2021届高三新题数学9月(适用新高考)专题二十 统计与统计案例(原卷版)

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月学情调研考试试题〔含解析〕 参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 为为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积公式：343V R π=，其中R 为球体的半径. 一、填空题：(请将答案写在答题卡相应位置．)()f x =的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 考点：函数定义域z 满足(2)1z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+，z =.3.某算法的流程图如下列图，那么物出的n 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值.【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.【点睛】此题考察程序框图循环构造中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：〔1〕逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；〔2〕根据循环构造中的特殊形式简化运算.4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是：[40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是_______【解析】【分析】根据频率和为1来计算x 的值.【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =.【点睛】此题考察频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率.【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，那么概率62=93P =. 【点睛】此题考察古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数. cm ，高为4cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗〕，那么该钢球的半径为_______cm【答案】3【解析】【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=.xoy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为______．【解析】【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值.【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，那么3c e a ===. 【点睛】此题考察双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候假设涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题.()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，那么当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］【解析】【分析】 先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】因为2||T ππω==，所以2ω=，那么()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈，所以5(2)[,]666x πππ-∈-， 那么max ()2sin 22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.【点睛】此题考察三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.α满足tan 〔α＋4π〕＝3tanα＋1，那么tan 2α的值是_____．【答案】34【解析】【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，那么1tan 3α=或者tan 0α=〔舍，α为锐角〕，那么22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-. ()1||x f x x =+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】〔1，＋∞〕【解析】【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集.【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||x f x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数； 又因为0x>时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，那么有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性〔注意定义域〕和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.11.等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有nk S S ≤恒成立，那么k 的值是_______．【答案】20【解析】【分析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值.【详解】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =；那么5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，那么20n =时，n S 有最大值，即20k =.【点睛】〔1〕等差数列性质：假设2m n p q c +=+=，那么2m n p q c a a a a a +=+=； 〔2〕等差数列{}n a 中，假设10,0a d ><，那么n S 有最大值；假设10,0a d <>，那么n S 有最小值. △ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，那么CP CA 的值是______． 【答案】6【解析】【分析】 现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CPCA 化简到可利用||||CA CB 、直接进展计算即可. 【详解】如下列图，1()2CP CA CB =+，那么22211()||||4344CP CA CB CB CB =+=-+=，所以||2CB =；又2111()||8(2)6222CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用量直接进展计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.xoy 中，圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为________．【答案】［－2，2］【解析】【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可.【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，那么5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比方针对一些“存在〞“恒成立〞问题，一般只需要根据条件找到临界条件即可进展计算求解.32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.假设函数[]()y g f x a =-有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为______．【答案】〔34，2〕 【解析】【分析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围.【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，那么()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-；当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点. 【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.二、解答题。

专题二十统计、统计案例本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·陕西榆林二中模拟)某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()A．①系统抽样，②分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样答案 C解析由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.2．(2019·湖南六校联考)对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析甲同学的成绩折线图有较好的对称性，最高130分，平均成绩低于130分，①错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内，②正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，具有正相关，③正确；乙同学在连续九次测验中第四次，第七次成绩较上一次有退步，故④不正确，故选C.3．(2019·贵阳监测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18 C．20 D．25答案 A解析根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4．(2019·成都市高三第二次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C.5．(2019·上海市复旦附中模拟)一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是()A．5800 B．6000 C．6200 D．6400答案 D解析∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，∴当另外两名员工的工资都不超过5300时，中位数为5300＋55002＝5400，当另外两名员工的工资都不小于6500时，中位数为6100＋65002＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.故选D.6．(2019·河南省名校联考)如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．腾讯与百度的访问量所占比例之和B．网易与搜狗的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和答案 B解析由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%，故选B.7．(2019·济南模拟)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍答案 C解析2018年食品消费占0.2,2014年食品消费占0.4，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A错误.2018年教育医疗消费占0.2,2014年教育医疗消费占0.2，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年教育医疗消费额是2014年的两倍，故B错误.2018年休闲旅游消费占0.25,2014年休闲旅游消费占0.1，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年休闲旅游的消费额是2014年的五倍，故C正确.2018年生活用品消费占0.3,2014年生活用品消费占0.15，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年生活用品消费额是2014年的四倍，故D错误．故选C.8．(2019·日照二模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案 D解析由题图易知互联网行业从业人员90后占56%，A正确；仅90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176超过20%，B正确；90后从事运营岗位的人数占总人数比为0.56×0.17＝0.0952>0.03，C正确；90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176<0.41，而题中未给出80后从事互联网行业岗位分布情况，故D不一定正确．9．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.10．(2019·新疆高三一模)在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：“该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地总体均值为3，中位数为4B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0C ．丙地中位数为3，众数为3D ．丁地总体均值为2，总体方差为3答案 D解析 由于平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，A 不正确；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，B 不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，C 不正确；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，D 正确．故选D.11．(2019·沈阳市东北育才学校高三一模)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲、x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A.x －甲<x －乙，σ甲<σ乙B.x －甲<x －乙，σ甲>σ乙C.x －甲>x －乙，σ甲<σ乙D.x －甲>x －乙，σ甲>σ乙答案 C解析 甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，由折线图得x －甲>x －乙，σ甲<σ乙．故选C.12．(2019·南阳市一中第九次目标考试)为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是()A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果答案 B解析由题图可得服用药物A的患病人数少于服用药物B的患病人数，而服用药物A的未患病人数多于服用药物B的未患病人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·江苏省海安高级中学月考)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．答案80解析由频率分布直方图得，时速在区间[40,60)内的汽车的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∴时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．14．(2019·湖北名校4月模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．答案32解析样本间隔为23－14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为23＋9＝32.15．(2019·兰州二模)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取________人．答案15解析40～50岁年龄段应抽取50×30%＝15人．16．(2019·北京模拟)如图是某地区2002年至2018年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.利用这两个模型，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值分别为________，________；并且可以判断利用模型________得到的预测值更可靠．答案226.1(亿元)256.5(亿元)②^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)，解析①y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)；②y当年份为2018时，对于模型①：t＝17，y^＝－30.4＋13.5×17＝199.1(亿元)，对于模型②：t＝7，y^＝99＋17.5×7＝221.5(亿元)，所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择模型②得到的预测值更可靠．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·徐州联考)某人在甲、乙两社区各经营一个小商品店，他记录了连续25天的营业额(单位：拾元)，结果用茎叶图表示如下图．(1)根据茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论；(2)若从两店营业额超过3300元的天中随机抽取4天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X，求X的均值．解(1)由茎叶图可以得到如下结论：①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数．②甲店营业额较乙店营业额更分散．(或：乙店营业额较甲店营业额更集中(稳定)．甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大)③甲店营业额的中位数为3070元，乙店营业额的中位数为3180元．④乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲店营业额除一个特殊值(3520)外，也大致对称，其分布较均匀．(2)由茎叶图可知，两店营业额超过3300元的共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天．由题意得X可能的取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 36C 14C 410＝821， P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 16C 34C 410＝435， P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210. 于是，X 的概率分布列如下：X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210故X 的均值E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝5635.18．(本小题满分12分)(2019·广西联考)某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y (单位：万件)之间的关系如表：x1 2 3 4 y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据(1)中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数加以说明；(3)建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？参考数据： ∑4i ＝1 (y i －y －)2≈32.7，5≈2.24，∑4i ＝1x i y i ＝418. 参考公式：相关系数r ＝∑n i ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑n i ＝1 (x i －x －)2∑n i ＝1 (y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b^x －.解 (1)作出的散点图如图：(2)由(1)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得，x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418,∑4i ＝1(y i －y －)2≈32.7，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －＝418－4×52×692＝73，∑4i ＝1(x i －x －)2＝∑4i ＝1x 2i －4x －2＝30－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5≈2.24，∴r ＝∑4i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑4i ＝1(x i －x －)2∑4i ＝1(y i －y －)2≈732.24×32.7≈0.9966.∵y 与x 的相关系数近似为0.9966，说明y 与x 的线性相关程度相当强， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(3)由(2)知x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418，∑4i ＝1x 2i ＝30，∴b^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y－∑4i ＝1x 2i －4x－2＝735，a ^＝y －－b ^x －＝692－735×52＝－2.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝735x －2， 当x ＝5时，y ^＝735×5－2＝71， ∴预测第5年的销售量约为71万件．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15， 故a ＝0.35，b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.20．(本小题满分12分)(2019·晋江模拟)中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道．某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查．现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计(1)0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行座谈．设抽到的消费者中40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)临界值表：P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828解0.3)＝120人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下 75 45 120 40岁或40岁以上25 55 80 总计1001002002K 2＝200×(75×55－25×45)2120×80×100×100＝754＝18.75>10.828.故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关．(2)从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者中抽取5名进行座谈，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X ，则X 的可能取值为3,4,5且P (X ＝3)＝C 22C 36C 58＝2056＝514，P (X ＝4)＝C 12C 46C 58＝3056＝1528，P (X ＝5)＝C 02C 56C 58＝656＝328，则X 的分布列为X 3 4 5 P5141528328E (X )＝3×514＋4×1528＋5×328＝154＝3.75. 故X 的数学期望为3.75.21．(本小题满分12分)(2019·昆明模拟)某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位：万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位：个)关于x 的回归方程z ^＝－2x ＋30.(2)试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县养殖山羊的数量与第1年相比减少了？参考统计量：∑9i ＝1(x i －x －)2＝60，∑9i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝12.附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u －)(v i －v －)∑ni ＝1(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －.解 (1)设y 关于x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋99＝5，y －＝1.2＋1.5＋1.6＋1.6＋1.8＋2.5＋2.5＋2.6＋2.79＝2，b^＝∑9i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑9i ＝1 (x i －x －)2＝1260＝0.2，a^＝2－0.2×5＝1. 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.2x ＋1.(2)估计第x 年山羊养殖的只数为z ^·y ^＝(0.2x ＋1)·(－2x ＋30)＝－0.4x 2＋4x ＋30. 令x ＝1，则－0.4＋4＋30＝33.6， 故该县第一年养殖山羊约33.6万只． 由题意，得－0.4x 2＋4x ＋30<33.6，整理得 (x －9)(x －1)>0，解得x >9或x <1(舍去)，所以到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了．22．(本小题满分12分)(2019·北京东城一模)改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增长率(%)．(1)从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；(2)从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)解(1)设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故P(A)＝410＝25.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且2007年至2016年10年中有6年年增长率没超过20%，所以P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.所以X的分布列为X 0123P 1612310130故X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

卜人入州八九几市潮王学校、2021届高三数学上学期9月教学质量统测试题文〔含解析〕本卷须知：2.全部答案在答题卡上完成，答在本套试题卷上无效；3.在在考试完毕之后以后，将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求。

{}2|230A x x x =+-=，{3,1,1,3}B =--，那么A B =A.{1,3}- B.{1,3}--C.{1,3}-D.{1,3}【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合A ，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|2303,1=+-==-A x x x ，{3,1,1,3}B =--，所以{1,3}=-A B .应选A【点睛】此题主要考察集合的交集运算，熟记概念即可，属于根底题型. 2.11ii+=- A.-1 B.i -C.1D.i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，可直接得出结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+. 应选D【点睛】此题主要考察复数的除法运算，熟记除法运算法那么即可，属于根底题型.{}n a 中，13463,38a a a a +=+=，那么其公比为 A.12-B.12C.2D.4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为在等比数列{}n a 中，13463,38a a a a +=+=， 所以346138+==+a a q a a ，解得2q.应选C【点睛】此题主要考察等比数列的根本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于根底题型.4.1sin 3α=〔α为第二象限角〕，那么cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.46- B.26 C.46+ D.46【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出22cos 3α=-，再由两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为α为第二象限角，1sin 3α=，所以22cos 3α=-，因此2221224cos cos cos sin sin 44423326πππααα-⎛⎫-=+=-⨯+⨯=⎪⎝⎭. 应选D【点睛】此题主要考察三角恒等变换，给值求值的问题，熟记两角差的余弦公式即可，属于常考题型.1111ABCD A B C D -中，以下几种说法正确的选项是〔〕A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45︒角D.11A C 与1B C 成60︒角【答案】D 【解析】 试题分析：直线11A C 与1B C 是异面直线，而1B C ∥，所以即为11A C 与1B C 所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．应选D ．同时可以判断其它选项是错误的．考点：异面直线所成的角及其是否垂直的问题．ˆybx a =+，那么 x3 4 5 6 y43A.0,0a b >>B.0,0ab ><C.0,0a b <<D.0,0a b <> 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果. 【详解】由表中数据可得，随着x 的增大，y 越来越小，所以0b <；又3x =时， 4.5y =，所以当0x =时，必有ˆ 4.50=>>ya . 应选B【点睛】此题主要考察回归直线的函数特征，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型. 7.执行如下列图的程序框图，当15p =时，那么输出的n 值是A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下： 输入：15p =，初始值：1,0n S ==，第一步：015=<S ，进入循环体，0021S =+=，112n =+=； 第二步：115=<S ，进入循环体，1123S =+=，213n =+=； 第三步：315=<S ，进入循环体，2327S =+=，314n =+=； 第四步：715=<S，进入循环体，37215S =+=，415n =+=；第五步：1515==S ，完毕循环，输出5n =；应选C【点睛】此题主要考察循环程序框图输出的结果，逐步执行框图，即可得出结果.3()x xe ef x x --=的局部图象大致是A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先由奇偶性的定义，判断3()x xe ef x x --=为偶函数，排除CD ，再由特殊值验证，即可得出结果.【详解】因为3()x xe ef x x --=，所以33()()-----===-x x x xe e e ef x f x x x， 所以3()x xe ef x x --=为偶函数，排除CD ；又222232(28)----==e e e ef ，666366216(6)----==e e e e f ，所以6442642(6)531 2.7121627278121(2)27---+-+==>>=>-++e e f e e e e f所以(6)(2)>f f ，排除B应选A【点睛】此题主要考察函数图像的识别，熟记函数奇偶性，以及特殊值的方法判断即可，属于常考题型.()sin 22f x x x =+的图像向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，那么()g x 的单调递减区间是A.3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.2,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先将()f x 化为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到()2sin 2=-g x x ，再由正弦函数的增区间，即可得出结果.【详解】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图像向左平移3π个单位长度，得到()2sin 22sin 233ππ⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x ，由222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，得,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()g x 的单调递减区间是,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦应选B【点睛】此题主要考察三角函数的单调区间，熟记三角函数的平移原那么，以及正弦函数的单调性即可，属于常考题型.ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，那么BF =〔〕A.1324AD AB - B.3142AB AD - C.4132AB AD - D.1324AB AD + 【答案】A 【解析】 【分析】 先由F 为AE 的中点，得到1122=+BF BA BE ，再由E 为CD 的中点，结合平面向量根本定理，即可得出结果. 【详解】因为F 为AE 的中点，所以1111122222=+=-++BFBA BE AB BC CE ， 又在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以1111111322222424=-++=-+-=-BF AB BC CE AB AD AB AD AB .应选A【点睛】此题主要考察用基底表示向量，熟记平面向量的根本定理即可，属于常考题型.33(0)()log (0)x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，假设()0f x a -=有三个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是A.01a <<B.01a <≤C.01a ≤<D.01a ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤. 应选B【点睛】此题主要考察根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线的左右焦点，I 为12PF F ∆的内心，假设12123∆∆∆=+IPF IF F IPF S S S ，那么双曲线的离心率为A.6D.3【答案】B 【解析】 【分析】先设圆I 与12PF F ∆的三边12F F ，1PF ，2PF 相切于点E ，F ，G ，连接IE ，IF ，IG ，用内切圆半径表示出12IF F ∆，1∆IPF ，2∆IPF的面积，再由12123∆∆∆=+IPF IF F IPF S S S ，结合双曲线的定义，即可得出结果.【详解】如图，设圆I 与12PF F ∆的三边12F F ，1PF ，2PF 相切于点E ，F ，G ，连接IE ，IF ，IG ，那么12⊥IE F F ，1⊥IF PF ，2⊥IG PF ，它们分别是12IF F ∆，1∆IPF ，2∆IPF 的高，所以1111122∆=⋅=⋅IPFS PF IF PF r ，2221122∆=⋅=⋅IPF S PF IG PF r ，1212121122∆=⋅=⋅F IF S F F IE F F r ，其中r 为12PF F ∆的内切圆半径；因为12123∆∆∆=+IPF IF F IPF SS S ，所以11221122⋅=⋅+⋅PF r F r PF r ，所以1212-=PF PF F ，由双曲线的定义可得：23=a，因此双曲线的离心率为==ce a. 应选B【点睛】此题主要考察求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

四校联考2021届高三数学9月阶段性考试试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.假设“01x <<〞是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦〞的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. []1,0- B. ()1,0-C. (][),01,-∞⋃+∞ D. (][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以A ÜB ，所以0,{21a a ≤+≥，解得10a -≤≤.应选A.考点：充分条件、必要条件、充要条件.【方法点睛】集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：{}|()A x p x =成立，q ：{}|()B x q x =成立，那么：①假设A B ⊆，那么p 是q 的充分条件；假设A ÜB 时，那么p 是q 的充分不必要条件；②假设B A ⊆，那么p 是q 的必要条件；假设B ÜA 时，那么p 是q 的必要不充分条件；③假设A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，那么p 是q 的充要条件.此题考察充分条件、必要条件、充要条件的判断，其中分别求出满足A ÜB 的a 的取值范围是解答此题的关键.属于根底题.x ，y 满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩那么2x ＋y 的最大值是A. 11B. 23C. 26D. 30【答案】D 【解析】【详解】满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,可行域如下图，设2z x y =+,即2y x z =-+，平移直线，由图象可知当直线经过点D 时， 直线2y x z =-+的截距最大，此时最大，由02100x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得1010x y =⎧⎨=⎩，即(10,10)D ，代入得230z x y =+=，所以最大值为30，应选D.点评：此题考察的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答线性规划小题最常用的方法，一定要纯熟掌握．3.以下命题中错误的选项是〔 〕A. 假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B. 假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC. 假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 假如平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的断定定理，与面面垂直的性质定理判断即可。

2021届百万联考高三9月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥-【答案】C【解析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数1iz i=+，则=z （ ） A ．1122i + B ．1122i -C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z . 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i ⋅-+====+++⋅-，则1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数，考查运算求解能力.3．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A．1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B．2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C．2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D．2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项.【详解】1月29日景区A累计参观人次中特色景点a的占比为1717152513<=，故A错误；2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了980060003800-=人次，故B 错误；2月6日至2月8日特色景点a累计参观人次的增长率为0.880.7470.7437-=，2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率为1.88 1.67211.67167-=，因为7212137111167=>，所以C错误；2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率为2.09 1.88211.88188-=，因为2121188167<，所以D正确.故选：D.【点睛】本题考查统计图表及其应用，考查学生的数据处理能力和计算能力，本题属于基础题.4．“23sin sin cos 20ααα--=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为23sin sin cos 20ααα--=，所以22sin sin cos 2cos 0αααα--=，即()()sin 2cos sin cos 0αααα-+=，sin 2cos 0αα-=或sin cos 0αα+=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，所以tan 2α=或tan 1α=-，故“23sin sin cos 20ααα--=是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换与必要不充分条件，考查推理论证能力和运算求解能力，本题属于基础题. 5．函数()22sin 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断出()f x 为偶函数，然后结合06x π<<时，()f x 为负数，确定正确选项. 【详解】因为()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当06x π<<时，()0f x <，排除B.故选：A 【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE =（ ）A ．3142AD AF + B ．1122AD AF + C ．1324AD AF +D ．12AD AF +【答案】A【解析】根据平面向量的加法法则运算可得解. 【详解】由题意可得12AE AD DE AD AB =+=+，12AB AF FB AF AD =+=-， 则3142AE AD AF =+. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，延长AF ，交双曲线C 于点M ，若2MF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．73CD ．3【答案】B【解析】设AF m =，结合已知条件和双曲线的定义求得MF ，AF '，MF '，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线C 的左焦点为F '，连接AF '，BF '.设AF m =，则2MF m =，2AF a m '=+，22MF a m '=+.由双曲线的对称性可知四边形AFBF '是平行四边形，且60F AF '∠=︒，则2222222cos 2cos FF AF AF AF AF F AF MF AM AF AM AF F AM⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅''''''⋅∠''⎪⎩，即()()()()()()222222422223232c m a m m a ma m m a m m a m⎧=++-+⎪⎨+=++-+⎪⎩，解得310710a mc m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故73cea==. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.二、多选题9．下列不等式不一定成立的是（）A．若a b>，则22a b>B．若0a b>>，则b b ma a m+<+C．若4ab=，则4a b+≥D．若22ac bc>，则a b>【答案】ABC【解析】利用不等式的性质，用排除法逐项排除.【详解】对于A，当1a=-，2b=-时，22a b<，故A不一定成立；对于B，()()()()()b a m a b m b a mb b ma a m a a m a a m+-+-+-==+++，因为0a b>>，所以0b a-<，当0a m+>，0m<时，()()0b a ma a m->+，即b b ma a m+>+，故B不一定成立；对于C ，当0a <，0b <时，4a b +≤-，故C 不一定成立； 对于D ，因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故D 一定成立. 故选：ABC. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理论证能力.10．已知,M N 是函数())2cos 04f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个不同的交点，若MN 的最小值是4π，则（ ） A ．2ω=B ．()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在[]0,3π上有6个零点 【答案】AC【解析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由三角函数的图象与性质，可得min 1||4MN T =，即1244ππω⨯=，解得2ω=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()222,4k x k k Z ππππ-≤+≤∈，解得()5,88k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当0k =时，588x ππ-≤≤-， 因为55,0,888πππ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调， 由()2,4x k k Z ππ+=∈，解得(),28k x k Z ππ=-∈， 即()f x 的对称轴方程是(),28k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，8x π=-，则()f x 的图象关于直线8x π=-对称，因为[0,3]x π∈，所以252,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =，即2cos(2)42x π+=，可得244x ππ+=，7915172325,,,,,444444ππππππ， 即37110,,,,2,,3444x ππππππ=，故()f x 在[]0,3π上有7个零点. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.11．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ） A ．PD ⊥平面ABCD B ．//PD 平面ACE C ．2PB AE = D ．PC AE ⊥【答案】BC【解析】对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，根据//OE PD 可得//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，根据侧面PAD ⊥平面ABCD ，可推得AB PA ⊥，从而可得2PB AE =，故C 正确.对于D ，通过计算可知，只有PD ⊥平面ABCD ，才能得到PC AE ⊥，故D 错误. 【详解】如图，对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.对于D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点，所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==，则1122EF PC ===AF ==.因为EF AE ⊥，所以AE ==PB =.因为2PD =，PB =，BD =222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，空间两点之间的距离，考查空间想象能力与推理论证能力.属于基础题.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列结论正确的是（ ）A ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =B ．直线:33l y x =-+在点()1,0P 处“切过曲线32:32C y x x =-+ C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:x C y xe =D ．直线33212:2l y x e e =-+在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处“切过”曲线ln : x C y x = 【答案】ABD【解析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论. 【详解】对于A ，由sin y x =，得cos y x '=，则01x y ='=从而可得曲线sin y x =在点()0,0P 处的切线为y x =. 当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，则曲线sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，故A 正确.对于B ，由3232y x x =-+，得236y x x '=-，则13x y ='=-，从而可得曲线3232y x x =-+在点()1,0P 处的切线为33y x =-+.因为()()33232331x x x x -+--+=-，故当1x <时，323233x x x -+<-+，当1x >时，323233x x x -+>-+， 则曲线3232y x x =-+在点()1,0P 附近位于直线l 的两侧，故B 正确.对于C ，由x y xe =，得()1xy x e '=+，则01x y ='=，从而可得曲线x y xe =在点()0,0P 的切线为y x =.因为()10xxy xe x x e =-=-≥，所以x xe x ≥，则曲线xy xe =在点()0,0P 附近位于直线l 的同侧，故C 错误.对于D ，由ln x y x =得21ln x y x -'=，则32312x e y e ==-'，从而可得曲线ln x y x=在点32323,2P e e ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭处的切线为332122y x e e =-+.令()33212ln 2x x F e ex x -+-=，则320F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()3211ln 2x e F x x ---'=， ()3211ln 2x e x g x ---=，故33223311ln =02e e e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭---且()232ln g x x x -'=， 当320x e <<时，()0g x '>；当32x e >时，()0g x '<，故()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，故在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x <，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x <故()0F x '<当且仅当32x e =时等号成立，故当320x e <<时，()0F x >，当32x e >时，()0F x <， 故当32x e<时，33212ln 2e e x x x -+>，当32x e >，33212ln 2e e x x x -+<，则曲线ln xy x =在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭附近位于直线l 的两侧，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.三、填空题13．若抛物线()2:20C y px p =>的焦点在直线:230l x y +-=上，则p =______.【答案】6【解析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数p 的值. 【详解】由题意可得抛物线C 的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则302p -=，解得6p.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．若()202022020012202012x a a x a x a x +=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1-【解析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】 令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】根据函数的奇偶性和对数函数的性质，得到函数()f x 在()0,∞+和(),0-∞上单调递增，且()25f =，()25f -=-，结合不等式()5f m ≥，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数基本性质的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，以及函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为144，点P 是正方形1111D C B A 的中心，点,,,,P A B C D 都在球O 的球面上，其中球心O 在长方体1111ABCD A B C D -的内部.已知球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为2R，则R =______.过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【答案】4 6π【解析】根据长方体1111ABCD A B C D -的体积可求得4R =，分析可知，当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出OE =r =用圆的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知正方形ABCD 的对角线长为=，则正方形ABCD ，故长方体1111ABCD A B C D -的体积为2314422R⎛⎫= ⎪ ⨯⎪⎝⎭，解得4R =.当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，此时OE ==则截面圆的半径r ==故截面圆的面积为26r ππ=. 故答案为：4；6π. 【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题五、解答题17．在①18a =-，27a =-，()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ；②若{}n a 为等差数列，且36a =-，72a =；③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211722n S n n n +=-∈N 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，______.记123n n T a a a a =++++，求20T .【答案】选择①，102；选择②，102；选择③，102.【解析】若选择①，由递推公式求出通项公式；若选择②，有等差数列的性质求通项公式；若选择③，由1n n n a S S -=-求出数列通项公式，再根据通项公式得出()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++由等差数列前n 项和的求法即可求解.【详解】 若选择①，因为11n n a ka +=+，所以211a ka =+，即817k -+=-，解得1k =， 则11n n a a +-=，从而数列{}n a 是首项为-8，公差为1的等差数列， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择②，因为36a =-，72a =-，所以126a d +=-，162a d +=-， 解得18a =-，1d =， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择③，因为211722n S n n =-，所以11117822a S ==-=-， 当2n ≥时，()()2211171191192222n S n n n n -=---=-+， 则()192n n n a S S n n -=-=-≥， 因为18a =也满足上式，所以9n a n =-. 由0n a ≥，得9n ≥故()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++()()8180111222--⨯+⨯=-+102=.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质，考查学生的运算求解能力，和逻辑思维能力.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 32BB =. （1）求角B ；（2）若D 是AC 的中点，且b =BD =ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）周长为10+【解析】（1）根据22cos32B B +=，化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解；（2）分别在ABD △和BCD 中，应用余弦定理，结合cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，求得2252a c +=，再在ABC 中，再结合余弦定理求得a c +的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为22cos 32BB =，可得cos 13B B +=. 所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以62B ππ+=，所以3B π=.（2）因为D 为AC 的中点，所以AD CD ==在ABD △中，因为AD =BD =2cosADB ∠=.在BCD 中，因为CD =BD =2cosBDC ∠=因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 即227197190c a +-++-=，即2252a c += ①在ABC 中，由余弦定理可得222b a c ac =+-，即24ac =②联立①②，解得10a c +==.故ABC 的周长为10a b c ++=+【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是等边三角形，PA PB =.（1）证明：AB PC ⊥.（2）若7PA PC =23AB =A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（237. 【解析】（1）要证明AB PC ⊥，只需证明AB ⊥平面PCD ，将证明线线垂直转化为证明线面垂直，即可求得答案；（2）以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面PBC 的法向量n 和平面PAC 的法向量m ，根据cos ,n m n m n m⋅=，即可求得答案.【详解】取AB 的中点D ，连接PD ，CD .PA PB =， ∴AB PD ⊥.底面ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∴AB CD ⊥PD CD D ⋂=，∴AB ⊥平面PCD .PC ⊂平面PCD ， ∴AB PC ⊥.（2）由（1）可知AB ⊥平面PCD ，则以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -.23AB =7AP =，∴3AD BD ==∴3CD =，732PD =-=.则4971cos 2232PDC ∠+-==⨯⨯，从而(3P ，()3,0,0A -，)3,0,0B，()0,3,0C ，故(0,2,3PC =-，)3,3,0AC =，()3,3,0BC =-.设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则1111230330n PC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,2n =--， 设平面PAC 的法向量为()222,,m x y z =，则2222230330m PC y z m BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令23x =，得()3,3,2m = 从而9341cos ,448n m n m n m⋅--===⨯.故二面角A PC B --的正弦值为378. 【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2P ⎫⎪⎪⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【解析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可； （2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =.故直线l 20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动､部门联运､全面发动､全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为,A B 两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为23，A 组学生抢到答题权的概率为12. （1）在答完三题后，求A 组得3分的概率；（2）设活动结束时总共答了X 道题，求X 的分布列及其数学期望()E X . 【答案】（1）127；（2）分布列答案见解析，数学期望509. 【解析】（1）算出A 组得1分的概率后可得答完3题后A 组得3分的概率.（2）X 的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求X 的分布列，再利用公式可求数学期望. 【详解】（1）由题意可知每道题A 组得1分的概率为121233⨯=， 故答完3题后，A 组得3分的概率311327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由A 组学生抢到答题权的概率为12，可知B 组学生抢到答题权的概率为11122-=， 则每道题的答题结果有以下三种： ①A 组得1分，B 组得0分，此时的概率为121233⨯=；②A 组得0分，B 组得1分，此时的概率为121233⨯=； ③A 组得0分，B 组得0分，此时的概率为1111333--=. 由题意可知X 的可能取值为3，4，5，6.()31232327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223111242C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()224231411111252C C 3333327P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()2227612727279P X ==---=， 则X 的分布列为故222750345627272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）. 22．已知函数()()21x f x e a x ex =---. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈.【答案】（1）减区间为(),1-∞，增区间为()1,+∞；（2）(],1-∞.【解析】（1）当0a =时，求得()xf x e e '=-，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f ≥可得1a ≤，可得出()()21xf x e x ex ≥---，构造函数()()21x g x e x ex =---，利用导数证明出()0g x ≥对一切0x ≥恒成立，由此可求得实数a 的取值范围.第 1 页 共 6 页 【详解】（1）当0a =时，()x f x e ex =-，则()xf x e e '=-. 令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >.故函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，调递增区间为()1,+∞；（2）因为当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，且()10f =，由()010f a =-≥，可得1a ≤.因为1a ≤，所以()()()2211x x f x e a x ex e x ex =---≥---，设()()21x g x e x ex =---，则()()21x g x e x e '=---. 设()()()21x h x g x e x e '==---，则()2xh x e '=-. 令()0h x '>，得ln 2x >；令()0h x '<，得0ln 2x <<.故函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，因为()()0030h g e '==->，()()ln 2ln 242ln 20h g e '==--<，()()110h g '==，所以存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=.当00x x <<或1x >时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<.则函数()y g x =在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010g g ==，所以()0g x ≥对一切的0x ≥恒成立.故a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

专题二十 统计与统计案例一、单选题1．（2021·河南高二月考（文））有下列四个命题：（ ） ①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，…2n x 的平均数为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·全国高二课时练习）若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题3．（2021·广东汕头市·高三一模）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A ”、“B ”、“C ”三个等级，,A B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如表所示：等级ABC频数 100 75 25（表二）合格品 次品 合计 甲 80 乙 5 合计在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，,A B 等级产品的出厂单价分别为m 元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A 等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A 等级产品的出产单价为多少元？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.8284．（2021·河南高二月考（文））某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计 学习积极性高 18725 学习积极性一般ab25 总计cd50如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225． （1）求a ，b ，c ，d 的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.8285．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表： 土地使用面积x （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间y （单位：月）911142620并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民 140 60 女性村民40（1）求相关系数r 的大小（精确到0.01），并判断管理时间y 与土地使用面积x 的线性相关程度；（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82848522.02≈．6．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：综合评价成绩（单位：分） [40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)频数 510151055赞成人数4812431（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成 不赞成 合计（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：P()20Kk ≥0.10 0.050.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.8797．（2021·全国高三月考（理））某购物网站统计了,A B 两款手机在2020年7月至11月的总销售量y （单位：百部），得到以下数据： 月份x 7 8 9 10 11 销售量y100120110120200（Ⅰ）已知销售量y 与月份x 满足线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆybx a =+，并预测12月的手机销售量； （Ⅱ）网站数据分析人员发现：,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关.请填写下面的22⨯列联表，并判断能否有超过99.5%的把握认为“,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A 款销售量90B 款销售量50合计90参考公式：()()()121niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.010 0.005 0.0010k6.6357.879 10.8288．（2021·湖北高三月考）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a x =+dy c x=+建立y 关于x 的回归方程，令s x =，1t x=得到如下数据： xyst10.15109.943.040.16113ni ii s y s y =-⋅∑ 13113i ii t yt y =-⋅∑1322113ik ss =-∑1322113ii tt =-∑1322113ii yy =-∑13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953． （1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数222211ni i nniii i u vnu vr unu vnv==-⋅=-⋅-∑∑∑．9．（2021·辽宁高三期末（文））2019年4月，中国电信公布了2019年的终端洞察报告，其中，国产手机品牌表现抢眼，统治地位不容置疑.在2018年6—11月上市的新机中，用户最满意机型与用户推荐机型的项目中国产手机优势明显，华为及荣耀手机分别占据不同价位段的榜单第一，OPPO ､vivo ､小米､魅族均有机型占据榜单.在用户满意机型调研项目中，曾经位于神坛地位的苹果手机也仅仅只有iPhoneXR 一款位列第三.最满意度机型TOP3 中国电信大于3500 2500-3499 1500-2499 1000-1499 1000元以下 第一名华为P30 ProvivoiQoo荣耀9X Vivo Z5x华为畅享9e第二名三星S10+荣耀20Pro红米K20ProOPPO A9红米7第三名iPhone XRVivo X27化为 麦芒8华为畅享9plus中兴BladeA7 （1）从上表中“华为(不含荣耀)”和“iPhoneXR ”的5个机型中任取2个，求这两个机型都是华为的概率；（2）测试数据源于消费者的反馈，从反馈信息中随机抽取500个“华为畅享9plus ”消费者，其中来自城市300个，来自农村200个，统计他们对“华为畅想9plus ”的满意情况如下：满意不满意城市 270 30 农村17030根据上表数据，问是否有95%的把握认为消费者是否满意与城市用户还是农村用户有关？(附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++；当2 3.841X >时，有95%的把握说事件A与B 有关；当2 6.635X >时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841X ≤时，认为事件A 与B 是无关的)10．（2021·全国高三其他模拟）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生的创业意识与就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：i t1 2 3 4 5i y2.4 2.7 4.1 6.4 7.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若0.75r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．（ⅰ）某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率（ⅱ）某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择方案一返回200元现金，还是选择方案二参加四次抽奖？说明理由．附：相关系数公式：()()()()()()1122221111nnii i ii i nnnniiiii i i i tt y y t yntyr tt yy tt yy ======---=----∑∑∑∑∑∑，参考数据：56.957.547≈，5185.2i i i t y ==∑，()52110i i t t =-=∑，()52122.78i i y y =-∑11．（2021·全国高三其他模拟）人均可支配收入是反映一个地区居民收入水平和城市经济发展水平的重要指标，并且对人均消费水平有重大影响，下图是根据国家统计局发布的《2020年上半年居民收入和消费支出情况》绘制的，是我国31个省（区、市）2020年上半年人均可支配收入x （单位：元）与人均消费支出y （单位：元）的散点图．（1）由散点图可以看出，可以用线性回归模型ˆˆybx a =+拟合人均消费支出y 与人均可支配收入x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；（3）根据（2）的结论，规定半年人均盈余（人均可支配收入-人均消费支出）不低于4620元的省（区、市）达到阶段小康的标准，则估计达到阶段小康标准的省（区、市）的半年人均可支配收入至少为多少元？ 参考数据：xy()3121=-∑ii xx()()311=--∑ii i xx y y()3121=-∑ii xx()3121=-∑ii yy15500 9632 1412000000 683900000 38000 18400参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 12．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度C x ︒时相对应产卵数个数为y 的8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点图：（1）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y bx a =+和z dx c =+（其中ln z y =）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数2R 更接近1；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用下表中数据，计算该模型的回归方程： （方程表示为()y f x =的形式，数据计算结果保留两位小数） xyz81i ii x y =∑81i i i x z =∑821ii x=∑26 72 3.3 11871 757 5722（3）据测算，若只此种昆虫的产卵数超过4e ，则会发生虫害.研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25C ︒左右，试利用（2）中的回归方程预测近期当地是否会发生虫害.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,nl i i ni i u v nuvv u unu βαβ==-==--∑∑. 13．（2021·全国高三月考（文））2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功.某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组; [)[)[]30,40,40,50,,90,100⋯，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关： 男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （3）对于样本中分数在[)[]80,90,90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为,X 求X 的分布列.14．（2021·江西高三其他模拟（文））某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb ）的含量（以下简称为“M 含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者出现血症.若一批受试者的M 含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在M 含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）（1）请说明该疫苗在M 含量指标上的安全性；（2）按照性别分层抽样，随机抽取50名志愿者进行M 含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的22⨯列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？性别 阴性阳性男 女 合计阳性 阴性合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.82815．（2021·全国高三专题练习（文））在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔年龄是否[)20,40[]40,70（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82816．（2021·全国高三专题练习（文））针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：人均可支配年收入(元)电商扶贫年度总投入(万元)(5000，10000] (10000，15000] (15000，20000] (0，500] 5 3 2(500，1000] 3 21 6(1000，3000) 2 34 24（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万电商扶贫年度总投入超过1000万附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.050 0.01 0.005 k3.8416.6357.87917．（2021·全国高三专题练习（文））为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h （单位：厘米），将男、女生身高不低于h 和低于h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.8415.0246.6357.879 10.828参照公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 18．（2021·全国高三专题练习（文））某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：未感染病毒感染病毒 总计未注射疫苗 a 60 m 注射疫苗 b30 n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为5. （1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()2P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k3.8415.0246.6357.87910.82819．（2021·全国高三专题练习（文））某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查得到如下列表：(附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)高于22.5C ︒ 不高于22.5C ︒ 合计 患流感2025不患流感15合计50（1）对上述22⨯列联表进行填空，并判断是否有99%的把握认为患流感与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为108人，72人，36人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是中年人的概率.()2>0.10 0.05 0.025 0.01 P K kk 2.701 3.841 5.024 6.63520．（2021·山东德州市·高三一模）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如下表所示：（表一）了解情况Y N人数140 60（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P ．试求出1P 与2P ，并比较1P 与2P 的大小． 附：临界值参考表的参考公式()20p K K ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010K 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 21．（2021·吉林长春市·高三二模（理））随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中x 表示开设网店数量，y 表示这x 个分店的年销售额总和），现已知55118850,2000i ii i i x yy ====∑∑，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求解y 关于x 的回归方程； （2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w （单位：万元）满足25140w y x =--，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程y bx a =+，其中515221,i ii ii x y nx ya y bxb xnx==-=-=-∑∑22．（2021·河南高三月考（文））2020年初，新冠病毒肆虐．疫情期间，停课不停教学，各学校以网课形式进行教学．教育局抽样对某所学校的高三1000名学生某一周每天学习时间以及考试进行了调查，得如下频数分布表 学习时间（分钟） [)7,7.5[)7.5,8[)8,8.5[)8.5,9[)9,9.5[]9.5,10人数160190200180150120从1000名学生中抽取50名学生，调查学习时间与成绩的关系，得如下二阶列联表学习时间9小时以上（含9小时）学习时间9小时以下合计总分600分以上（含600分） 7 3 10 总分600分以下 17 23 40 合计242650（1）求出第一星期这1000名学生学习时间的中位数；（2）为了解学生们的学习状况，一次考试结束，从全年级随机抽取50人根据学习时间的多少和成绩的是否优秀列成以下列联表计算说明：有没有90%的把握认为总分600分以上和学习时间超过9小时有关附公式及表如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K K ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82823．（2021·全国高三专题练习）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =⋅⋅⋅，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得20180i i x ==∑，2014000i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20218000ii y y =-=∑，()()201700i ii x xy y =--=∑.（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y 关于x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.24．（2021·全国高三专题练习（文））随着冬季的到来，是否应该自觉佩戴口罩成为了人们热议的一个话题.为了调查佩戴口罩的态度与性别是否具有相关性，研究人员作出相应调查，并统计数据如表所示： 认为冬季佩戴口罩十分必要 认为冬季佩戴口罩没有必要 男性 300 200 女性150150（1）判断是否有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关？（2）若按照分层抽样的方法从男性中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82825．（2021·全国高三专题练习）在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”．（1）请补充完整22⨯列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？效果一般效果较好合计男20女1555合计（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中线上教学“效果较好”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：()2P K k0.150.100.050.0250.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．26．（2021·全国高三专题练习）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710；其中对商品和服务均为好评的有80次（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.()20P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）27．（2021·全国高三专题练习）某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图.（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在[)85,90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.01 0.0050k2.7063.841 5.024 6.635 7.87928．（2021·全国高三专题练习）支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6及以上 40岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40岁及以下人数 40岁以上人数 合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X (单位：元)，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82829．（2021·全国高三专题练习）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有。

福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考高三数学试卷一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1.已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4＜0，x ∈Z }，B ＝{m ，2}，若A ⊆B ，则m ＝（ ） A ．5B ．3C ．2D ．12.设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-3..已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则（ ）A ．c ab a <<B ．c a ab <<C ．c b ac <<D ．b ac c << 4.如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．1BC BA 2-+B ．1BC BA 2--C ．1BC BA 2- D ．1BC BA 2+ 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A. 56B. 66C. 77D. 786．已知0sin cos =+αα，则=+αααcos sin 2cos 2（ ）A.2B.21C. 21-D. 21±7.函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈）8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有成立，且()22f e =，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法不正确的是（ ）A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降10．由函数()f x sinx =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度 B ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()f x sinx =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D ．先将()f x sinx =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在（1，2）上单调递增.C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为2 12.已知函数f(x)＝e |x|sinx ，下列说法正确的是（ ）A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(－4π，34π)上为增函数C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点D.f(x)≥ax 在[0，4π]上恒成立的充要条件是a ≤1三、填空题（每题5分，满分20分。

2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题一、单选题1.若全集U={1,2,3,4}, " = {1,2}, N = {2,3},则《知)4以%)=()A. {4}B. {1,2,3}C. {2}D. {1,3,4} 【答案】A【解析】根据集合的运算法则运算即可.【详解】因为全集。

={1,2,3,4}, M={1,2}, N = {2,3},所以LM = {3,4}, ” = {1,4},则（。

加用（。

%）={4}.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.2.已知1为虚数单位，若色（。

£用为纯虚数，则实数。

的值为（）a + i1 1A. 2B. -2C. -D.--2 2 【答案】B【解析】先由更数的除法运算，化简上上」，再由纯虚数的概念，即可得出结果. a + i【详解】(l + 2z)(a-z) a + 2 +(2”l)i+ a2 +1又上吆（awR）为纯虚数，所以。

+ 2 = 0,即。

=一2. a + i故选：B.【点睛】本题主要考查由更数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.3.将函数y = 2sin12x-gj图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为（）【答案】D【解析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数y = 2sm(2x-g)图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,乃所得函数图像的解析式为y = 2sin x--. \ ')故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.4.已知点4(0,3), 6(3,2),向量云= (—6,2),则向量而与记()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【答案】D【解析】由向量的坐标运算法则计算出而，再判断而与正的关系.【详解】而=(3,-1) = 一^/，所以向量丽芳与何平行且反向.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.5.若f(x)是偶函数且在［0,+8)上为增函数，又"—2) = 1,则不等式/(工一1)<1的解集为()A. {止1cx<3}B. 或x>3}C. {小<-1 或0cx〈3}D. {x|x>l或一3vx〈0}【答案】A【解析】利用函数y = /(x)为偶函数将所求不等式变形为f(卜一力</(2),利用该函数在区间［0,+s)上的单调性可得出卜―1| <2 ,解此不等式即可得解.【详解】由于函数y = f(x)为偶函数，则〃2)= 〃-2)= 1,且函数y = /(x)在［0,+8)上为增函数,由/(x-i)vi,可得〃卜一1|)</(2), /.|x-l|<2,即一2vx—lv2,解得一l<x<3.因此，不等式的解集为{止l<x<3}.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.6.股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】B【解析】根据题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，该股民在经历了3次跌停，又经历了3次涨停后，股票价格为原来的(1 —0.1)3 (1 + 0.1)3 = 0.993、0.97 ,即略有节损；故选：B.【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题型.7.已知A(—3,o), 3是圆/+。

2021年高三9月学情调研数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，知。

分．请把答案填写在答题卡相应位置上．过落1.已知集合A={}，集合B={}，则＝＿＿＿＿2.命题“”的否定是＿＿＿＿＿3.已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿4.石图是某算法的流程图，其输出值a是＿＿＿＿＿5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为＿＿＿＿7.已知点P（x,y）在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是＿＿＿＿8.曲线y=x+sinx在点(0，0)处的切线方程是＿＿＿＿．9.在等差数列{}中，，则数列{}的前n项和＝＿＿＿10.如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点. F 为边AB上.的，且，则x+y的值为＿＿＿＿11.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x) =＋1.若f(a)=3，则实数a的值为＿＿＿12.已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF为钝角，则线段BE长度的取值范围是＿＿＿＿13.如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q.，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿14.已知函数若存在实数a，b，c，d,满足f(a)=f(b)＝f(c)＝f(d )，其中d>c>b>a>0，则abcd的取值范围是＿＿＿＿二、解答题：本大匆共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步璐．15.（本小题满分14分）在锐角△ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c．已知向量(1）求角A的大小；(2）若a＝7，b=8，求△ABC的面积．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：AP∥平面MBD；（2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；17.（本小题满分14分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积。

湖北省黄冈市2020年高三年级9月质量检测全解析数学试题 2020.9.22 测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|320},{|124}xA x x xB x =−+≤=<<，则A B =（ ）A ．{|12}x x ≤≤ B. {|12}x x <≤ C. {|12}x x ≤< D. {|02}x x ≤<解析：[]()1,2,0,2A B ==所以A B ={|12}x x ≤<，故选：C2. 已知,,,a b c d 都是常数，,a b c d .若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是( )A ．ac d b B ．c a b d C ．a c b d D ．c d a b解析：令()()()g x x a x b ，此抛物线开口向上，且易知： ,a b 为()0g x 的两根，,c d 为()2020g x 的两根.根据图像结合,ab cd 知：cabd ，故选：B3. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<解析：根据常见中间值0和1比较：0.412x =>，2lg 05y =<，0.41205z ⎛⎫<= ⎝⎭<⎪，所以y z x <<，故选：B4. 若实数a ，b 满足14ab ab，则ab 的最小值为( )A.B ．2C ．D ．4解析：由题设，0,0a b >>，所以14a b +=≥= 所以4ab ≥，故选：D5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x xxf x =−+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．解析：通过对函数的奇偶性和趋近研究函数图像，本题(1)e sin ()e 1x x x f x =−+，e sin()e sin )()()e 1)e (1)(1(1x x x xx x f x f x −−−−===++−−⋅−， 所以()f x 为偶函数，排除B,D ，又0,e sin 0,e 12,10,x x x x ++++−→→→→+()0f x +∴→，所以选：A6.已知向量(2,1)a，(0,)b m ，(2,4)c ，且()a b c ，则实数m 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1 解析：()2,1,2,4ab mc ，又因为()a b c ，所以有：224(1)0,2m m ⨯+⨯−=∴=，故选：C7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3B ．52C ．32D ．32或52解析：过Q 作QMl ⊥交l 于点M,设QF d =,由抛物线定义：QM d =，又4PF FQ =，所以4PF d =，设l 交x 轴于点N,根据,PF FN PNFPMQ PQ MQ∆∆∴= 即：424d d d d=+，得52QF d ==，故选：B8. 明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”. 在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法，比如 ，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=，太簇. 据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =A.n −B.n −C.D.解析：本题看选项转化为：已知首项1a 和末项n a ，求第k 项k a ，根据等数列有：()111111111111111=k k n n k n n n n k aa a a qa a a a −−−−−−−⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月结合诊断考试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

{}{}22,1,0,1,|1A B x x =--=，那么A B =A.{}2,1,1--B.{}|1,0-C.{}0,1D.{}2,1,0--【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解 【详解】由{}2|1B x x =可得B 中11x x ≥≤-或，那么A B ={}2,1,1--答案选A【点睛】此题考察集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集2000(1)()2i z i i -+=，那么z =A.i -B.iC.-1D.1【答案】D 【解析】 【分析】需对运算公式进展变形，由20002000200022(1)()211i i i z i iz i z i i i-+=⇒+=⇒=---，再进展化简即可【详解】由200020002000222(1)()21111i i i z i iz i z i i i i i-+=⇒+=⇒=-=-=---答案选D【点睛】此题考察复数的根本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式3.某运动队由足球运发动18人，篮球运发动12人，乒乓球运发动6人组成〔每人只参加一项〕，现从这些运发动中抽取一个容量为n 的样本，假设分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量n的最小值为 A.6 B.12C.18D.24【答案】A 【解析】 【分析】从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样【详解】由题，总体样本容量为36人，当样本容量为n 时，系统抽样的样距为36n ，分层抽样的样比为36n ，那么采用分层抽样抽取的足球运发动人数为18362n n ⨯=，篮球运发动人数为12363n n⨯=，乒乓球运发动人数为6366n n ⨯=，可知n 是6的整数倍，最小值为6答案选A【点睛】此题考察了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进展分析和讨论，以便求出样本容量 4.()391(1)x x --的展开式中4x 的系数为A.124B.135C.615D.625【答案】B 【解析】 【分析】可采用分类讨论法；当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项；当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项，将两种情况对应的系数相加即可 【详解】当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项：()445491126C x x -=，441126126x x ⋅=，对应4x 系数为126当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项：()118919C x x -=-，()3499x x x -⋅-=对应4x 系数为9 所以()391(1)x x --的展开式中4x 的系数为；126+9=135答案选B【点睛】此题考察二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以解题时应该对前面因式中每一项进展拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度{}n a 中，4112,2a a ==，假设52k a -=，那么k = A.5 B.6C.9D.10【答案】D 【解析】 【分析】先求出公比q ，再根据通项公式直接求k 值【详解】由34231112,224a a q q -==⇒=⇒=，115122k k k a a q q ---∴==⋅=，答案选D【点睛】此题考察等比数列根本量的求法，先求q ，再求通项，属于根底题型()f x 的导函数为'()f x ，假设()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，那么'()f x 的图像可能为〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 假设()f x 为偶函数，那么()f x '为奇函数，故排除B 、D .又()f x 在()0,1上存在极大值，故排除A 选项，此题选择C 选项.ln y x x =在点(,)M e e 处的切线方程为A.2y x e =+B.2y x e =-C.y x e =+D.y x e =-【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x=⇒=+，()'1ln 2y e e =+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】此题考察在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相比照拟简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如下列图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入,n x 的值分别为3,4，那么输出v 的值是 A.6 B.25C.100D.400【答案】C 【解析】根据流程图中的运算程序，可知第一步3,3120n i ==-=≥，那么1426,2110v i =⨯+==-=≥；第二步程序继续运行，那么64125,1100v i =⨯+==-=≥；第三步程序继续运行；那么2540100,0110v i =⨯+==-=-<，运算程序完毕，输出100v =，应选答案C 。

2021年新教材高中数学必修第二册《统 计》测试卷(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A ．1 000名运动员是总体B ．每个运动员是个体C ．抽取的100名运动员是样本D ．样本量是100解析：选D 总体是1 000名运动员的年龄，所以A 项不正确；个体是每一名运动员的年龄，所以B 项不正确；样本是100名运动员的年龄，所以C 项不正确；很明显样本量是100.故选D.2．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组解析：选B 根据列频率分布表的步骤，140－5110＝8.9，所以分为9组较为恰当．故选B.3．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50 m ，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为( )A ．1.54 mB ．1.55 mC ．1.56 mD ．1.57 m解析：选C 我国13岁的男孩平均身高为(300×1.60＋200×1.50)/(300＋200)＝1.56(m)．故选C.4．下列说法错误的是( )A ．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 解析：选B 平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B. 5．某题的得分情况如下：得分/分 0 1 2 3 4 频率/%37.08.66.028.220.2其中众数是( ) A ．37.0% B ．20.2% C ．0分D ．4分解析：选C 根据众数的概念可知C 正确．故选C.6．一个频数分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )A ．15B ．16C ．17D ．19解析：选A 20到60之间有30×0.8＝24(个)，20到40之间一共有4＋5＝9(个)，故[40,50)，[50,60)内共有24－9＝15(个)．故选A.7．在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中，下列说法正确的是( ) A ．总体的容量越大，估计越准确 B ．总体的容量越小，估计越准确 C ．样本的容量越大，估计越准确 D ．样本的容量越小，估计越准确解析：选C 根据样本的频率分布可知，样本的频率分布反映的是总体中部分个体的频率分布，只有当样本的容量越大时，估计才越准确．故选C.8．某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分. 对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65,9.70,9.68,9.75,9.72,9.65,9.78，则这个班节目的实际得分是( )A ．9.66B ．9.70C ．9.65D ．9.67解析：选B 这个班节目的实际得分为9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋9.725＝9.70.故选B.9．以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍，其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选A 只有两个数据时，极差等于|x 2－x 1|，标准差等于12|x 2－x 1|.故④正确．由定义可知①正确，②③错误．故选A.10．从某批零件中抽取50个．然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该产品的合格率约为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%解析：选C 由题意知，该产品的合格率为3640×100%＝90%.故选C.11．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55 km.桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km /h ，现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查，据此画出频率分布直方图如图，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数和汽车行驶速度超过90 km/h 的频率分布为( )A ．300,0.25B ．300,0.35C ．60,0.25D ．60,0.35解析：选B 由频率分布直方图得，在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的频率为0.06×5＝0.3，所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数为0.3×1 000＝300(辆)，汽车行驶速度超过90 km/h 的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.12．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：选A 由题意得，n 3 500＋1 500＝703 500，解得n ＝100.故选A.13．将A ，B ，C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的样本量为21，则A ，B ，C 三种性质的个体分别抽取( )A ．12,6,3B ．12,3,6C ．3,6,12D ．3,12,6解析：选C 由按比例分配的分层随机抽样的概念，知A ，B ，C 三种性质的个体应分别抽取21×17＝3,21×27＝6,21×47＝12.故选C.14．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据．则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：选D 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.故选D.15．统计某校1 000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析：选D 从左至右，后四个小矩形的面积和等于及格率，则及格率是1－10×(0.005＋0.015)＝0.8＝80%.故选D.16．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如下表所示： 分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90] 人数 234951据此估计允许参加面试的分数线大约是( ) A ．90 B ．85 C ．80D ．75解析：选C 参加面试的频率为100400＝0.25，样本中[80,90]的频率为5＋124＝0.25，由样本估计总体知，分数线大约为80分．故选C.17．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C 由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.故选C.18．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分如下： 高一：82 83 85 93 97 98 99 高二：88 88 89 88 97 99 98 则对这组数据分析正确的是( ) A ．高一的中位数大，高二的平均数大 B ．高一的平均数大，高二的中位数大 C ．高一的平均数、中位数都大 D ．高二的平均数、中位数都大解析：选A 由得分数据可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为6477，所以高二的平均数大．故选A.19．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析：选A 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，∴x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.故选A.20．设矩形的长为a ，宽为b ，若其比满足ba ＝5－12≈0.618，则这种矩形称为黄金矩形．黄金矩形给人以美感，常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A 甲批次的样本平均数为15×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617；乙批次的样本平均数为15×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.所以可估计：甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上) 21. 一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下：则该班组工人月工资的平均数为________．解析：平均数x ＝(1 600×2＋1 440×4＋1 320×5＋1 220×5＋1 150×2＋980×2)÷20＝25 920÷20＝1 296.答案：1 29622．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下： 56 62 63 63 65 66 68 69 71 74 76 76 77 78 79 79 82 85 87 88 95 98 则该学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为________．解析：最大数为98，最小数为56，极差为98－56＝42，中位数为76，所以极差与中位数之和为118.答案：11823．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________人．解析：高三的人数为900－240－260＝400(人)， 所以在高三抽取的人数为45900×400＝20(人)．答案：2024．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51.则甲、乙两名运动员得分的25%分位数分别是________，________.解析：因为两组数据都是12个数，所以12×25%＝3，所以甲运动员得分的25%分位数为x 3＋x 42＝20＋252＝22.5.乙运动员得分的25%分位数为x 3＋x 42＝14＋162＝15.答案：22.5 1525．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分) 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60]与[60,70]中的学生人数．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2(人)．成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3(人)．27．(本小题满分8分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．解：由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．28．(本小题满分9分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：40．0240.0039.9840.0039.9940．0039.9840.0139.9839.9940．0039.9939.9540.0140.0239．9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率频率组距[39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01)[40.01,40.03]合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数．解：(1)分组 频数 频率 频率组距 [39.95,39.97) 2 0.10 5 [39.97,39.99) 4 0.20 10 [39.99,40.01) 10 0.50 25 [40.01,40.03]4 0.20 10 合计20150(2)∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只，∴合格率为1820×100%＝90%，∴10 000×90%＝9 000(只)．即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9 000.B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数 0 1 2 3 4 频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为()A．0,1.1B．0,1C．4,1 D．0.5,2解析：选A数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.故选A.2．如图所示的几何体的平面展开图是四选项中的()解析：选D选项A、C中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；选项B中折叠后三角形和圆的位置不符，所以正确的是D.故选D.3．某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为()A．80 B．120C．160 D．240解析：选A因为男生和女生的比例为560∶420＝4∶3，样本量为140，所以应该抽取男生的人数为140×44＋3＝80.故选A.4．某校高二年级有50人参加2019“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为()分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.20.40.30.1A．70 B．73C．78 D．81.5解析：选C估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.1＝78.故选C.5．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为()A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75解析：选C 产品的中位数出现在频率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08×(x －20)＝0.5，得x ＝22.5.故选C.6．如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的柱形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是( )A ．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B ．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C ．收入最少的月份的利润也最少D ．收入最少的月份的支出也最少解析：选D 利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为40－30＝10万元，故A 错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B 错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利润不是最少，故C 错误，D 正确．故选D.7．(2019·山东、湖北部分重点中学高三冲刺考试(二))已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z ＝2(z 为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．1＋i 或1－iD ．－1＋i 或－1－i解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，z ＋z ＝2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2a ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝±1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.故选C. 8．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n＋2的平均数和方差分别是( )A.x和s2B．3x和9s2C．3x＋2和9s2D．3x＋2和12s2＋4解析：选C3x1＋2,3x2＋2，…，3x n＋2的平均数是3x＋2，由于数据x1，x2，…，x n 的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3x n＋2的方差为9s2.故选C.9．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1解析：选B体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1.故选B.10．从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A．抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B．抽取的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C．抽取的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D．抽取的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50解析：选A根据频率分布直方图的性质得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04，所以抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100＝20，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D不正确．故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．下列说法正确的是( ) A ．中位数是50%分位数B ．数据x 1，x 2，…，x m 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，则x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n 的平均数为m m ＋n x ＋n m ＋nyC ．当样本数据全相等时，其样本方差(标准差)为0D ．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，则此时8个数的方差s 2＝2解析：选ABC 由百分位数的定义知，A 正确；对于B ，x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 1，…，y n 的平均数为x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1ny im ＋n ＝m x －＋n y －m ＋n ＝m m ＋n x －＋n m ＋ny －，B 正确；选项C 显然正确；对于D ，因为后来7个数的平均数为4，再加上一个新数据4，这8个数的平均数仍为4，其方差s 2＝7×2＋4－428＝74<2，故D 错，故选A 、B 、C. 12．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值解析：选AC 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A 正确；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B 错误；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为16(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，236<4，故C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D 错误．故选A 、C.13．2018年11月～2019年11月某工厂工业原油产量的月度走势图如图所示，则以下说法错误的是( )A ．2019年11月份原油产量约为51.8万吨B ．2019年11月份原油产量相对2018年11月增加1.0%C ．2019年11月份原油产量比上月减少54.9万吨D ．2019年1～11月份原油的总产量不足15 000万吨解析：选ABD 由题意得，2019年11月份原油的日均产量为51.8吨，则11月份原油产量为51.8×30＝1 554万吨，故A 错误；2019年11月份原油产量的同比增速为－1.0%，原油产量相对2018年11月份减少1.0%，则B 错误；10月份原油产量为51.9×31＝1 608.9万吨，11月份原油产量比上月减少1 608.9－1 554＝54.9万吨，则C 正确；1～11月份共334天，而1～11月份日均原油产量都超过50万吨，故1～11月份原油产量的总产量会超过15 000万吨，故D 错误．故选A 、B 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 14．从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下： 分组 [90,100) [100,110)[110,120)[120,130) [130,140)[140,150]频数1231031则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%. 解析：∵质量不少于120克的频数为14，∴频率为1420×100%＝70%.答案：7015．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲____________，乙____________，丙____________．解析：甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数为4＋6×3＋8＋9＋12＋138＝8；丙：该组数据的中位数是7＋92＝8.答案：众数 平均数 中位数16．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C 两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本量比C 产品的样本量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．解析：抽样比130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A 产品的样本量比C 产品的多10，故A 产品比C 产品多100件，故12(3 000－1 300－100)＝800(件)为C 产品数量．答案：80017．某同学10次测评成绩的数据如下：2,2,3,4,10＋x ，10＋y ，19,19,20,21.已知成绩的中位数为12，若要使标准差最小，则4x ＋2y 的值是________．解析：由题意可知，成绩的中位数为12，所以10＋x ＋10＋y2＝12，故x ＋y ＝4，平均数为110(2＋2＋3＋4＋10＋x ＋10＋y ＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使标准差最小，即方差最小，只需使(10＋x －11.4)2＋(10＋y －11.4)2最小即可．又(10＋x －11.4)2＋(10＋y －11.4)2＝(x －1.4)2＋(y －1.4)2≥(x ＋y －2.8)22＝0.72，当且仅当x －1.4＝y －1.4时取等号，故x ＝y ＝2时，标准差最小．此时4x ＋2y ＝12.答案：12四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分12分)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到统计图如图所示．(1)求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．解：(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×3.48.5＝40(人)．a ＝1－0.10－0.35－0.25－0.15－0.10＝0.05，b ＝1－0.10－0.20－0.30＝0.40. (2)指标检测值不低于5的样本中，有患病者40×(0.30＋0.40)＝28(人)，未患病者60×(0.10＋0.05)＝9(人)，共37人． 此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为37100×85 000＝31 450(人)．19．(本小题满分14分)为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：分组 频数 频率 一 [60.5,70.5) a 0.26 二 [70.5,80.5) 15 c 三 [80.5,90.5) 18 0.36 四 [90.5,100.5]b d 合计50e(1)求a ，b ，c ，d ，e 的值； (2)作出频率分布直方图．解：(1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a ＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频数是b ＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5)内的频率是c ＝1550＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率是d ＝450＝0.08，频率和e ＝1.00.(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．20．(本小题满分14分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们命中的环数如下表：甲 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 乙24687897910赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？ 解：为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示：平均环数方差 中位数 命中10环次数甲 7 4 7 0 乙75.47.51规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，那么就不需要先看平均环数了．21．(本小题满分14分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率 [10,15)100.25[15,20)25n[20,25)m p[25,30]20.05合计M 1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．解：(1)由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，解得m＝3. 故p＝340＝0.075.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90(人)．22.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.23．(本小题满分14分) 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：(1)填写下表：平均数 中位数 命中9环以上甲 7 ________ 1 乙________________3(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①结合平均数和方差，分析偏离程度； ②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些； ④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力． 解：(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9， ∴中位数为7环．乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，∴x 乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)．乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10， ∴中位数是7＋82＝7.5(环)．于是填充后的表格，如表所示：平均数 中位数 命中9环以上甲 7 7 1 乙77.53(2)s 2甲＝110[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，s2乙＝110[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4.①甲、乙的平均数相同，均为7，但s2甲＜s2乙，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．。

2021届高三（新高考）数学大题优练 成对数据的统计分析例1．这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（天）(]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10 (]10,12 (]12,14人数6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？潜伏期8≤天潜伏期8>天总计 60岁以上（含60岁）150 60岁以下 30 总计200（2）依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有可能是多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能；（2）16名．【解析】（1）由表中数据可知，潜伏期大于8天的人数为16002501502004010000++⨯=人，补充完整的2×2列联表如下，潜伏期8≤天潜伏期8>天总计 60岁以上（含60岁）13020150优选例题所以()220013*********.66710.8281505016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关．（2）该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数为6001900300025008000+++=名， 将频率视为概率，潜伏期不超过8天的概率为80004100005=，所以抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数最有可能是420165⨯=名． 例2．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1） （2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考数据：()71()14.00i i i x x y y =--=∑，()7217.08i i y y =-=∑14.10≈．【答案】（1）见解析；（2）ˆ0.5 2.3yx =+，7.3万元． 【解析】（1）由题意，知123456747x ++++++==，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428ii x x =-=-+-+-+-+-+-+-=∑，∴结合参考数据知：14.000.9914.10r ==≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大， 从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，∴ˆˆ 4.30.54 2.3a y bx=-=-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将10x =代入线性回归方程，得ˆ0.510 2.37.3y=⨯+=． ∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元．例3．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a =+dy c x=+建立y 关于x的回归方程，令s =1t x=得到如下数据：且(,i is y 与,i i t y (i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1，2，且2．（1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大． 参考数据和公式：021*********⨯=．．．，116721222476374⨯=．．．15.7365=，对于一组数据(),i i u v (i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni ii nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数ni i u v nu vr -⋅=∑【答案】（1）用d y c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适；（2）10ˆ111.54y x=-；（3）当温度为20℃时这种草药的利润最大．【解析】（1）由题意知20.9953r =-，10.8858r ==≈，因为121r r <<，所有用dy c x=+模型建立y 与x 的回归方程更合适． （2）因为1311322113 2.1ˆ100.2113i ii ii t y t ydtt ==-⋅-===--∑∑，ˆˆ109.94100.16111.54c y dt =-=+⨯=， 所以ˆy关于x 的回归方程为10ˆ111.54y x=-． （3）由题意知110120012020(111.54)2230.8(ˆ)2230.8202210.8222ˆzy x x x x x =-=--=-+≤-=， 所以22.8ˆ10z ≤，当且仅当20x℃时等号成立，所以当温度为20℃时这种草药的利润最大．1．在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”． （1）请补充完整22⨯列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？效果一般效果较好合计 男20女 1555合计（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中线上教学“效果较好”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635其中()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2．如图是M 市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012~2019年我市接待游客人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．模拟优练（1）求M 市在所统计的这8年中接待游客人次的平均值和中位数；（2）在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）由统计图可看出，从2016年开始，M 市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年M 市接待游客的人次．①参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． ②参考数据：3．首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bx y c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：其中2log i i z y =，16i i z z ==∑．（1）（ⅰ）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程（保留一位小数）；（ⅱ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中2log 5 2.3≈）（2）乙认为样本点分布在二次曲线2y mx n =+的周围，并计算得回归方程为20.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v u u u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．相关指数：()()22121ˆ1ˆni i i nii v v R v v---=--∑∑．4．重庆十一中某组同学为参加第20届中国青少年机器人竞赛重庆赛区选拔赛，需要从工厂订制零件，已知该厂有两条不同生产线A 和B ，同学们为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：该零件的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[)90,100的零件，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[)80,90的零件，质量等级为良好；鉴定成绩达到[)60,80的零件，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关；（2的分布列，并求X 的数学期望；（3）为了确定机器人身上的零件个数i x 与使用寿命()1,2,5i y i =的关系，同时又兼顾灵敏性，同学们通过实践研究把i x 和()1,2,5i y i =的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．上表中i i w x =，15i i w w ==∑．根据散点图直接判断（不必说明理由）y a bx =+与dy c x=+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？ 并根据表中数据建立y 关于x 的回归方程．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++=．对于一组数据11,u v ，22,u v ，…，,n n u v ，其回归直线v u =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i uu v v u v nuvu u unu β====---==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-．1．【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）分布列见解析，95． 【解析】（1）由题意，补充后的列联表为：效果一般 效果较好 合计男 2520 45女 1540 55 合计4060100则()22100254015208.249 6.63540604 555K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关． （2）随机变量X 的值可能为0,1,2,3， 由题可知，线上教学“效果较好”的频率为6031005=，则33,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可得()303280C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()22323542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()5333273C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 则随机变量X 的分布列为X0 123P8125361255412527125所以()8365427901231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()39355E X =⨯=）． 2．【答案】（1）平均数为401.25(万人次)，中位数为290(万人次)；（2）分布列见解析，数学期望为34；（3）1365万人次． 【解析】（1）平均数为110150180250330510720960401.258+++++++=(万人次)，中位数为2503302902+=(万人次)． （2）不低于平均数的有3年，X 的可能取值为0，1，2，参考答案则()2528C 50C 14P X ===；()115328C C 151C 28P X ===；()2328C 32C 28P X ===． 所以X 的分布列为故()5012142828284E X =⨯+⨯+⨯==． （3）简化变量：1.5x '=，0y '=，411050i ii x y =''=∑，2114ii x ='=∑．414222141050ˆ210144 1.54i ii i i x y x y bx x ==''''-===-⨯''-∑∑，ˆˆ0210 1.5315a y bx ''=-=-⨯=-． ˆ210315yx =-''． 当2021x =时，5x '=，ˆ735y'=，所以ˆ630735y -=，所以ˆ1365y =． 即2021年接待的游客约为1365万人次．3．【答案】（1）（ⅰ）0.512x y +=；（ⅱ）13.2百万元；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好． 【解析】（1）（ⅰ）2468101276x +++++==，令22log log z y bx c ==+，令2log a c =，则z bx a =+．根据最小二乘估计可知：()()()6162134.70.570iii ii x x zzb x x ==--==≈-∑∑， 从而 4.50.571a z bx =-=-⨯=，故回归方程为0.51z x =+，即0.512x y +=． （ⅱ）设0.512200x +≥，解得20.51log 200x +≥，即244log 513.2x ≥+≈， 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿．（2）甲建立的回归模型的残差：则()621298.5iii y y =-=∑，从而2298.5110.020.980.9412730.4R =-≈-=>，即甲建立的回归模型拟合效果更好．4．【答案】（1）列联表见解析，不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关；（2）分布列见解析，() 1.2E X =；（3）d y c x =+更适合，12ˆ 5.48yx=+． 【解析】（1）由已知可得，22⨯列联表为：2()40(121468)403.636 3.841()()()()2020182211n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯====<++++⨯⨯⨯，所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关． （2）从茎叶图可以知道，样本中优秀的产品有2个来自A 工厂，3个来自B 工厂， 所以X 的可能取值为0，1，2．2225C (0)0.1C P X ===，112325C C (1)0.6C P X ===，2325C (2)0.3C P X ===， X 的分布列为：所以()0E X =（3）根据散点图的形状更接近函数d y c x =+的图象可以判断出d y c x =+更适合，令1w x=，先建立y 关于w 的线性回归方程．由5152221530.150.4611ˆ121.45850.465i iiiiw y wydw w==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11120.46 5.48c y dw=-=-⨯=．所以y关于w的线性回归方程为ˆ 5.4812y w=+，因此y关于x的回归方程为12ˆ 5.48yx=+．。

2021高三年级9月联考卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集为R，集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(RB)＝A.{0}B.{2}C.{0，2}D.{x|0≤x≤2}2.若z＝2－i，则|z2＋z|＝A.2 25 D.503.sin152°·cos17°＋sin62°·sin17°的值为A.122334.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万?(lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990)A.43B.45C.47D.495.已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某学校高三(5)班要从8名班干部(其中5名男生，3名女生)中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P(B|A)＝A.18B.17C.38D.377.已知4a＝5，b＝log34，1.5c＝2，则A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b8.某市园林局设计了一款给城市道路中间花草浇水的装置，设计图如图所示，AB为道路，CD 为花草，EF为固定仪器，FG为喷杆，在点G处有个可以转动的喷头(假定喷水口只能在竖直平面转动)，已知EF⊥AB，∠EFG＝23π，且喷射角∠MGN＝4π，EF＝2，FG＝1，则该喷水装置喷在该道路的花草上的宽度MN的最小值为2－5 2 3 5 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学小题必练1．知道获取数据的基本途径，了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性．2．了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单随机抽样方法（抽签法和随机数法），会计算样本均值和样本方差；了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．3．能选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性．4．能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），能用样本估计总体的取值规律，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 5．了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性，了解一元线性回归模型的含义、模型参数的统计意义和最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会用一元线性回归模型进行预测．6．理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．1．【2020全国I 卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+C ．xy a be =+D ．ln y a b x =+【答案】D【解析】根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来（图略），由图并结合选项可排除A 、B 、C ，故选D ．【点睛】本题主要考查回归分析，考查数学抽象和逻辑推理能力．2．【2019全国II 理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（） A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A【解析】记9个原始评分分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i （按从小到大的顺序排列），易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A ． 【点睛】考查样本的数字特征，考查逻辑推理能力．一、单选题．1．某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1，2，3，4，，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间496,[825]的人数有（）A ．12人B ．11人C ．10人D ．9人【答案】C【解析】使用系统抽样方法，从1221人中抽取37人，即从33人抽取1人， ∴从区间496,[825]共330人中抽取10人，故选C ．2．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第二、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（） A ．800 B ．1000C ．1200D ．1500【答案】C【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+．所以3a b cb ++=， 所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13．根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为1360012003⨯=． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，[20,22.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．120D ．140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200(0.16 0.08 0.04) 2.5140⨯++⨯=，故选D ．4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本 数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（） A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差【答案】D【解析】A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88；B 样本数据：84，86，86，88，88，88，90，90，90，90，众数分别为88,90，不相等，A 错； 平均数86，88，不相等，B 错； 中位数分别为86，88，不相等，C 错；A 样本方差222221[(8286)2(8486)3(8686)4(8886)]410S =-+⨯-+⨯-+⨯-=， 标准差2S =；B 样本方差222221[(8488)2(8688)3(8888)4(9088)410]S =-+⨯-+⨯-+⨯-=， 标准差2S =，D 正确， 故选D ．5．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值mn=（）A ．1B ．13C ．29D ．38【答案】D【解析】由茎叶图可知甲的数据为27、30m +、39；乙的数据为20n +、32、34、38， 由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以3m =． 由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33， 所以有20323438334n ++++=，所以8n =，所以38m n =，所以选D ．6．某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出y （单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则（）A ．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系B ．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系C ．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系D ．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系 【答案】C【解析】月收入的中位数是1517162+=，收入增加，支出增加，故x 与y 有正线性相关关系，故选C ． 7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ0.76b =，ˆˆa y bx =-．据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭年支出为（）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】∵10x =，8.0y =，ˆ0.76b=，∴ˆ80.76100.4a =-⨯=， ∴回归方程为ˆ0.760.4yx =+， 把15x =代入上式得ˆ0.76150.411.8y =⨯+=（万元）．8．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量2K 的观测值 4.892k ≈， 参照附表，得到的正确结论是（）A ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C【解析】因为2K 的观测值 4.892 3.841k ≈>，所以有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．二、多选题．9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日S 省及该省X 市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）----•----S 省累计确诊----■----X 市累计确诊A ．1月31日S 省新冠肺炎累计确诊病例中X 市占比超过了13B ．1月25日至2月12日S 省及该省X 市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后至2月10日S 省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日至2月10日S 省及该省X 市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 【答案】ABC【解析】对于A 中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比为321873>，故A 正确； 对于B 中，1月25日至2月12日陕西及西安市新冠肺炎确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；对于C 中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确； 对于D 中，2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小于2月6日到2月8日的增长率，故D 错误．10．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为5B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】AC【解析】对于选项A ，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+，故A 正确；对于选项B ，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+，故B 错误；因为 4.762 3.841k ≈>，所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C 正确，D 错误． 11．给出以下四个说法，其中正确的说法是（） A ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小B ．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好C ．在回归直线方程ˆ0.212yx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大 【答案】BC【解析】在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，相关指数的绝对值越接近1，故A 错误；相关指数2R 来刻画回归的效果，2R 值越大，说明模型的拟合效果越好，因此B 正确；在回归直线方程0.212ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故C 正确；对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故D 不正确．12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（） 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A ．甲地 B ．乙地C ．丙地D ．丁地【答案】AD【解析】对A ，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=，故A 正确；对B ，若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于21(82) 3.6310⨯-=>，与题设矛盾， 故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确．三、填空题．13．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为．【答案】100【解析】根据分层抽样的定义和方法，应从C 级的人员中抽取1202541⨯=++个人，从A 、B 级的人员中抽取18个人．设C 级的人员共有m 个，则由题意可得222C 4C 15m =，解得10m =． 设总体中员工总数为x ，则由101541x =++，可得100x =． 14．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示． 在这些用户中，用电量落在区间100,[250)内的户数为．【答案】18【解析】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人， 分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16， 设总的人数为n ，则200.240.160.4n=+=，∴50n =， 所以第3小组的人数为500.3618⨯=人．15．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：及y 关于t 的线性回归方程ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为． 【答案】3【解析】∵5t =，174m y +=，∴这组数据的样本中心点是17(5,)4m+， ∵关于y 与t 的线性回归方程ˆ0.850.25yt =-，∴170.8550.254m+=⨯-，解得3m =， ∴m 的值为3．16．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示22⨯列联表：已知2( 3.841)0.05P K ≥≈，2( 5.024)0.025P K ≥≈．根据表中数据，得到2K 的观测值250(1320107)4.84423272030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，则有的把握认为选修文科与性别有关． 【答案】95%【解析】由题意知，250(1320107) 4.84423272030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 4.844 3.841>>，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．。

2021届高考数学-统计与统计案例提分练（详解）1．完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）①从30件产品中抽取3件进行检查；②某校高中三个年级共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样【答案】D【解析】①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样；②中，某校高中三个年纪共有2460人，其中高一830人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样；③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样．故选D．2．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；一、选择题在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：在高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%， 故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故③错误．故选C ．3．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策，随着人口增多，对住房要求也随着而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型机构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为13，二居室住户占16，如图2是有分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（ ）A ．样本容量为70B ．样本中三居室住户共抽取了25户C ．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D ．样本中对三居室满意的有15户【答案】D【解析】如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为13，二居室住户占16， ∴20060013=，二居室有16001006⨯=户，三居室有300户， 由频率分布直方图和扇形统计图得：在A 中，样本容量为60010%60n =⨯=，故A 错误；在B 中，样本中三居室住户共抽取了30010%30⨯=户，故B 错误；在C 中，根据样本可估计对四居室满意的住户有20040%80⨯=户，故C 错误；在D 中，样本中对三居室满意的有30010%50%15⨯⨯=户，故D 正确，故选D ．4．如图是某市2017年3月1日至3月16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI ）小于100表示空气质量油量，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量，下列说法不正确的是（）A．出现过连续4天空气重度污染B．空气重度污染的频率为0.5C．相邻两天空气质量指数之差的最大值195D．空气质量指数的平均值小于200【答案】C∼日这4天连续重度污染，故A正确；【解析】依题意，根据图中信息，121516天中有8天重度污染，故B正确；-=≠，故C错误；相邻两天空气质量指数之差的最大的为7日和8日，最大值为2608317719516个数据中大于200和小于200的各有8个，大于200的8个数据接近200，而小于200的8个数据与200相差较大，故平均值小于200，故D正确，故选C．5．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．甲所得分数的极差为22B．乙所得分数的中位数为18C．两人所得分数的众数相等D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D-=，A正确；【解析】甲所得分数的极差为331122乙所得分数的中位数为18，B正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C正确，故选D．6．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10；。