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专题4 线面平行与面面平行的判定及性质一、直线与平面平行下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面【解析】由面面平行的定义可知选D.【例2】若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直【解析】A错误，a与α内的直线平行或异面．【例3】已知不重合的直线a ，b 和平面α，①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．【解析】 ①中a 与b 可能异面；②中a 与b 可能相交、平行或异面；③中a 可能在平面α内，④正确．【例4】已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，α⊄n ，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，故选B.【例5】已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题： ①n m n m //⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα；①αα//n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；①n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα//其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】若⎩⎨⎧⊥⊥ααn m ，则m ①n ，即命题①正确；若⎩⎨⎧⊥⊥n m m α，则n ①α或n ①α，即命题①不正确；若⎩⎨⎧⊥αα//n m ，则m ①n ，即命题①正确；综上可得，真命题共有2个．故选C ．【例6】已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是（ ） A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2【解析】由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.【例7】在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A ．α、β都平行于直线l B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．l 、m 是α内两条直线，且l ①β，m ①βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ①α，m ①α，l ①β，m ①β【解析】排除法，A 中α、β可以是相交平面；B 中三点可面平面两侧；C 中两直线可以不相交．故选D ，也可直接证明．【例8】经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个【解析】这两点可以是在平面同侧或两侧．故选C ．达标训练11．（2019•延安一模）已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．（2019•湖北期中）平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无数多条直线都与β平行B ．直线a α⊂，b β⊂，且//a β，//b αC ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内D ．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β3．（2019•深圳二模）己知正方体1111ABCD A B C D -，P 为棱1CC 的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ） A ．1//m D Q B ．//m 平面11B D QC ．1m B Q ⊥D ．m ⊥平面11ABB A4．（2019•聊城二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，F ，F ，G ，H 分别为棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1//AD 平面EFGHB ．1//BD GHC ．//BD EFD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．（2019•汕头月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC AC ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B6．（2019•大连一模）已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为//αβ的充分条件的是（ ） A ．//m n ，m α⊂，n β⊂ B ．//m n ，m α⊥，n β⊥ C ．m n ⊥，//m α，//n βD ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥7．（2019•汕头一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ）A ．11//AO D C B ．1AO BC ⊥C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D8．（2019•青云月考）如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（ ） A ．//MN PD B ．//MN PAC ．//MN ADD ．以上均有可能9．（2019•上饶一模）设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ，n α⊂．则“//αβ”是“//m β且//n β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．（2018•沧州一模）如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2017•洛南期末）已知平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交12．（2018•杭州期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为线段PC 、PB 上一点，若:3:1PM MC =，且//AN 平面BDM ，则:PN NB =（ ）A ．4:1B ．3:1C ．3:2D ．2:113．（2018•厦门二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是11C D ，BC ，11A D 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD DD ．//MN 平面BDP14．（2018•辛集期中）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM tPC =，//PA 平面MQB ，则实数t 的值为（ ） A ．15B ．14 C ．13D ．1215．（2018•四川模拟）如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（ ） A ．直线//BE PFB ．直线//EF 平面PBCC ．平面BCE ⊥平面PAD D ．直线PB 与DC 所成角为60︒16．（2017•万州期末）平面α与ABC ∆的两边AB ，AC 分别交于点D ，E ，且::AD DB AE EC =，如图，则BC 与α的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行或相交D ．平行17．（2018•桃城模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条18．（2018•雁江月考）已知P 为ABC ∆所在平面外一点，平面//α平面ABC ，且α交线段PA ，PB ，PC 于点A '，B '，C '，若:2:3PA AA ''=，则:A B C ABC S S '''=△△（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:2519．（2018•香坊四模）对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件： ①存在直线l ，使得l α⊥，且l β⊥； ①存在平面γ，使得αγ⊥且βγ⊥； ①α内有不共线的三点到β的距离相等；①存在异面直线l ，m ，使得//l α，//l β，//m α，//m β． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2018•西城期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件 时，1//A P 平面BCD （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可达标训练21．（2017•新课标①）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2011•浙江）若直线l 不平行于平面α，且l α⊂/，则（ ） A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交 3．（2010•浙江）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m 4．（2010•江西）如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题 ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行． 其中真命题是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①5．（2008•湖南）已知直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥，αβ⊥，则（ ） A ．n β⊥ B ．//n β，或n β⊂ C ．n α⊥D ．//n α，或n α⊂6．（2007•北京）平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，//a α，//a β B ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α7．（2011•福建）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于 ．。
一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。
(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。
第四节 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β，α∩β＝b ，∴l ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β， b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α， ∴α∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点， 所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
高中数学-立体几何典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：(1) 直线a 平面 ，直线b a A ，则b 和 的位置关系如何?，直线b//a ，则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知：b 或b A ；(2) 由图(2)可知：b//或b .典型例题二例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点，求证： PC//平面BDQ .分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明：如图所示，连结 AC ，交BD 于点0 ,•••四边形 ABCD 是平行四边形••• AO CO ，连结0Q ，则0Q 在平面BDQ 内， APC 的中位线，• PC // 0Q .••• PC 在平面BDQ 外,• PC//平面 BDQ .说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样 找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知 直线和交线平行，那么就能够马上得到结论•这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行.典型例题三(2)直线a分析： 且 OQ 说明:例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a , b平行？并证明你的结论. 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.解：（1）当P点所在位置使得a , P （或b , P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P点再作不出与a , b都平行的平面；（2）当P点所在位置a , P （或b , P）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面，则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面，则由线面平行判定定理知：a// , b〃•可作一个平面都与a , b平行.故应作“ 0个或1个”平面.说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论•可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.典型例题四例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另已知：直线a//b, a//平面，b .求证：b// .证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面 .设c,••• a//••• a//c.又••• a//b,• b//c.••• b , c ,• b// .说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.典型例题五例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求:（1 ）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;（2）异面直线EF和SA所成的角.分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可SC、AB采取平移A构造法求解.解：(1)如图，分别取 SC 、AB 的中点E 、F ，连结SF 、CF . 由已知，得 SAB B CAB .••• SF CF , E 是SC 的中点，••• EF SC •同理可证EF AB• EF 是SC 、AB 的公垂线段.在 Rt SEF 中，SF —a , SE -a .2 2•- EF 、•. SF 2 SE 23 2 1 2 2 -—a — a a . .4 4 2(2)取AC 的中点G ，连结EG ，则EG//SA .• EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和SA 所成的角.1连结 FG ，在 Rt EFG 中，EG —a , GF 2由余弦定理，得 GEF 45 .故异面直线EF 和SA 所成的角为45 .说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求 值.典型例题六例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平 面内.已知：直线 a//, B , B b , b//a .求证：b .分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面夕卜，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法. 1 2a , EF a . 2 2 cos GEFEG 2 EF 2 GF 2 2 EG EF 2「a 2 2证明：如图所示，设b••• a// ，二b'// .这样过B点就有两条直线b和b'同时平行于直线a，与平行公理矛盾.••• b必在内.说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.⑵本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式.如上图，过直线a及点B作平面，设 b .v a // , • b //这样，b'与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条,•- b 与b'重合.v b' ,• b .典型例题七例7下列命题正确的个数是( ).(1)若直线I上有无数个点不在平面内，则1〃；(2)若直线I平行于平面内的无数条直线，则1〃;(3)若直线I与平面平行，则I与平面内的任一直线平行；(4)若直线I在平面夕卜，则|〃.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系. 对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键. 要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类.解：(1)直线I上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.(2)直线I虽与内无数条直线平行，但I有可能在平面内，所以直线I不一定平行 .(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到.当1〃时，若m 且m//l，则在平面内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与I都是异面直线.(4)直线I在平面夕卜，应包括两种情况：1〃和I与相交，所以I与不一定平行.故选A.说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面.如直线l 、m 都平行于 ，则I 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线 则m 与的位置关系可能是平行，可能是 m 在 内. 典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交.已知：直线a//b , a 平面 P .求证：直线b 与平面 相交.分析：利用a//b 转化为平面问题来解决，由 a//b 可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用.解：T a//b , ••• a 和b 可确定平面••• a P ,•平面 和平面 相交于过点P 的直线I .•••在平面 内丨与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，• I 必定与直线b 也相交，不妨设b I Q ,又因为b 不在平面 内（若b 在平面 内，则 和过相交直线b 和I ，因此 与 重合，a 在 内，和已知矛盾）.所以直线b 和平面相交.说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及 直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）.典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行.已知：a 与b 是异面直线•求证：过 b 且与a 平行的平面有且只有一个.l//m 、I//分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法•解题时要理解“有且只有”的含义. “有”就是要证明过直线b存在一个平面，且a// ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的•存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.证明：（1）在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面在平面内过点A作直线a',使a'//a，则a'和b为两相交直线，所以过a'和b可确定一平面.••• b , a与b为异面直线，--a •又T a//a , a ,••• a//.故经过b存在一个平面与a平行.（2）如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a'的.由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的.说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行.而且这两个平面也是平行的（以后可证）•对于异面直线a和b的距离，也可转化为直线a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法.典型例题十例10如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.已知：丨，a// , a// ，求证：a//l •分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行•然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与l平行.••• a// , • a//l 1,••• a// , • a//l 2,但过一点只能作一条直线与另一直线平行.•直线l i 和l 2重合.••• a// , a , b ,a//b •同理过a 作平面交于c •••• a// , a• a//c•• b//c ••• b• b//又••• b• b//l • 又•/a//b ,• a//l •另证：如图，在直线 l 上取点过M 点和直线a 作平面和 相交于直线i i ，和相交于直线J •二直线l i 、12都重合于直线I ,二 a//l •说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中 非常重要.典型例题十一例11正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于 AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且AP DQ •求证：PQ// 面 BCE .分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行.关键是在平面 BCE 中如何找一直 线与PQ 平行•可考察过 PQ 的平面与平面 BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同.证明一：如图，在平面 ABEF 内过P 作PM // AB 交BE 于M ,在平面ABCD 内过Q 作QN // AB 交BC 于N ，连结MN •又••• QN //AB//CD ,.QN BQ 加 QN BQ… ，即——DC BD AB BD•••正方形 ABEF 与ABCD 有公共边 AB ,••• AE DB ••/ AP DQ ,• PE BQ •• PM QN •又••• PM //AB , QN //AB ,• PM //QN ••四边形PQNM 为平行四边形.••• PM // AB , PM AB PE AE••• PQ//MN .又••• MN 面 BCE ,• PQ// 面 BCE •证明二：如图，连结 AQ 并延长交BC 于S ，连结ES •又•••正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB ,• AE DB ,•/ AP DQ ,• PE QB •AP DQ AQPE QB QS• PQ // ES ,又••• ES 面 BEC ,• PQ // 面 BEC •说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时 常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.此题中 我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立?典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.已知： a , b , c .求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点.分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共 面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.证明：•/ a , b ,•/ BS//AD , AQ QSDQ QBa与b平行或相交.①若a//b，如图又; c, a，二allc.二allbllc.②若a与b相交，如图，设a b O ,Q••• O a, O b .又,b .•••a• O,O又c ,• O c.••••直线a、b、c交于同一点O .说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中，M、N分别是CC i、A1B1的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三AC , AE是ABC的BC边上的高，DF是BCD的BC边例13 已知空间四边形ABCD，AB 上的中线，求证：AE和DF是异面直线.证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面DFEE DF证法二：(反证法)若AE 和DF 不是异面直线，则 AE 和DF 共面，设过 AE 、DF 的平面为 • ⑴若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设 AB AC 相矛盾.(2)若E 、F 不重合，•/ B EF , C EF , EF ,二 BC ••- A , D ,••• A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾. 综上，假设不成立.故AE 和DF 是异面直线.说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用.首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做. 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的•那么你怎样才能清楚地从理论上 解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题•假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾•只须两句话就解决了这个问题. 典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的 中点，求证：平面 EFG 和AC 平行，也和BD 平行.分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 内的一 条直线，由图可知，只须证明 AC // EF •证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF •在 ABC 中，E 、F 分别是 AB 、BC 的中点.• AC // EF •于是 AC // 平面 EFG •同理可证，BD //平面EFG •说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理. AE 和DF 是异面直线.典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD , P、Q分别是ABC和BCD的重心，求证：PQ//平面ACD .分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图.证明：取BC的中点E .•/ P是ABC的重心，连结AE ,则AE : PE 3：1，连结DE ,•/ Q为BCD的重心，••• DE : QE 3： 1 ,•••在AED 中，PQ // AD .又AD 平面ACD , PQ 平面ACD ,• PQ// 平面ACD .说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是ABC和BCD 的重心，借助于比例的性质证明PQ // AD，该种方法经常使用，望注意把握.(2) “欲证线面平行，只须证线线平行”•判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法•根据问题具体情况要熟练运用.典型例题十六例16 正方体ABCD A1B1C1D1中，E、G分别是BC、C1D1的中点如下图.求证：EG //平面BB1D1D •解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A 、B .对于C,无数条直线可能是一组平行线，也可能是共 点线，• C 也不正确，应排除 C.与平面 内任意一条直线都不相交，才能保证直线 a 与平面 平行，• D 正确.•应选D .说明：本题主要考查直线与平面平行的定义.典型例题十八例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（分析：要证明EG//平面BB i D i D ，根据线面平等的判定定理，需要在平面 行的直线，要充分借助于 E 、G 为中点这一条件.证明：取BD 的中点F ，连结EF 、D 1F .•/ E 为BC 的中点，1••• EF 为 BCD 的中位线，贝U EF // DC ，且 EF CD .2 •- G 为C i D i 的中点，1• D 1G // CD 且 D 1G CD ,2••• EF // D 1G 且 EF D 1G ,•四边形EFD 1G 为平行四边形，• D 1F // EG ，而 D 1F 平面 BDD 1B 1 , EG 平面 BDD 1B 1,EG//平面 BDD BBB 1D 1D 内找到与EG 平例17如果直线a //平面 A . 一条直线不相交 C.无数条直线不相交 典型例题十七，那么直线a 与平面 内的（ B .两条相交直线不相交D .任意一条直线都不相交).).如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系.综上，可知应选 D . 说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力.典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（）. A.过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与 a 、b 平行 B.过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 相交 C. 过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与 a 、b 都平行D. 过a 可以并且只可以作一平面与 b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与平行了. B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与 a , b 相交.C 错，假如这样的直线存在，根据公理 4就可有a//b ，这与a , b 异面矛盾.D 正确，在a 上任取一点A ,过A 点做直线c//b ,则c 与a 确定一个平面与 b 平行，这个平面是惟一的.应选D.说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念. 典型例题二十例20 （1）直线a//b , a//平面 ，则b 与平面 的位置关系是 ___________________（2） A 是两异面直线a 、b 外的一点，过 A 最多可作 ____________ 个平面同时与a 、b 平行. 解：⑴当直线b 在平面夕卜时，b// ；当直线b 在平面 内时，b . •••应填：b//或b .（分别称a , b ）经过a , b 的平面也是惟一的.所以只能作一个平面;还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了.•应填：1.说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键. A . —定平行 C. 一定异面B. —定相交D .相交或异面 ⑵因为过A 点分别作a , b 的平行线只能作一条,解：如图中的甲图,典型例题二十A 是的另一侧的点，B,C,D a ，线段AB , AC , AD 交于E ,F ,G ，若 BD 4, CF 4, AF 5，则 EG =解：•/ a// , EG 平面 ABD .••• a//EG ，即 BD//EG ,• EF FG AF EF FG EG AF"BC CD AC BC CD BD AF FC则EG AF BD 5 4 20AF FC 5 4 9 ••应填： 209 °说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、 时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力. 例21 如图，a// 比例性质等.同。
