2013高中数学高考题详细分类考点35 直线、平面平行的判定及其性质

线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

【判定】线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

【性质】线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

【判定】面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

【性质】线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上。

公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上。

公理三：三个不共线的点确定一个平面。

推论一：直线及直线外一点确定一个平面。

推论二：两相交直线确定一个平面。

推论三：两平行直线确定一个平面。

公理四：和同一条直线平行的直线平行。

（平行线的传递性）异面直线定义：不平行也不相交的两条直线。

判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。

第 4 讲直线、平面平行的判断及其性质【2013 年高考会这样考】1．考察空间直线与平面平行，面面平行的判断及其性质．2．以解答题的形式考察线面的平行关系．3．考察空间中平行关系的研究性问题．【复习指导】1．娴熟掌握线面平行、面面平行的判断定理和性质，会把空间问题转变为平面问题，解答过程中表达的步骤要完好，防止因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的相互转变，切记解决问题的本源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的地点关系有订交、平行两种状况．2．直线和平面平行的判断(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判断定理： a?α，b? α，且 a∥ b? a∥α；(3)其余判断方法：α∥β；a? α? a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α， a? β，α∩β＝ l? a∥ l .4．两个平面平行的判断(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判断定理： a? α， b? α， a∩ b＝ M，a∥β，b∥β? α∥β；(3)推论： a∩b＝M，a，b? α，a′∩ b′＝ M′， a′， b′? β，a∥a′， b∥b′ ? α∥β. 5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a? α? a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝ b? a∥ b.6．与垂直有关的平行的判断(1)a⊥α，b⊥ α? a∥b；(2)a⊥α，a⊥β? α∥β.一个关系平行问题的转变关系：两个防备(1)在推证线面平行时，必定要重申直线不在平面内，不然，会出现错误．(2)把线面平行转变为线线平行时，一定求情经过已知直线的平面与已知平面订交，则直线与交线平行．双基自测1． (人教 A 版教材习题改编 )下边命题中正确的选项是 ( )．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条订交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④D．③④分析①②中两个平面能够订交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判断定理．答案 D2．平面α∥平面β，a? α，b? β，则直线 a， b 的地点关系是 ()．A．平行C．异面B．订交D．平行或异面答案 D3． (2012 银·川质检 )在空间中，以下命题正确的选项是( )．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a? β，b? β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a? α，则 a∥β分析若 a∥α，b∥a，则 b∥α或 b? α，故α∥β， b∥α，则 b∥β或 b? β，故 C 错误．A 错误；由面面平行的判断定理知，B 错误；若答案 D4．(2012 温·州模拟 )已知 m、n 为两条不一样的直线，α、β为两个不一样的平面，则以下命题中正确的是 ()．A． m∥n，m⊥α? n⊥αB．α∥β， m? α，n? β? m∥nC． m⊥α，m⊥n? n∥αD． m? α，n? α，m∥β，n∥β? α∥β分析选项 A 中，如图①， n∥m，m⊥α? n⊥α必定建立， A 正确；选项 B 中，如图②，α∥β，m? α，n? β? m 与 n 互为异面直线，∴ B 不正确；选项 C 中，如图③， m⊥α，m⊥ n? n? α，∴ C 不正确；选项 D 中，如图④， m? α， n? α， m∥β， n∥β? α与β订交，∴ D 不正确.答案 A5． (2012 衡·阳质检 )在正方体 ABCDA1B1C1 D1中， E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 ________．分析如图．连结 AC、 BD 交于 O 点，连结 OE，因为 OE∥ BD1，而 OE? 平面 ACE， BD1 ?平面 ACE，所以 BD1∥平面 ACE.答案平行考向一直线与平面平行的判断与性质【例 1】 ?(2011 ·天津改编 )如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， O 为 AC 的中点， M 为 PD 的中点．求证： PB∥平面 ACM.[审题视点 ] 连结 MO，证明 PB∥ MO 即可．证明连结 BD，MO.在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB∥ MO.因为 PB?平面 ACM，MO? 平面 ACM，所以 PB∥平面 ACM .利用判断定理时重点是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内能否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．【训练 1】如图，若PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， E、F 分别是 AB、PD 的中点，求证：AF∥平面 PCE. 证明取 PC 的中点 M，连结 ME、MF，1则 FM∥CD 且 FM＝2CD.1又∵AE∥CD 且 AE＝ CD，2∴FM 綉 AE，即四边形 AFME 是平行四边形．∴AF ∥ME，又∵ AF?平面 PCE，EM? 平面 PCE，∴AF ∥平面 PCE.考向二平面与平面平行的判断与性质【例 2】 ?如图，在正方体 ABCDA1 B1C1 D1中， M、N、P 分别为所在边的中点．求证：平面 MNP∥平面 A1 C1B；[审题视点 ] 证明 MN∥A1B，MP∥C1B.证明连结 D1 C，则 MN 为△ DD1C 的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴ MN∥A1B.同理， MP∥C1B.而 MN 与 MP 订交， MN，MP 在平面 MNP 内， A1 B，C1B 在平面 A1C1B 内．∴平面 MNP∥平面 A1C1B.证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转变．【训练 2】如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.证明(1)∵GH 是△ A1 B1 C1的中位线，∴ GH∥B1 C1.又∵ B1 C1∥BC，∴ GH∥ BC，∴B，C，H，G 四点共面．(2)∵E、 F 分别为 AB、AC 的中点，∴ EF∥BC，∵EF?平面 BCHG，BC? 平面 BCHG，∴EF ∥平面 BCHG.∵A1G 綉 EB，∴四边形 A1 EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB.∵ A1E?平面 BCHG，GB? 平面 BCHG.∴A1E∥平面 BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.考向三线面平行中的研究问题【例 3】 ?以下图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， A1 A⊥平面 ABC，若 D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上能否存在一点 E，使 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确立点 E 的地点；若不存在，请说明原因．[审题视点 ] 取 AB、 BB1的中点分别为 E、 F，证明平面 DEF ∥平面 AB1C1即可．解存在点 E，且 E 为 AB 的中点．下边给出证明：如图，取 BB1的中点 F，连结 DF，则 DF∥B1C1.∵AB 的中点为 E，连结 EF，则 EF∥AB1.B1 C1与 AB1是订交直线，∴平面 DEF ∥平面 AB1C1.而 DE? 平面 DEF ，∴ DE∥平面 AB1 C1.解决研究性问题一般要采纳执果索因的方法，假定求解的结果存在，从这个结果出发，找寻使这个结论建立的充分条件，假如找到了切合题目结果要求的条件，则存在；假如找不到切合题目结果要求的条件(出现矛盾 )，则不存在．【训练 3】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是平行四边形， PA⊥平面 ABCD，点 M、N 分别为 BC、PA 的中点．在线段 PD 上能否存在一点 E，使 NM∥平面 ACE？若存在，请确立点 E 的地点；若不存在，请说明原因．解在 PD 上存在一点 E，使得 NM∥平面 ACE.证明以下：如图，取PD 的中点 E，连结 NE，EC，AE，1因为 N，E 分别为 PA，PD 的中点，所以 NE 綉2AD.1又在平行四边形ABCD 中， CM 綉2AD.所以 NE 綉 MC，即四边形 MCEN 是平行四边形．所以NM綉EC.又 EC? 平面 ACE，NM?平面 ACE，所以 MN∥平面 ACE，即在 PD 上存在一点 E，使得 NM∥平面 ACE.规范解答 13——如何证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考察主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体联合平面几何知识，考察判断定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意联合几何体的构造特点，特别注意对正棱柱、正棱锥等特别几何体性质的灵巧运用，进行空间线面关系的相互转变.【示例】?(此题满分 12 分 )(2011 山·东 )如图，在四棱台 ABCDA1 B1C1 D1中， D1D⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， AB＝2AD， AD＝A1B1，∠ BAD＝60°.(1)证明： AA1⊥ BD；(2)证明： CC1∥平面 A1BD.第 (1)问转变为证明 BD 垂直 A1A 所在平面；第 (2)问在平面 A1 BD 内找寻一条线与CC1平行．[解答示范 ] 证明(1)因为 D1D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD，所以 D1D⊥BD.(1 分)又因为 AB＝2AD，∠ BAD＝ 60°，在△ ABD 中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos 60 °＝ 3AD2，所以 AD2＋BD2＝ AB2，所以 AD⊥ BD.(4 分)又 AD∩D1D＝D，所以 BD⊥平面 ADD1 A1.又 AA1? 平面 ADD1A1，故 AA1⊥ BD.(6 分)(2)如图，连结 AC，A1C1，设 AC∩BD＝E，连结 EA1，因为四边形 ABCD 为平行四边形，1所以 EC＝2AC.(8 分)由棱台定义及AB＝2AD＝ 2A1 B1知 A1C1∥ EC 且 A1 C1＝EC，所以四边形 A1ECC1为平行四边形，(10 分)所以 CC1∥EA1.又因为 EA1? 平面 A1BD，CC1?平面 A1 BD，所以 CC1∥平面 A1BD.(12 分 )证明线面关系不可以只是考虑线面关系的判断和性质，更要注意对几何体的几何特点的灵巧应用．证明的依照是空间线面关系的判断定理和性质定理．此外依据几何体的数据，经过计算也可获得线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用．【试一试】(2010 ·安徽 )如图，在多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， AB＝2EF＝ 2， EF∥ AB， EF⊥ FB，∠BFC＝ 90°，BF＝ FC ，H 为 BC 的中点．(1)求证： FH ∥平面 EDB；(2)求证： AC⊥平面 EDB；(3)求四周体 BDEF 的体积．[试试解答 ] (1)证明设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连EG，GH，因为H为1BC 的中点，故 GH 綉 AB.21又 EF 綉 AB，∴EF 綉 GH.2∴四边形 EFHG 为平行四边形．∴EG∥FH ，而 EG? 平面 EDB，∴ FH ∥平面 EDB.(2)证明由四边形ABCD为正方形，有AB⊥ BC.又 EF∥AB，∴ EF⊥BC.而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC，∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又 BF＝ FC， H 为 BC 的中点，∴FH ⊥BC.∴FH ⊥平面 ABCD.∴FH⊥AC.又 FH∥EG，∴AC⊥EG.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴ AC⊥平面 EDB.(3)解∵EF⊥FB，∠ BFC＝90°，∴ BF⊥平面CDEF .∴BF 为四周体 BDEF 的高．又 BC＝AB＝2，∴ BF＝FC ＝ 2.B－DEF＝1×1×1× 2×2＝1V 3 2 3.。

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ­ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ­ABM 的体积V ＝V M ­P AB ＝V C ­P AB ＝V P ­ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N ­BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N ­BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ­ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。