均气温不是最高的，所以选项B 不正确；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C 不正确；2000年以来，只有2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，故选项D 正确，故选D.4．(2018·惠州模拟)某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )A ．46件B ．40件C ．38件D ．58件解析：选A 由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x ，y )，且b ^＝－2，代入得a ^＝58，则回归方程y ^＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，y ＝46，故选A.5．(2018·郑州质量预测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为( )A.49 B ．2 C.94D ．9解析：选C 由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝14⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＋b a ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94，选C.6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140解析：选D 由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140.7.空气质量指数(Air Q uality Index ，简称A Q I)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照A Q I 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的A Q I 记录数据中，随机抽取10个，其茎叶图记录如图所示．根据该统计数据，估计此地该年A Q I 大于100的天数约为__________．(该年为365天)解析：该样本中A Q I 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年A Q I 大于100的概率为25，估计此地该年A Q I 大于100的天数约为365×25＝146.答案：1468．某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟，如图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是________分钟．解析：由题图得平均运动时间约为35×0.1＋45×0.1＋55×0.5＋65×0.2＋75×0.05＋85×0.05＝56.5(分钟)．答案：56.59.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩(单位：环)，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：由题意知87＋89＋90＋91＋935＝90，则88＋89＋90＋91＋90＋x5＝90，解得x ＝2，所以s 2甲＝15×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2， 所以s 2甲>s 2乙，所以成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为2.答案：210．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区共投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．(1)根据频率分布直方图，计算图中各小矩形的宽度；(2)试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：由表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求出y 关于x 的回归直线方程．附：b ^＝∑i =1nx i y i －n x y ∑i =1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解：(1)设各小矩形的宽度为m ，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)·m ＝1，解得m ＝2，故图中各小矩形的宽度为2.(2)由(1)知各分组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，它们的中点的横坐标分别为1,3,5,7,9,11，各组对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计销售收益的平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.(3)由(2)可知空白栏中填5， 由题意可知，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝2＋3＋2＋5＋75＝3.8，∑i =15x i y i ＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，∑i =15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以b ^＝69－5×3×3.855－5×32＝1.2，a ^＝3.8－1.2×3＝0.2，故所求的回归直线方程为y ^＝1.2x ＋0.2.11．(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)(2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)因为K 2＝40(15×15－5×5)220×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．12．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：(1)请用相关系数r 说明y 与x 之间存在线性相关关系(当|r |>0.75时，说明y 与x 之间具有线性相关关系)；(2)根据(1)的判断结果，建立y 关于x 的回归直线方程并预测当x ＝9时，对应的y ^值为多少(b ^精确到0.01)．附：回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，相关系数r 的公式为r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.参考数据：∑i ＝16x i y i ＝47.64，∑i ＝16x 2i ＝139，∑i ＝16(x i －x )(y i －y )＝－6.36，∑i ＝16(x i －x )2≈4.18,∑i ＝16(y i －y )2≈1.53.解：(1)由题意，得x ＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，y ＝16×(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又∑i ＝16(x i －x )(y i －y )＝－6.36,∑i ＝16(x i －x )2≈4.18，∑i ＝16(y i －y )2≈1.53，所以r ＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2∑i ＝16(y i －y )2≈－6.364.18×1.53≈－0.99. 因为|r |>0.75，所以y 与x 之间存在线性相关关系．(2)因为b ^＝∑i ＝16x i y i －6x y ∑i ＝16x 2i －6x2＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52≈－0.363≈－0.36，a ^＝y －b ^x ＝2＋0.363×4.5≈3.63，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－0.36x ＋3.63. 将x ＝9代入回归方程得y ^＝－0.36×9＋3.63＝0.39.13．(2019届高三·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(若|r |>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．附：相关系数公式：r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2∑i ＝15(y i －y )2＝625×2＝0.9≈0.95.因为|r |>0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． (2)由条件可得在过去50周里，当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)． 当30<X <50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．所以过去50周的周总利润的平均值为1 000×10＋5 000×35＋9 000×550＝4 600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元．。
