2.1.2三角形的三线

三角形的三线及面积（讲义）一、知识点睛：1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC 中，作出AC 边上的高线．CBA________即为所求． 2. 面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________； ②_____________________________； ③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例 ①利用平行转移面积l 2CBAl 1h h如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．二、精讲精练：1. 如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 交于点O ，则结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABC 的中线．其中（ ） A ．①②都正确B ．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AB C DE O2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．C EDB AF 3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．都有可能4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．F E C DB AP5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA DC GF P KREB A第5题图 第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________．7. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．BABA第7题图 第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．9. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．ED CB A10. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．ECBA DF11. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4FED CB A12. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．ED CB A13. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDC BA14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．OC DBA253515. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．A BCDEFP Q16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBAMN【参考答案】一、知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.3.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．二、精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. C4.5. 26.25cm27.8.169.10.611.12.513.14.1215.216.B17.118.3，1519.144 cm220.21.55 cm222.2。

. . .. . . .. .专业. .1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（）A．A F、CD、CEB．A F、CE、CDC．A C、CE、CDD．A F、CD、CE2．下列说法中正确的是（）A．三角形三条高所在的直线交于一点B．有且只有一条直线与已知直线平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离.. .专业 . .3．△ABC 中BC 边上的高作确的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（ ） A ． 锐角三角形 B ． 直角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 任意三角形 5．不一定在三角形部的线段是（ ） A ． 三角形的角平分线 B ． 三角形的中线C ． 三角形的高D ． 以上皆不对 6．已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为（ ） A ． 2cm B ． 3cm C ． 4cm D ． 6cm 7．下列说法中正确的是（ ） A ． 三角形的角平分线、中线、高均在三角形部 B ． 三角形中至少有一个角不小于60° C ． 直角三角形仅有一条高 D ． 三角形的外角大于任何一个角8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于 一点； ④三条高必在三角形．其中正确的是（ ） A ． ①② B ． ①③ C ． ②④ D ． ③④ 9．（2015春•校级月考）下列说确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ②④. . .. . . 二．填空题（共2小题）10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是cm．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=．三．解答题（共10小题）12．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．.. .专业. .. . .. . . 13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE= =．（2）∠BAD==．（3）∠AFB== ．（4）S△AEC= ．14．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？.. .专业. .15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β° （α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．.. .专业. .. . .. . . 17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠=∠=90°；S△ABC= ；（2）如图（2），∠BAE=∠=∠；（3）如图（3），BF= =；S△ABF= ．.. .专业. .. . .. . . 19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠= = °．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴= =，=2 =2 ；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠=∠=∠，∠=2∠=2∠．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．.. .专业. .. . .. . .点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y 由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．.. .专业. ... .. . ... .专业 . .答案一．选择题（共9小题） 1．（2015•州校级模拟）如图，在△ABC 中，BC 边上的高是、在△BCE 中，BE 边上的高、在△ACD 中，AC 边上的高分别是（ ）A ． A F 、CD 、CEB ． A F 、CE 、CDC ． A C 、CE 、CD D ． A F 、CD 、CE考点： 三角形的角平分线、中线和高．分析： 根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．解答： 解：在△ABC 中，BC 边上的高是AF ；在△BCE 中，BE 边上的高CE ；在△ACD 中，AC 边上的高分别是CD ； 故选B点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键． 2．（2015春•东平县校级期末）下列说法中正确的是（ ） A ． 三角形三条高所在的直线交于一点 B ． 有且只有一条直线与已知直线平行 C ． 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D ． 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离考点： 三角形的角平分线、中线和高．分析： A 正确，即三角形的垂心；B 应有无数条因此错误；C 在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D 中语言错误线段不能叫距离．解答： 解：B 中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B 错；C 中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C 错，D 中应写成垂线段长度； A 正确． 故选A ．点评： 本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念． 3．（2015春•期末）△ABC 中BC 边上的高作确的是（ ） A ．B ．C ．D ．. . .. . .考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．解答：解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（2015春•昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的部，则此三角形是锐角三角形．解答：解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的部，那么这个三角形是锐角三角形．故选：A．点评：此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在部．5．（2015春•沙河市期末）不一定在三角形部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上皆不对考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．解答：解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形部的线段是三角形的高．故选C．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．6．（2015春•莘县期末）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．.. .专业. .点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．7．（2015春•崇安区期中）下列说法中正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形部B．三角形中至少有一个角不小于60°C．直角三角形仅有一条高D．三角形的外角大于任何一个角考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理；三角形的外角性质．分析：根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．解答：解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个角，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．8．（2015春•校级期中）三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．解答：解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说确；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；③三条角平分线必交于一点，说确；④锐角三角形的三条高在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．故三条高必在三角形的说法错误；故选：B．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念与性质是解题的关键．9．（2015春•校级月考）下列说确的是（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．解答：解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形部，且交于同一点，说确；③锐角三角形的三条高都在三角形部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说确．故选D．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．二．填空题（共2小题）10．（2014•模拟）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC 的周长是cm．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．解答：解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，∴BC=（cm），∴AB+BC+AC=（cm），即△A BC的周长是cm．点评：本题主要考查了三角形的中线定理．11．（2014春•合川区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= 5 cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=60°．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，∠ABC=2∠ABD，然后代入数据计算即可．解答：解：∵BE是AC边上的中线，AC=10cm，∴AE=AC=×10=5cm，∵BD平分∠ABC，∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°．故答案为：5；60°．点评：本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题．三．解答题（共10小题）12．（2015春•期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD=∠ABD时，x= 120°；当∠BAD=∠BDA时，x= 60°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形角和定理．专题：计算题．分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．解答：解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20若∠BAD=∠BDA，则x=35若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．点评：本题考查了三角形的角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角之和．13．（2014秋•剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE= CE =BC ．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC ．（3）∠AFB=∠AFC= 90°．（4）S△AEC= 3 ．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．分析：分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE•AF=×2×3=3．故答案为：3．点评：本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键．14．（2012春•桑日县校级期中）如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形角和定理．专题：动点型．分析：（1）先根据三角形角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．解答：解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C ﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C ﹣∠B）．点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．15．（2012春•都江堰市校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β° （α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．解答：解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°．点评：本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可．解答：解：∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=2CD，∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，∴AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=8+7﹣9，∴2AD=6，∴AD=3．点评：本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=6．17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：先根据三角形的角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=∠BAC，而∠EAC=90°﹣∠C，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．解答：解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°．∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°．②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，∴∠FBC=∠ABC=20°，又∵∠C=60°，∴∠AFO=80°，∴∠AOF=180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BOE=∠AOF=50°．点评：考查了三角形的角和定理：三角形的角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：（1）如图（1），∠ADB =∠ADC =90°；S△ABC= ；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC =∠BAC ；（3）如图（3），BF= FC =BC ；S△A BF= S△AFC．．考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形角和定理．分析：（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空．解答：解：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S=；△ABC（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．故答案为：ADB；ADC；；EAC；BAC；FC；BC；S△A FC．点评：此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．19．如图，完成下面几何语言的表达．①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB = ∠ADC= 90 °．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE = CE =BC ，BC =2 BE =2 CE ；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF =∠CAF =∠BAC ，∠BAC =2∠BAF =2∠CAF ．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：①根据三角形的定义和垂直的定义解答；②根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；③根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答．解答：解：①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BA=2∠BAF=2∠CAF．故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．点评：本题考查了三角形的角平分线，中线，高，熟记各定义是解题的关键．20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：（1）当==时，有=；（2）当==时，有=；（3）当==时，有=；①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；②若=，且AD=18，求AO．考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：规律型．分析：①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当=时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及==得出答案即可．解答：解：①过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．∴AE：EF=2：n．∴AE：AF=2：（n+2）．∴=；②过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：8，∴AE：EF=2：7，∴==，∵AD=18，∴AO=4．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．21．（2015春•迁安市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积= △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20 ．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．考点：三角形的面积．分析：（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．解答：解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，故答案为：=；（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2 y=13．点评：本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．。

三⾓形的三线是什么
三⾓形的三线是底边上的⾼，底边上的中线，顶⾓的⾓平分线。

三线合⼀，即在等腰三⾓形中（前提）顶⾓的⾓平分线，底边的中线，底边的⾼线，三条线互相重合。

三线合⼀的证明
已知：△ABC为等腰三⾓形，AB=AC,AD为中线。

求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
等腰三⾓形ABC(AB=AC)
在△ABD和△ACD中：
{ BD=DC（等腰三⾓形的中线平分对应的边）
AB=AC(等腰三⾓形的性质)
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三⾓形对应⾓相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平⾓定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC得证
三线合⼀的逆命题
①如果三⾓形中有⼀⾓的⾓平分线和它所对边的⾼重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。

②如果三⾓形中有⼀边的中线和这条边上的⾼重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。

③如果三⾓形中有⼀⾓的⾓平分线和它所对边的中线重合，那么这个三⾓形是等腰三⾓形。

引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。

其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。

通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。

本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。

正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。

1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。

1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。

首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。

连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。

2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。

2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。

2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。

首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。

通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。

3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。

3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。

3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。

首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。

然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。

4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。

4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。

三角形的三线是哪三（二）引言概述：三角形的三线是指三角形的三个特殊线段，即三垂线、三中线和三角形的两个角平分线。

这些特殊的线段在三角形中具有重要的几何性质和关系。

本文将详细介绍三角形的三线是哪三，并探讨它们的特点和应用。

正文：1. 三垂线：- 定义和特性：三垂线分别由三角形的三个顶点向对边作垂直线段所得。

它们交于一个点，称为三角形的垂心。

- 线段比例关系：三垂线上的线段具有特殊比例关系，即任意两垂线上的线段比例相等。

- 垂心的性质：垂心到三个顶点的距离相等，且垂心到三个顶点所在直线的距离也相等。

- 应用举例：三垂线的交点垂心可以用来证明一些重要的几何定理，如欧拉定理和垂心四边形性质等。

2. 三中线：- 定义和特性：三中线分别连接三角形的三个顶点与对边中点，并交于一点，称为三角形的重心。

- 重心的性质：重心将三角形的每条中线分成两部分，且其中一部分的长度是另一部分的二倍。

- 重心与三个顶点的关系：重心到三个顶点的距离满足一定的比例关系。

- 应用举例：三中线与三角形的其他元素（如内接圆、内切圆）之间存在一些有趣的关系，可以用来证明三角形的一些性质。

3. 三角形的两个角平分线：- 定义和特性：三角形的两个角平分线分别由一个角的顶点分别向对边的两个角平分点作垂直线段所得。

它们的交点称为角平分点。

- 角平分线的性质：角平分线与对边一起构成一组相似三角形，且角平分点到三个顶点的距离满足一定的比例关系。

- 角平分点的性质：角平分点到对边的距离相等，且角平分点到三个顶点所在直线的距离也相等。

- 应用举例：角平分线的性质可以用来证明一些角度和边长的比例关系，以及角平分线定理等。

4. 三线的关系与性质：- 三线共点定理：三垂线、三中线和两个角平分线的交点共线，并且该点称为三角形的费马点或第一等心点。

- 三线的对偶定理：三垂线和两个角平分线的中垂线与三中线相交于同一点。

- 三线长度的性质：三垂线长的和等于三中线长的一半，而垂径长的和等于中线长的两倍。

浅谈解三角形三线三角形高、角平分线、中线是最常见、最重要的三线。

下面，笔者以例题形式对它们进行讨论。

一、直角三角形1、求直角三角形斜边上的高使用三角形面积相等求解，不需要辍述。

2、求直角三角形平分线⑴锐角平分线解法一：设AD=x，则DE=x∵△ABC∽△EDC ∴CE=x由勾股定理得：x2+（x）2=（8-x）2解得x1=3，x2=-12（舍）∴BD===3解法二：利用角平分线的性质∵= ∴AD=3∴BD=3⑵直角的平分线解法一：设DE=x，则AE=x，CE=4-x∵△ABC∽△EDC ∴CE=x由勾股定理得：x2+（4-x）2=（x）2解得x1=，x2=-12（舍）解法二：利用角平分线的性质= ∴CD=∴DE= ∴AD=3、求直角三角形中线⑴斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半⑵直角边上的中线使用勾股定理求解。

二、一般三角形1、求三角形一边上的高解：设BD=x，则CD=4-x∴22-x2=32―（4-x）2解得：x=由勾股定理得AD=2、求三角形一边上的角平分线解：设DE=x，AE=y，则DF=x，AF=y ∴BF=2-y，CE=4-y∵AD是角平分线∴= ∴BD=1，CD=2由勾股定理得变形得x2+y2=6 ∴AD=3、求三角形一边上的中线解：设AD=x在△ABC中，由余弦定理得：cosB==在△ABD中，由余弦定理得：cosB==解得x1=，x2=-（舍）∴AD=实际上，在△ABC中，设三边长分别为a，b，c，过顶点A的中线、高线、角平分线分别为ma，ha，ta，令△ABC半周长s=（a+b+c），则ma=ha=ta=综上所述，只要能灵活地运用数学知识，三角形三线问题可迎刃而解。

【参考文献】赵振威、章士藻：中学数学教材教法第三册初等几何研究（M），上海：华东师范大学出版社，1994。